1、2017 届四川省成都市石室中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题1若复数 z 满足 iz=1+2i，其中 i 为虚数单位，则在复平面上复数 z 对应的点的坐标为（ ）A（2 ，1） B（2，1） C（2，1） D（2，1）2“log 2（2x3）1”是“4 x8”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3若 ，若 ，则 的值为（ ）A B C D4若数列a n的前 n 项和为 Sn=kn2+n，且 a10=39，则 a100=（ ）A200 B199 C299 D3995过点 P（4，8）且被圆 x2+y2=25 截得的弦长为 6 的直线方程是（
2、 ）A3x4y+20=0 B3x4y+20=0 或 x=4C 4x3y+8=0 D4x3y+8=0 或 x=46在平面直角坐标系 xOy 中，已知ABC 的顶点 A（0，4），C（0，4），顶点 B 在椭圆 上，则 =（ ）A B C D7如图所示的茎叶图（图一）为高三某班 50 名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的 ai 为茎叶图中的学生成绩，则输出的 m，n 分别是（ ）Am=38，n=12 Bm=26，n=12 Cm=12，n=12 Dm=24，n=108若 x，y 满足 ，则 的取值范围是（ ）A（，43，+） B（ ，2 1，+） C 2，1 D4，39已知函数 f（x）
3、=sin（x +），（0，0）的最小正周期是 ，将函数 f（ x）图象向左平移 个单位长度后所得的函数过点 ，则函数f（x）=sin（x+）（ ）A在区间 上单调递减 B在区间 上单调递增C在区间 上单调递减 D在区间 上单调递增10在ABC 中，D 是 BC 中点，E 是 AB 中点，CE 交 AD 于点 F，若，则 +u=（ ）A B C D111如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E 是冷 BC 的中点，点 F在冷 CC1 上，且 CF=2FC1， P 是侧面四边形 BCC1B1 内一点（含边界）若 A1P平面 AEF，则线段A1P 长度的取值范围是（ ）A
4、B C D12若存在两个正实数 x，y，使得等式 2x+a（y 2ex）（lny lnx）=0 成立，则实数 a 的取值范围为（ ）A B C D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13已知双曲线的一个焦点为 ，且渐近线方程为 y= x，则该双曲线的标准方程为 14已知 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f （x）=2 x，则f（log 49）的值为 15已知在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，底面 ABCD 是正方形，PA=AB=2，在该四棱锥内部或表面任取一点 O，则三棱锥 OPAB 的体积不小于的概率为 16定义在（0，+）上的函数 f（x ）满足：
5、（1 ）当 时，f （x）=|；（2）f（2x）=2f（x），则关于 x 的函数 F（x）=f（x）a 的零点从小到大依次为 x1，x 2，x nx2n，若 ，则 x1+x2+x2n1+x2n= 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算过程17（12 分）已知向量 ，函数 f（x）=（1）求函数 f（x）的最小正周期及在 上的值域；（2）在ABC 中，若 f（A）=4，b=4 ，ABC 的面积为 ，求 a 的值18（12 分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇2016 年双十一期间，某购物平台的销售业绩高达 516 亿人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系
6、现从评价系统中选出 200 次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为 0.6，对服务的好评率为 0.75其中对商品和服务都做出好评的交易为 80 次（1）先完成关于商品和服务评价的 22 列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，以为商品好评与服务好评有关？（2）若用分层抽样的方法从“对商品好评”和“ 商品不满意 ”中抽出 5 次交易，再从这 5 次交易中选出 2 次，求恰有一次为“商品好评”的概率附临界值表：P（k 2 k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7
