1、2017 届山西省晋中市“晋商四校”（平遥中学、祁县中学、榆次一中、太谷中学）高三（上）11 月联考数学试卷（理科）一选择题（512=60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在答题卡的相应位置上）1集合 M=x|x22x， N=x|log2（x 1）0，则 MN= （ ）A （1 ，2 ） B （1，2 C1，2） D （0，2）2设 a=lge，b=（lge） 2，c=lg ，则（ ）Aa b c Bcab Cacb Dcba3已知数列a n为等比数列，且 a3a13+2a82=5，则 cos（a 5a11）的值为（ ）A B C D4函数 y=ln| |
2、与 y= 在同一平面直角坐标系内的大致图象为（ ）A B CD5下列命题正确的是（ ）A命题x 0R，x +1 3x0 的否定是：xR ，x 2+13xB命题ABC 中，若 A B，则 cosAcosB 的否命题是真命题C平面向量 与 的夹角是钝角的充要条件是： 0D=1 是函数 f（x）=sinx cosx 的最小正周期为 2 的充分不必要条件6函数 f（x）=sin（x+ ） （其中 0 且| | ）的图象如图所示，为了得到 y=sinx 的图象，只需把 y=f（x ）的图象上所有点（ ）A向右平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度C向左平移 个单位长度 D向左平移 个单位长度7已知定义
3、在 R 上的函数 f（x） ，对任意 xR，都有 f（x +2）=f （x ）+f（1）成立，若函数 y=f（x1）的图象关于直线 x=1 对称，则 f（2015）=（ ）A 2 B0 C2 D20158已知数列a n的前 n 和为 Sn，a 1=0，a n+1=an+2 +1，则 a5+S4=（ ）A39 B45 C50 D559在ABC 中，若 =5 且| |=4，则ABC 面积的最大值为（ ）A6 B C10 D1210设函数 f（x ）=Asin （x+） ，xR （其中 A 0，0） ，在（ ， ）上既无最大值，也无最小值，且f（ ）=f（0）=f （ ） ，则下列结论成立的是 （
4、）A若 f（x 1） f （x ）f（x 2）对x R 恒成立，则|x 2x1|min=By=f（x）的图象关于点（ ，0）中心对称C函数 f（x）的单调区间为：k+ ，k+ （kZ ）D函数 y=|f（x）|（xR）的图象相邻两条对称轴之间的距离是11等差数列a n前 n 项和为 Sn，已知（1 a1007） 52017（a 10071）=1， （1a 1011） 52017（a 10111）=1，则（ ）AS 2017=2017，a 1007a 1011 BS 2017=2017，a 1007 a1011C S2017=2017，a 1007a 1011 DS 2017=2017，a 10
5、07 a101112函数 f（ x）= ，若 f（a）=f（b）=f（c ）=f（d）且a bc d，给出下列三个结论：abcd（0，e 2；a +b+c+d（e 3+ 2，e 4+ 2；已知关于 x 的方程 f（x）+（1） kxt=0 恰有三个不同实根，若 k 为偶数，则t2， ；若 k 为奇数，则 t=2， ；其中正确的结论有（ ）个A0 B1 C2 D3二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知 ，| |=1， | |=2，且 +2 与 垂直，则实数 的值为 14已知 sin= cos，则 的值为 15已知 f（ x）= ，则函数 h（x ）=f （x ）
6、+1 有 个零点16设ABC 的三个内角 A、B 、C 的对边分别为 a、b 、c，且asinAsinB+bcos2A= a，则角 A 的取值范围为 三、解答题（本大题 6 小题共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）17 （10 分）已知 f（x）=2sin（ + ）（1）若向量 =（ cos ，cos ） ， =（ cos ，sin ） ，且 ，求 f（x）的值；（2）在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别是 a，b，c，且满足（ ac）cosB=bcosC，求 f（A）的取值范围18 （12 分）中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄
