1、2016-2017 学年度高三第一次学情调研考试 数学试题注意事项：1.本试题满分 160 分，考试时间 120 分钟。2.请将答案填涂在答题纸上，写在试卷上无效。一 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 计 70 分 .不 需 写 出 解 答 过 程 ， 请 把 答 案 写 在答 题 纸 的 指 定 位 置 上 .1若集合 ， ，且 ，则实数 的取值范围(,Am2BxBAm是 .2命题“ ， ”的否定是 命题.（填“真”或“假”）(0,)2xsin13. 设点 是角 终边上一点，若 ，则 .,Pm2cosm4函数 的单调递增区间为 .()xfe5若函数
2、 的零点在区间 （ ）内，则 = .cos(1,)kZk6设函数 是奇函数，则实数 的值为 .2()lg1)fxmxm7已知直线 过函数 （其中 ）图象上的一个最高点，3(sin)f2则 的值为 .5()6f8在锐角 中， ， ， 的面积为 ，则 的长为 .ABC23BCA32AC9设向量 ， ，则 的取值范围是 .(5cos,4in)O(2,0)O|B10如图，在平行四边形 中， ， ，D64点 是 边的中点，则 的值为 .PCPAB11若函数 在 处取得极2()ln()fxax12大值，则正数 的取值范围是 .12设 是等比数列 的前 项和， 成等差数列，且 ，nSn396,S25ma则
3、.m PA B CD第 10 题图13已知数列 的前 项和 ，若存在正整数 ，使得na1()nnSn成立，则实数 的取值范围是 .1()()0npp14. 设函数 ，若 在区间 内的图象上存在两点，在这两点2|xafe()fx(1,3)a处的切线相互垂直，则实数 的取值范围是 .二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15. (本小题满分 14 分)已知函数 .2(3sincosfxx（1）求 的最小正周期；)（2）若 ，求 的值.(1fxcs(2)3x16(本小题满分 14 分)设集合 ，集合 .2|30Ax
4、|1Bxa（1）若 ，求 ；3a（2）设命题 ，命题 ，若 是 成立的必要不充分条件，求实数 的:p:qxpqa取值范围.17. (本小题满分 14 分)在 中， 分别为角 的对边，已知 ， .ABC,abc,ABC4A3a（1）若 ，求边 的长；3sin5（2）若 ，求 的值.|618(本小题满分 16 分)如图，河的两岸分别有 生活小区 和 ，其中 ， ，ABCDEFABCEFD， 三点共线， 与 的延长线交于点 ，测得 ，DFAB,CEFO3km， ， ，4km94k3km. 若以 所在直线分别为32,OA轴建立平面直角坐标系 ，则河岸,xyxy可看成是曲线 （其中 为常数）DEba,的
5、一部分，河岸 可看成是直线AC（其中 为常数）的一部分.ykxm,k（1）求 的值；,ab（2）现准备建一座桥 ，其中 分别在MN,上，且 ，设点 的横坐标为 .,DEACACtO A CBD EF xy M N第 18 题图请写出桥 的长 关于 的函数关系式 ，并注明定义域；MNlt()lft当 为何值时， 取得最小值？最小值是多少？t19. (本小题满分 16 分)已知函数 .()lnfx（1）求函数 的图象在 处的切线方程；1x（2）若函数 在 上有两个不同的零点，求实数 的取值范围；()kyf2,)ek（3）是否存在实数 ，使得对任意的 ，都有函数 的图象在(,)x()yfx的图象的下
6、方？若存在，请求出最大整数 的值；若不存在，请说理()xeg k由.（参考数据： ， ）.ln20.693126487e20. (本小题满分 16 分)设各项均为正数的数列 满足 （ 为常数），其中 为数列 的nanSpr,nSna前 项和.n（1）若 ， ，求证： 是等差数列；p0rn（2）若 ， ，求数列 的通项公式；13p2ana（3）若 ，求 的值0151pr数学参考答案一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.1. 2. 假 3. 4. 5. 1 6. 1 7. 12,)2(0,)8. 9. 10. 7 11. 12. 8 13. 74,623(,)214. 1
7、(,)2二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15解：（1）因为 2 分31cos2()sin2xfx， 6 分3cosin2()6所以 的最小正周期为 . 8 分()fx2T（2）因为 ，所以 ，即 ， 1011sin()x1sin(2)6x分所以 . 14 分2cosco(2)i()3616解：（1）解不等式 ，得 ，即 ， .2 分230x1x3,1A当 时，由 ，解得 ，即集合 ， .4a1442B分所以 ； .6 分4,AB（2）因为 是 成立的必要不充分条件，所以集合 是集合 的真子集. .8pq