7、.897 10.828k2 的观测值： ，其中 n=a+b+c+d关于商品和服务评价的 22 列联表：对服务好评 对服务不满意 合计对商品好评 a=80 b= 对商品不满意 c= d=10 19（12 分）如图，四边形 ABCD 是矩形，AB=1 ， ，E 是 AD 的中点，BE与 AC 交于点 F，GF平面 ABCD（）求证：AF面 BEG；（）若 AF=FG，求点 E 到平面 ABG 距离20（12 分）已知椭圆 ： =1（ab0）的左顶点为 A，右焦点为F2，过点 F2 作垂直于 x 轴的直线交该椭圆于 M、N 两点，直线 AM 的斜率为 （1）求椭圆 的离心率；（2）若AMN 的外接圆
8、在点 M 处的切线与椭圆交于另一点 D，F 2MD 的面积为 ，求椭圆 的标准方程21（12 分）已知函数 f（x ）=（x 1）e x ax2（aR）（）当 a1 时，求 f（x ）的单调区间；（）当 x（ 0，+）时，y=f （x ）的图象恒在 y=ax3+x（a 1）x 的图象上方，求 a 的取值范围选修 4-4：坐标系与参数方程22（10 分）已知直线 l 过点（1，0）且倾斜角为 ，在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 M 的方程为sin2+4cos=0（1）写出曲线 M 的直角坐标方程及直线 l 的参数方程；（2）若直线 l 与曲线 M 只
9、有一个公共点，求倾斜角 的值2017 届四川省成都市石室中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1若复数 z 满足 iz=1+2i，其中 i 为虚数单位，则在复平面上复数 z 对应的点的坐标为（ ）A（2 ，1） B（2，1） C（2，1） D（2，1）【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【解答】解：z= ，在复平面上复数 z 对应的点的坐标为（ 2，1）故选：D【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2“log 2（2x3）1”是“4 x8”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要
10、条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】利用函数的单调性分别化简 log2（2x 3）1，4 x8，即可判断出结论【解答】解：log 2（2x3 ）1，化为 02x 32，解得 4x8 ，即 22x2 3，解得 x “log 2（2x3）1” 是“4 x8”的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3若 ，若 ，则 的值为（ ）A B C D【考点】三角函数的化简求值【分析】由题意求得 sin（+ ）的值，再利用二倍角的正弦公式求得的值【解答】解： ，若 ，则 + 为锐角，
11、sin （ + ）= = ，则 =2sin（+ ）cos （+ ）=2 = ，故选：B【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题4若数列a n的前 n 项和为 Sn=kn2+n，且 a10=39，则 a100=（ ）A200 B199 C299 D399【考点】数列的概念及简单表示法【分析】由 Sn=kn2+n，可得 n2 时，a n=SnSn1=2knk+1，利用 a10=39，解得k=2即可得出【解答】解：S n=kn2+n，n2 时，a n=SnSn1=kn2+nk（n 1） 2+（n 1）=2knk+1，a 10=39，20k
12、k+1=39，解得 k=2a n=4n1则 a100=4001=399故选：D【点评】本题考查了数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5过点 P（4，8）且被圆 x2+y2=25 截得的弦长为 6 的直线方程是（ ）A3x4y+20=0 B3x4y+20=0 或 x=4C 4x3y+8=0 D4x3y+8=0 或 x=4【考点】直线与圆的位置关系【分析】由圆的方程，可知圆心（0，0），r=5，圆心到弦的距离为 4，若直线斜率不存在，则垂直 x 轴 x=4，成立；若斜率存在，由圆心到直线距离 d=4，即可求得直线斜率，求得直线方程【解答】解：圆心（0，0），r=5，圆心到弦的距离为