7、化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题，若某地区 2015 年人口总数为 45 万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从 2016 年开始到 2025 年每年人口比上年增加 0.5 万人，从 2026 年开始到 2035 年每年人口为上一年的99%（1）求实施新政策后，从 2016 年开始到 2035 年，第 n 年的人口总数 an 的表达式；（2）若新政策实施后的 2016 年到 2035 年人口平均值超过 49 万，则需调整政策，否则继续实施，问到 2035 年后是否需要调整政策？（说明：0.9910=（1001） 100.9）
8、 19 （12 分）设ABC 的三个内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，且cos（BC）+cosA= ，a 2=bc（1）求角 A 的大小；（2）名ABC 的面积为 4 ，求ABC 的周长20 （12 分）已知数列a n的前 n 项和 Sn= n2+kn（k N*） ，且 Sn 的最大值为8（1）求常数 k 的值，并求 an；（2）对任意 mN*，将数列a n中落入区间（4 m，2 m）内的项的个数记为bm，若 cm= ，求数列c n的前 m 项和 Tm21 （12 分）已知函数 f（ x）=alnx+bx 2 的图象在点（ 1，f（1） ）处的切线方程为 xy1=0（1）求 f
9、（x）的表达式；（2）若 F（x）满足 F（x）G（x ）恒成立，则称 F（x）是 G（x）的一个“游离承托函数” 证明：函数 g（x）=2af（x+t） ，t R 且 t2，是函数 h（x ）=e x+f（x +t）的一个“游离承托函数 ”22 （12 分）已知函数 f（ x）=e x+ax，g（x）=xe x+a（1）若对于任意的实数 x，都有 f（x）1，求实数 a 的取值范围；（2）令 F（x）=g（x）f（x），且实数 a0，若函数 F（x）存在两个极值点x1， x2，证明：0e 2F（x 1）4 且 0e 2F（x 2） 42017 届山西省晋中市“晋商四校” （平遥中学、祁县中学
10、、榆次一中、太谷中学）高三（上）11 月联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题（512=60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在答题卡的相应位置上）1集合 M=x|x22x， N=x|log2（x 1）0，则 MN= （ ）A （1 ，2 ） B （1，2 C1，2） D （0，2）【分析】求出 M 与 N 中不等式的解集分别确定出 M 与 N，找出两集合的交集即可【解答】解：由 M 中不等式变形得： x（x2）0，解得：0x2，即 M=（0，2） ，由 N 中不等式变形得：log 2（x 1）0=log 21，解得：1x2，即 N=（1，2，则
11、M N=（1，2） ，故选：A【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2 （2009黑龙江）设 a=lge，b=（lge） 2，c=lg ，则（ ）Aa b c Bcab Cacb Dcba【分析】因为 101，所以 y=lgx 单调递增，又因为 1e10，所以0lge1 ，即可得到答案【解答】解：1e3 ，0lge1 ，lge lge（lge） 2a cb故选：C【点评】本题主要考查对数的单调性即底数大于 1 时单调递增，底数大于 0小于 1 时单调递减3 （2016 秋潮南区期末）已知数列a n为等比数列，且 a3a13+2a82=5，则cos（a 5a11）的值为
12、（ ）A B C D【分析】由等比数列的性质得 a3a13+2a82=3 =5，从而 = ，由此能求出 cos（a 5a11）的值【解答】解：数列a n为等比数列，且 a3a13+2a82=5，a 3a13+2a82=3 =5， = ，cos（a 5a11）=cos =cos = 故选：A【点评】本题考查等比数列中两项积的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用4 （2014蚌埠三模）函数 y=ln| |与 y= 在同一平面直角坐标系内的大致图象为（ ）A B CD【分析】由于第一个函数的定义域为x|x 0，值域为 R第二个定义域为1， 1，值域为1，0，结合图象