8、分又集合 ， ， .10 分3,1(1,)a所以 或 ， .12 分a3解得 ，即实数 的取值范围是 . .14 分0202a17解：（1）在 中，因为 ，所以 ，ABCsinsi5A4BA所以 ， .2 分4cos5所以 ， .4 分24372sini()510CAB由正弦定理 ，得 ，所以 . .6isinac2c35分（2）因 ，得 ， .86CAB3cos6bC分由余弦定理，有 ，22，得 ， .10 分c再由余弦定理，有 ，解得 ， .123bc3,6bc分所以 ，即 ，所以 . 1422aC0ACB分（说明：其它方法类似给分）18解：（1）将 两点坐标代入到 中，得 ， 27(0,
9、)3,4DExbya743ba分解得 . 3 分47ab再将 两点坐标代入到 中，得 ， 539(,0),2ACykxm30294km分解得 . 6 分432kb（2） 由（1）知直线 的方程为 ，即 . 7AC423yx360y分设点 的坐标分别为 ，则利用点到直线的距离公式，M7(,)t得 ， 92|436|194|5tl t分又由点 向直线 作垂线时，垂足都在线段 上，所以 ，,DEACAC03t所以 ， . 1019()|4|5lftt03t分 方法一：令 ，因为 ，(),gttt 2(5)1)4tg所以由 ，解得 或 （舍）， 12021分所以当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单
10、5(,)t()0gt()t5(,3)2t()0gt()t调递减.从而当 时， 取得最大值为 ， 14 分2t()t5()2g即当 时， 取得最小值，最小值为 . 165l 1km分方法二：因为 ，所以 ，03t14t则 12 分9994()74()t tt，722654t当且仅当 ，即 时取等号， 149()t分即当 时， 取得最小值，最小值为 . 1652tl 1km分方法三：因为点 在直线 的上方，所以 ，MAC940t所以 ， ， 1219()4)5lftt03分以下用导数法或基本不等式求其最小值（此略，类似给分）. 16 分方法四：平移直线 至 ，使得 与曲线 相切，AC11ACDE则
11、切点即为 取得最小值时的 点. 12 分l由 ，得 ，则由 ，且 ，解得 ，14 分74xy23(4)yx234()kt03t52t故当 时， 取得最小值，最小值为 . 1652tl 1m分19. 解：（ 1）因为 ，所以 ，则所求切线的斜率为 ， 2 分1()fx()f1又 ，故所求切线的方程为 . .4()ln0f 1yx分（2）因为 ，则由题意知方程 在 上有两个不()lnkfxxln0kx21,e同的根.由 ，得 ， 6 分ln0xl令 ，则 ，由 ，解得 .()lg()n1gx()0gx1xe当 时， ， 单调递减；当 时， ，21,e0(),()0gx单调递增，()x所以当 时，
12、取得最小值为 . 8()gx1()ge分又 ， （图象如右图所示），21()ge(1)0所以 ，解得 . 102ke21ke分（3）假设存 在实数 满足题意，则不等式 对 恒成立.lnx1(,)2即 对 恒成立.lnxke1(,)2令 ，则 ， 12()hl1xhe分令 ，则 ，ln1xre()xr因为 在 上单调递增， ， ，且 的(),)212)0e(1)0re()rx图象在 上不间断，所以存在 ，使得 ，即 ，则10(,xx01x，00lnx所以当 时， 单调递减；当 时， 单调递增，(,)2x()r0(,)()r则 取到最小值 14 分)r0 01lnxex0120x所以 ，即 在区间
13、 内单调递增.(0hx()h1(,)2所以 ，12)lnl.952kee所以存在实数 满足题意，且最大整数 的值为 . 16 分k120解：（1）证明：由 ， ，得 ，所以 ，p0rnSa11()(2)nnSa两式相减，得 ，所以 是等差数列. 41()nayxO1e2111分（2）令 ，得 ，所以 ， 51n1pr23r分则 ，所以 ，两式相减，2()3nnSa11()(2)nnSa得 ， 7 分1na所以 ，化简得 ，324134521nan 1()2na所以 ， 9()n分又 适合 ，所以 . 1012a2n2n分（3）由（ 2）知 ，所以 ，得 ，rp(1)nSpa11(2)()nnSpa两式相减，得 ，1(1)2(na易知 ，所以 . 12 分0p)(np当 时 ，得 ，所以 ，21)201520141aa满足 ； 14 分0151a当 时，由 ，又 ，p1()()()nnapn所以 ，即 ，所以 ，不满足1()2n2a2015a；20151a当 且 时，类似可以证明 也不成立；p020151综上所述， ， ，所以 . 16 分21r4pr