13、4，若直线斜率不存在，则垂直 x 轴x=4，圆心到直线距离= |04|=4，成立；若斜率存在y8=k（x4）即：kxy4k+8=0则圆心到直线距离 d= =4，解得 k= ，综上：x=4 和 3x4y+20=0，故选 B【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，主要涉及了圆心距，弦半距及半径构成的直角三角形，直线的方程形式及其性质，属于中档题6在平面直角坐标系 xOy 中，已知ABC 的顶点 A（0，4），C（0，4），顶点 B 在椭圆 上，则 =（ ）A B C D【考点】椭圆的简单性质【分析】首先根据所给的椭圆的方程写出椭圆的长轴的长，两个焦点之间的距离，根据正弦定理得到角的正弦值之比就等于
14、边长之比，把边长代入，得到比值【解答】解：ABC 的顶点 A（0，4），C（0，4），顶点 B 在椭圆上a=2，即 AB+CB=2a，AC=2c由正弦定理知 ，则 = 故选：C【点评】本题考查椭圆的性质和正弦定理的应用，解题的关键是把角的正弦值之比写成边长之比，进而和椭圆的参数结合起来7如图所示的茎叶图（图一）为高三某班 50 名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的 ai 为茎叶图中的学生成绩，则输出的 m，n 分别是（ ）Am=38，n=12 Bm=26，n=12 Cm=12，n=12 Dm=24，n=10【考点】茎叶图；循环结构【分析】算法的功能是计算学生在 50 名学生的化学考
15、试成绩中，成绩大于等于80 的人数，和成绩小于 80 且大于等于 60 的人数，根据茎叶图可得【解答】解：由程序框图知：算法的功能是计算学生在 50 名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于 80 的人数，和成绩小于 80 且大于等于 60 的人数，由茎叶图得，在 50 名学生的成绩中，成绩大于等于 80 的人数有80，80，81 ， 84，84，85，86，89，90，91，96， 98，共 12 人，故 n=12，由茎叶图得，在 50 名学生的成绩中，成绩小于 60 的人数有43，46，47 ， 48，50，51，52，53，53，56，58， 59，共 12 人，则在 50 名学生的成绩中，
16、成绩小于 80 且大于等于 60 的人数有 501212=26，故 m=26故选：B【点评】本题借助茎叶图考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键8若 x，y 满足 ，则 的取值范围是（ ）A（，43，+） B（ ，2 1，+） C 2，1 D4，3【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义结合直线的斜率公式进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，的几何意义是区域内的点到定点（3，4）的斜率由图象知 z 大于等于 PA 的斜率，z 小于等于 PB 的斜率，A（2，1 ）， B（4，0 ）， = 3；则 = 4，即，（，43，+）
17、故选：A【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的几何意义以及数形结合是解决本题的关键9已知函数 f（x）=sin（x +），（0，0）的最小正周期是 ，将函数 f（ x）图象向左平移 个单位长度后所得的函数过点 ，则函数f（x）=sin（x+）（ ）A在区间 上单调递减 B在区间 上单调递增C在区间 上单调递减 D在区间 上单调递增【考点】函数 y=Asin（x+ ）的图象变换【分析】利用正弦函数的周期性求得 ，根据函数 y=Asin（x +）的图象变换规律求得所得函数的解析式，利用正弦函数的单调性得出结论【解答】解：函数 f（x ）=sin（x +），（ 0，0 ）的最小正周期是
18、=，=2将函数 f（x ）图象向左平移 个单位长度后所得的函数的解析式为 y=sin2（x+ ）+=sin（2x + +），根据所得图象过点 ，sin（ + +）=1 ， += ，即 =则函数 f（x ）=sin（x+）=sin（2x + ）在区间 上，2x + ， ，函数 f（x）=sin（2x+ ）在区间 上没有单调性，故排除 A、B ；在区间 上，2x + ， ，函数 f（x）=sin（2x+ ）在在区间 上单调递增，故排除 C，故选：D【点评】本题主要考查正弦函数的周期性，函数 y=Asin（x+ ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题10在ABC 中，D 是 BC 中点，E