13、可得结论【解答】解：函数 的定义域为x|x 0 ，值域为 R 函数 的定义域为1，1，值域为 1，0，结合图象可得，只有 C 满足条件，故选 C【点评】本题主要考查函数的图象特征，函数的定义域和值域，属于基础题5下列命题正确的是（ ）A命题x 0R，x +1 3x0 的否定是：xR ，x 2+13xB命题ABC 中，若 A B，则 cosAcosB 的否命题是真命题C平面向量 与 的夹角是钝角的充要条件是： 0D=1 是函数 f（x）=sinx cosx 的最小正周期为 2 的充分不必要条件【分析】A， “”的否定是“”；B 依据，y=cosx 在（0，）递减判定；C， 0 时，向量 与 的夹
14、角可以是 ；D，=1 时，函数 f（x）=sinx cosx 的小正周期也为 2，故正确【解答】解：对于 A， “ ”的否定是“”，故错；对于 B，y=cosx 在（0，）递减，故命题ABC 中，若 AB，则 cosAcosB 的否命题是假命题，故错；对于 C， 0 时，向量 与 的夹角可以是 ，故错；对弈 D，=1 时，函数 f（x）=sinx cosx 的小正周期也为 2，故正确故选：D【点评】本题考查了命题真假的判定，涉及到了大量的基础知识，属于基础题6函数 f（x）=sin（x+ ） （其中 0 且| | ）的图象如图所示，为了得到 y=sinx 的图象，只需把 y=f（x ）的图象上
15、所有点（ ）A向右平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度C向左平移 个单位长度 D向左平移 个单位长度【分析】由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得 f（x）的解析式，再根据函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】结：由函数 f（x ）=sin（x +） （其中 0 且| | ）的图象，可得 = ，=2，再根据五点法作图可得 2 +=，= ，f（x）=sin（2x+ ） 故把 y=f（x）的图象上所有点向右平移 个单位，可得 y=sin2x 的图象，故选：A【点评】本题主要考查由函数 y=Asin（x+ ）的部分图象求解析式，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，再根据
16、函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论，属于基础题7已知定义在 R 上的函数 f（x） ，对任意 xR，都有 f（x +2）=f （x ）+f（1）成立，若函数 y=f（x1）的图象关于直线 x=1 对称，则 f（2015）=（ ）A 2 B0 C2 D2015【分析】先由函数 f（x1）的图象关于直线 x=1 对称，得函数 f（x ）的图象关于直线 x=0 对称，即函数 f（x）是偶函数，在已知条件中令 x=1 可求 f（1）及函数的周期，利用所求周期即可求解【解答】解：函数 f（x 1）的图象关于直线 x=1 对称，由函数的图象的平移可知函数 y=f（x ）关于 x=0 对称，
17、即函数为偶函数f（ x+2）=f（x）+f（1）令 x=1 可得f（1）=f（1） +f（1） ，f（ 1）=f（1 ）=0 ，从而可得 f（x+2）=f（x） ，即函数是以 2 为周期的周期函数f（ 2015）=f（1）=0，故选：B【点评】本题主要考查了利用赋值求解抽象函数的函数值，由图象判断函数的奇偶性，函数的周期的求解是求解本题的关键，属于基础题8已知数列a n的前 n 和为 Sn，a 1=0，a n+1=an+2 +1，则 a5+S4=（ ）A39 B45 C50 D55【分析】推导出 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，从而 ，由此能求出 a5+S4 的值【解答】解：数列a n的