19、是 AB 中点，CE 交 AD 于点 F，若，则 +u=（ ）A B C D1【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】由于本题是选择题，不妨设ABC 为等边三角形，由题意可得 F 是ABC 的重心，即可得到 = = + ，继而求出 ， 的值，问题得以解决【解答】解：不妨设ABC 为等边三角形，D 是 BC 中点，E 是 AB 中点，CE 交AD 于点 F，F 是ABC 的重心， = = （ + ）= （ + ）= + ， ，= ，= ，+= ，故选：B【点评】本题考查代数和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量的加法法则的合理运用11如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C
20、1D1 中，点 E 是冷 BC 的中点，点 F在冷 CC1 上，且 CF=2FC1， P 是侧面四边形 BCC1B1 内一点（含边界）若 A1P平面 AEF，则线段A1P 长度的取值范围是（ ）A B C D【考点】直线与平面平行的性质；平行投影及平行投影作图法【分析】取棱 B1C1 的中点 N，在 BB1 上取点 M，使 B1M=2BM，连接 MN，易证平面 A1MN平面 AEF，由题意知点 P 必在线段 MN 上，由此可判断 P 在 M 处时 A1P 最长，A 1PMN 时最短，通过解直角三角形即可求得【解答】解：如下图所示：取棱 B1C1 的中点 N，在 BB1 上取点 M，使 B1M=
21、2BM，连接 MN，连接 BC1，N、E 为所在棱的中点，B 1M=2BM，CF=2FC 1四边形 MNFE 为平行四边形，MNEFA 1NAE，又 A1NMN=N，平面 A1MN平面 AEF，P 是侧面 BCC1B1 内一点，且 A1P平面 AEF，则 P 必在线段 MN 上，AM= ，AN= ，MN= 在A 1MN 中，由余弦定理求得 cosMA 1N= ，sin MA 1N= 由面积相等得 MNh=A1MA1NsinMA 1Nh= ，则线段 A1P 长度的取值范围是 故选：B【点评】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平
22、面寻找 P 点位置12若存在两个正实数 x，y，使得等式 2x+a（y 2ex）（lny lnx）=0 成立，则实数 a 的取值范围为（ ）A B C D【考点】特称命题【分析】根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可【解答】解：由 2x+a（y2ex）（lny lnx）=0 得 2x+a（y 2ex）ln =0，即 2+a（ 2e）ln =0，即设 t= ，则 t0，则条件等价为 2+a（t2e）lnt=0 ，即（t2e ）lnt= 有解，设 g（ t）=（ t2e）lnt ，g（t ）=lnt+1 为增函数，
23、g（e）=lne+1 =1+12=0，当 te 时，g （t）0，当 0te 时，g （t）0，即当 t=e 时，函数 g（t ）取得极小值，为 g（e）=（e2e）lne= e，即 g（ t）g（e）=e，若（t2e ）lnt= 有解，则 e，即 e，则 a0 或 a ，故选：C【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解决本题的关键综合性较强二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13已知双曲线的一个焦点为 ，且渐近线方程为 y= x，则该双曲线的标准方程为 =1 【考点】双曲线的简单性质【分析】根据题
24、意，由双曲线焦点的坐标分析可得其焦点在 x 轴上，且c=2 ，可以设其标准方程为： =1，结合题意可得 2+b2=20，以及= ， ，联立两个式解可得 a2=16，b 2=4，代入所设的标准方程中即可得答案【解答】解：根据题意，要求双曲线的一个焦点为 ，则其焦点在 x 轴上，且 c=2 ，可以设其标准方程为： =1，又由 c=2 ，则 a2+b2=20，其渐近线方程为 y= x，则有 = ，联立、可得：a 2=16，b 2=4，故要求双曲线的方程为： =1；故答案为： =1【点评】本题考查双曲线的标准方程的计算，可以用待定系数法分析14已知 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，
25、f （x）=2 x，则f（log 49）的值为 【考点】函数的值【分析】由奇函数的性质得当 x0 时，f （x）= ，由此利用对数函数的性质和换底公式能求出 f（log 49）的值【解答】解：f（x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f （x）=2 x，当 x0 时，f（x）= ，f（ log49）= = = 故答案为： 【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意奇函数的性质和对数函数的性质、换底公式的合理运用15已知在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，底面 ABCD 是正方形，PA=AB=2，在该四棱锥内部或表面任取一点 O，则三棱锥 OPAB 的体积不
26、小于的概率为 【考点】几何概型【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用对应的体积比值求出对应的概率【解答】解：如图所示，AD、BC、PC、PD 的中点分别为 E、F、G、H，当点 O 在几何体 CDEFGH 内部或表面上时，V 三棱锥 OPAB ；在几何体 CDEFGH 中，连接 GD、GE ，则 V 多面体 CDEFGH=V 四棱锥 GCDEF+V 三棱锥 GDEH= ，又 V 四棱锥 PABCD= ，则所求的概率为 P= = 故答案为：【点评】本题考查了空间几何体体积的计算问题，也考查了几何概型的应用问题，是综合性题目16定义在（0，+）上的函数 f（x ）满足：（1 ）当 时，f （x）
27、=|；（2）f（2x）=2f（x），则关于 x 的函数 F（x）=f（x）a 的零点从小到大依次为 x1，x 2，x nx2n，若 ，则 x1+x2+x2n1+x2n= 3（2 n1） 【考点】函数解析式的求解及常用方法【分析】f（x）= ，此时 f（x）0， ，f（2x）=2f（x），x 1，2 ）时，f（x） 0，1，x2，4）时，f （x）0，2，以此类推，则 F（x）=f（x）a 在区间（ 1，2 ）有 2 个零点，分别为 x1，x 2，且满足x1+x2=2 =3，依此类推：x 3+x4=6， ， x2n1+x2n=32n1利用等比数列的前 n 项和公式即可得出【解答】解：f（x）=
28、，此时 f（x ）0， ，f（ 2x）=2f（x），x1，2）时，f （x）0，1，x 2，4）时，f（x ）0，2，以此类推，则 F（x）=f（x）a 在区间（ 1，2 ）有 2 个零点，分别为 x1，x 2，且满足x1+x2=2 =3，依此类推：x 3+x4=6， ， x2n1+x2n=32n1如图所示：则 x1+x2+x2n1+x2n=3（ 2n1）故答案为：3（2 n1）【点评】本题考查了函数的图象与性质、区间转换、对称性、等比数列的前 n项和公式等基础知识与基本技能，属于难题三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算过程17（12 分）（2016 秋青羊区校级期中）已知向量，函数
29、 f（x ）= （1）求函数 f（x）的最小正周期及在 上的值域；（2）在ABC 中，若 f（A）=4，b=4 ，ABC 的面积为 ，求 a 的值【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算【分析】（1）运用向量数量积的坐标表示和二倍角公式及两角和的正弦公式，及正弦函数的图象和性质，即可得到所求；（2）运用特殊角的正弦函数值，求得 A，再由三角形的面积公式，可得 c，再由余弦定理可得 a【解答】解：（1）向量 ，函数 f（ x）= =2+ sin2x+2cos2x=3+ sin2x+cos2x=3+2sin（2x+ ），可得函数 f（x）的最小正周期为 =，x ，即有 2x+ （ ，
30、 ，可得 sin（2x+ ） （ ，1，则在 上的值域为（2，5；（2）在ABC 中，若 f（A）=4，b=4 ，ABC 的面积为 ，可得 3+2sin（2A+ ）=4，即 sin（2A+ ）= ，由 0A，可得 2A+ ，可得 2A+ = ，即 A= ，由 = bcsinA= 4csin = c，解得 c=1，则 a2=b2+c22bccosA=16+18 =13，即 a= 【点评】本题考查三角函数的化简和求值，平面向量数量积的坐标表示，以及正弦函数的图象和性质，以及三角形的面积公式和余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题18（12 分）（2016 秋青羊区校级期中）近年来我国电子商务行业
31、迎来发展的新机遇2016 年双十一期间，某购物平台的销售业绩高达 516 亿人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系现从评价系统中选出 200 次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为 0.6，对服务的好评率为 0.75其中对商品和服务都做出好评的交易为 80 次（1）先完成关于商品和服务评价的 22 列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，以为商品好评与服务好评有关？（2）若用分层抽样的方法从“对商品好评”和“ 商品不满意 ”中抽出 5 次交易，再从这 5 次交易中选出 2 次，求恰有一次为“商品好评”的概率附临界值表：P（k 2 k）