18、前 n 和为 Sn，a 1=0，a n+1=an+2 +1， =1， ， 是首项为 1，公差为 1 的等差数列， =1+（n1）1=n， ， =24，=26a 5+S4=24+26=50故选：C【点评】本题考查数列的前 5 项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用9在ABC 中，若 =5 且| |=4，则ABC 面积的最大值为（ ）A6 B C10 D12【分析】设 A、B、C 所对边分别为 a，b ，c ，由 =5 且| |=4，得bccosA=5，a=4，结合余弦定理可得 b2+c2，再由基本不等式可得 bc 最大值，即可求出ABC 面积的最大值【解答】解：设 A、B、
19、C 所对边分别为 a，b ，c ，由 =5， | |=4，得 bccosA=5，a=4，SABC = bcsinA= bc = bc = ，由余弦定理可得 b2+c22bccosA=16，由消掉 cosA 得 b2+c2=26，bc =13，当且仅当 b=c= 时取等号，S ABC = 6，ABC 的面积的最大值为 6故选：A【点评】本题考查平面向量数量积的运算、三角形面积公式、基本不等式求最值等知识，综合性较强，属中档题10设函数 f（x ）=Asin （x+） ，xR （其中 A 0，0） ，在（ ， ）上既无最大值，也无最小值，且f（ ）=f（0）=f （ ） ，则下列结论成立的是 （
20、）A若 f（x 1） f （x ）f（x 2）对x R 恒成立，则|x 2x1|min=By=f（x）的图象关于点（ ，0）中心对称C函数 f（x）的单调区间为：k+ ，k+ （kZ ）D函数 y=|f（x）|（xR）的图象相邻两条对称轴之间的距离是【分析】对于 A：根据条件先求出函数的解析式，根据条件判断 f（x 1）为函数的最小值，f（x 2）为函数的最大值，即可；对于 B：根据函数的对称性进行判断；对于 C：求出角的范围，结合三角函数的单调性进行判断；对于 D：根据函数的对称性以及对称轴之间的关系进行判断【解答】解：在（ ， ）上既无最大值，也无最小值，（ ， ）是函数的一个单调区间，区
21、间长度为 = ，即函数的周期 T2 = ，即 ，则 0 3f（ 0）=f（ ） ，x= = 是函数的一条对称轴，f （ ）=f（ ） ，x= = ，即（ ，0）是函数的一个对称中心，则 += ， +=，由解得 =2，= ，即 f（x）=Asin （2x+ ） ，函数的周期 T=，对于 A 若 f（ x1）f （x 2）对任意实数 x 恒成立，则 f（x 1）为函数的最小值，f（x 2）为函数的最大值，则|x 2x1|= k=k ，即 x2x1 必定是 的整数倍正确，故 A 错误；对于 Bx= 时，f（x）=Asin（ ） ，不对称，故 B 错误；对于 C：当 xk+ ，k+ （k Z） ，则
22、2x2k+ ，2k+ （kZ） ，2x+ 2k+ ，2k+ （kZ） ，则此时函数单调递减，即函数 f（x ）在每一个k+ ，k+ （k Z）上具有严格的单调性正确，故 C 正确对于 D：对于函数 y=|f（x ）|（xR ）的图象，则当 x= 时， y=|Asin（2（ ）+ ）=|Asin（ ）|=|Asin |=A，为最值，则 一定是一条对称轴，且相邻两条对称轴之间的距离是 = ；故 D 错误；故选：C【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键综合性较强，运算量较大11等差数列a n前 n 项和为 Sn，已知（1 a1007） 52017
23、（a 10071）=1， （1a 1011） 52017（a 10111）=1，则（ ）AS 2017=2017，a 1007a 1011 BS 2017=2017，a 1007 a1011C S2017=2017，a 1007a 1011 DS 2017=2017，a 1007 a1011【分析】 （1a 1007） 52017（a 10071）=1， （1a 1011） 52017（a 10111）=1，可得a10071，a 10111，即 a1011a 1007，设 a=a10071，b=a 10111，则 a0，b 0，则条件等价为：a 5+2015a=1，b 5+2015b=1，两式