32、0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.897 10.828k2 的观测值： ，其中 n=a+b+c+d关于商品和服务评价的 22 列联表：对服务好评 对服务不满意 合计对商品好评 a=80 b= 40 120 对商品不满意 c= 70 d=10 80 【考点】独立性检验的应用【分析】（1）由已知列出关于商品和服务评价的 22 列联表，代入公式求得k2 的值，对应数表得答案；（2）采用分层抽样的方式从这 200 次交易中取出 5 次交易，则好评的交易次数为 3 次，不满意的次数为 2 次，利
33、用枚举法得到从 5 次交易中，取出 2 次的所有取法，查出其中只有一次好评的情况数，然后利用古典概型概率计算公式求得只有一次好评的概率【解答】解：（1）由题意可得关于商品和服务评价的 22 列联表：对服务好评 对服务不满意 合计对商品好评 80 40 120对商品不满意 70 10 80合计 150 50 200得 k2= 11.11110.828，可以在犯错误概率不超过 0.001 的前提下，认为商品好评与服务好评有关（2）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这 200 次交易中取出 5 次交易，则好评的交易次数为 3 次，不满意的次数为 2 次，令好评的交易为A，B ，C，不满意的交易
34、为 a，b ，从 5 次交易中，取出 2 次的所有取法为（A，B）、（A，C ）、（A，a）、（A ，b）、（B，C ）、（B，a ）、（B ，b ）、（C ，a）、（ C，b）、（a，b），共计 10 种情况，其中只有一次好评的情况是（A，a）、（A，b）、（B ，a）、（B，b ）、（C，a）、（C，b），共计 6 种，因此，只有一次好评的概率为 【点评】本小题主要考查统计与概率的相关知识，对考生的对数据处理的能力有很高要求，是中档题19（12 分）（2015 秋韶关期末）如图，四边形 ABCD 是矩形，AB=1，E 是 AD 的中点，BE 与 AC 交于点 F，GF平面 ABCD（）求证
35、：AF面 BEG；（）若 AF=FG，求点 E 到平面 ABG 距离【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定【分析】利用勾股定理证明 ACBE ，然后证明 ACGF ，即可证明 AF平面BEG（2）设点 E 到平面 ABG 的距离为 d，利用 ，求解即可【解答】证明：四边形 ABCD 为矩形，AEFCBF， （1 分）又矩形 ABCD 中， ，在 RtBEA 中， ， （2 分）在ABF 中，AFB=90，即 ACBE（4 分）GF平面 ABCD，AC 平面 ABCDACGF又BEGF=F，BE，GF平面 BCEAF平面 BEG（6 分）（2）在 Rt AGF 中， =在 RtBG
36、F 中， = （8 分）在ABG 中， ，BG=AB=1 = （10 分）设点 E 到平面 ABG 的距离为 d，则 ，（11 分） = （12 分）【点评】本题考查点到平面的距离距离的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查计算能力20（12 分）（2016 秋青羊区校级期中）已知椭圆 ： =1（ab0）的左顶点为 A，右焦点为 F2，过点 F2 作垂直于 x 轴的直线交该椭圆于 M、N 两点，直线 AM 的斜率为 （1）求椭圆 的离心率；（2）若AMN 的外接圆在点 M 处的切线与椭圆交于另一点 D，F 2MD 的面积为 ，求椭圆 的标准方程【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由题意 M
37、（ c， ），因为 A（a，0），所以 ，可得椭圆 的离心率（2）由（1）可知，a=2c，由 b2=a2c2=4c2c2=3c2，椭圆方程为：，M（c， c），A（2c，0 ），设外接圆的圆心为 T（t，0），由丨 TA 丨=丨 TM丨得（t+2c ） 2=（tc ） 2+ c2，解得 t= 求得切线方程，代入椭圆方程，求得丨 MD 丨，根据点到直线的距离公式及三角形面积公式，代入即可求得 c 的值，求得椭圆方程【解答】解：（1）由题意 M（c， ），因为 A（ a，0），所以 ，e= ，椭圆 的离心率为 （2）由（1）可知，a=2c，由 b2=a2c2=4c2c2=3c2，椭圆方程为：，M（
38、c， c），A（2c，0 ），设外接圆的圆心为 T（t，0），由丨 TA 丨=丨 TM丨得（t+2c ） 2=（tc ） 2+ c2，解得 t= kTM= ，切线斜率 k= ，切线方程为 3x+4y9c=0，代入椭圆方程消 y 得 7x218cx+11c2=0，=18 2c24711c2=16c20，x D= ，y D= ，丨 MD 丨= ，F 2 点到 CD 的距离 d= ，由 S= 丨 CD 丨d，得 ，c 2=2，椭圆方程为【点评】题考查椭圆的标准方程及简单性质，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离公式及三角形面积公式，考查计算能力，属于中档题21（12 分）（2016 秋宜城市期中）已
39、知函数 f（x）=（x1）ex ax2（a R）（）当 a1 时，求 f（x ）的单调区间；（）当 x（ 0，+）时，y=f （x ）的图象恒在 y=ax3+x（a 1）x 的图象上方，求 a 的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（1）首先求出 f（x ）的导函数，分类讨论 a 的大小来判断函数的单调性；（2）利用转化思想：当 x（0，+）时，y=f （x）的图象恒在y=ax3+x2（a1）x 的图象上方，即 xexaxax 3+x2（a1）x 对 x（0，+）恒成立；即 exax2x10 对 x（0，+）恒成立；【解答】解：（I）f（x）=xe
40、 xax=x（e xa）当 a0 时，e xa0，x （ ，0）时，f （x）0，f（x ）单调递减；x（0，+）时，f （x）0 ，f（x）单调递增；当 0a1 时，令 f（x）=0 得 x=0 或 x=lna（i） 当 0a1 时，lna0，故：x （ ，lna）时，f （x ）0，f（x）单调递增，x（lna，0）时，f （x）0，f（x ）单调递减，x （0，+）时，f（x ）0，f（x）单调递增； （ii） 当 a=1 时，lna=0，f （x）=xe xax=x（e x1）0 恒成立，f（x）在（，+）上单调递增，无减区间； 综上，当 a0 时，f （x ）的单调增区间是（0，+）
41、，单调减区间是（，0）；当 0a1 时，f （x ）的单调增区间是（ ，lna ）和（ 0，+），单调减区间是（lna，0）；当 a=1 时，f （x）的单调增区间是（，+），无减区间（II）由（I）知 f（x ）=xe xax当 x（0，+）时，y=f （x ）的图象恒在 y=ax3+x2（a 1）x 的图象上方；即 xexaxax 3+x2（a 1）x 对 x（0，+）恒成立；即 exax2x1 0 对 x（0，+）恒成立； 记 g（ x）=e xax2x1（x 0），g（x）=e x2ax1=h（x）；h（x）=e x2a；（i） 当 时，h（x）=e x2a0 恒成立，g（x）在（0，
42、+）上单调递增，g（x）g（0）=0；g （x）在（0，+）上单调递增；g （x）g （0）=0 ，符合题意； （ii） 当 时，令 h（x ）=0 得 x=ln（2a）；x（0，ln （2a ）时， h（x ）0，g（x）在（0 ，ln （2a ）上单调递减；x（0，ln （2a ）时， g（x）g（0）=0 ；g （x）在（0，ln（2a）上单调递减，x（0，ln （2a ）时， g（x）g（0）=0，不符合题意； 综上可得 a 的取值范围是 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及转化思想与分类讨论思想，属中等偏上题型选修 4-4：坐标系与参数方程22（10 分）（2016
43、秋青羊区校级期中）已知直线 l 过点（1，0）且倾斜角为 ，在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 M 的方程为 sin2+4cos=0（1）写出曲线 M 的直角坐标方程及直线 l 的参数方程；（2）若直线 l 与曲线 M 只有一个公共点，求倾斜角 的值【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】（1）利用 x=cos，y=sin，即可得出 M 的直角坐标方程；利用直线l 过点（1 ，0）且倾斜角为 ，可得直线 l 的参数方程；（2）设直线方程为 y=k（x 1），代入 y2=4x，可得 k2x2（2k 24）x +k2=0，分类讨论，利用直线 l 与曲线 M 只有一个公共点，求倾斜角 的值【解答】解：（1）x=cos，y=sin，由 sin2+4cos=0 得 2sin2=4cosy 2=4x 即为曲线 M 的直角坐标方程； 直线 l 过点（1，0）且倾斜角为 ，故直线 l 的参数方程为 （t 为参数）；（2）设直线方程为 y=k（x 1），代入 y2=4x，可得 k2x2（2k 24）x +k2=0k=0，y=0 ，满足题意，=0； ，k= 1，= 或 【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