24、相加得（a +b）（a 4a3b+a2b2ab3+b4）+2015（a+b ）=0 ，进而得出【解答】解：（1a 1007） 52017（a 10071）=1， （1a 1011） 52017（a 10111）=1，a 10071， a10111，即 a1011a 1007，设 a=a10071， b=a10111，则 a0，b 0，则条件等价为：a 5+2015a=1，b 5+2015b=1，两式相加得 a5+b5+2015（a+b ）=0 ，即（a +b） （a 4a3b+a2b2ab3+b4）+2015（a+b）=0，（a +b） （a 4a3b+a2b2ab3+b4+2015）=0 ，
25、a 0 ，b 0，ab 0 ，ab0，即 a4a3b+a2b2ab3+b4+20150，必有 a+b=0，即 a10071+a10111=0，a 1007+a1011=2=a1+a2017，S 2017= =2017故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题12函数 f（ x）= ，若 f（a）=f（b）=f（c ）=f（d）且a bc d，给出下列三个结论：abcd（0，e 2；a +b+c+d（e 3+ 2，e 4+ 2；已知关于 x 的方程 f（x）+（1） kxt=0 恰有三个不同实根，若 k 为偶数，则t2， ；若 k
26、为奇数，则 t=2， ；其中正确的结论有（ ）个A0 B1 C2 D3【分析】画出函数 f（x） = 的图象，数形结合，分析三个结论的真假，可得答案【解答】解：f（x）= =函数 f（x ）的图象如下图所示：若直线 y=m 与函数 f（x）的图象相交于四个不同的点，由图可知 m2，3） ，则 a，b 是 x2+2x+m2=0的两根，a+b=2，ab=m2，ab 0，1） ，且 lnc=1m，lnd=1+m，ln（cd ）=2，cd=e 2，abcd0，e 2） ，是正确的由 1lnx=3 得 x= ，由 1lnx=2 得 x= ，c （ ， ，又cd=e 2，a +b+c+d=c+ 2 在（
27、， 是递减函数，a+b +c+de3+ 2，e 4+ 2） ；是错误的已知关于 x 的方程 f（x）+（1） kxt=0 恰有三个不同实根，若 k 为偶数，即 f（x）+xt=0 恰有三个不同实根，则 y=f（x）与 y=x+t 有三个不同的交点，当 y=x+t 过（0，2）点时， t=2，当 y=x+t 与抛物线相切时， x+t=x22x+2，即 x2+x+t2=0 的=14（t 2）=0 ，解得：t= ，故 t2， ；若 k 为奇数，即 f（x ）xt=0 恰有三个不同实根，则 y=f（x）与 y=x+t 有三个不同的交点，当 y=x+t 过（0，2）点时，t=2，当 y=x+t 与抛物线
28、相切时，x+t= x22x+2，即 x2+3x+t2=0 的=94（t2）=0，解得：t= ，故 t2， ；若关于 x 的方程 f（x）+x=m 恰有三个不同实根，则 y=f（x ）与 y=x+m 有三个不同的交点，故正确的故选 C【点评】本题考查函数的图象，分段函数，零点与方程的根之间的关系，综合性较强二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知 ，| |=1， | |=2，且 +2 与 垂直，则实数 的值为 8 【分析】利用两个向量垂直的性质，求得 =0，再根据（ +2 ） （ ）=0，求得实数 的值【解答】解：已知 ，| |=1，| |=2， =0，再根据 +
29、2 与 垂直，（ +2 ）（ ）= +（2 1） 2 =+08=0，=8，故答案为：8【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的运算，属于基础题14已知 sin= cos，则 的值为 【分析】已知可化为 sin+cos= ，由三角函数公式可得= （sin+cos） ，代值计算可得【解答】解： = （ sin+cos） ，sin= cos，sin+cos= ，原式= （sin+cos）= ，故答案为： 【点评】本题考查三角函数化简求值，涉及二倍角公式和和差角的三角函数，属基础题15已知 f（ x）= ，则函数 h（x ）=f （x ）+1 有 2 个零点【分析】根据已知中 f（x
30、 ）= ，分析出两段上函数h（x）=f（x ）+1 零点的个数，综合可得答案【解答】解：当 x0 时，令 h（x）=f （x）+1=lnx+1=0，解得：x= ，当 x0 时，h（x）=f（x）+1= +1= +1=exx22x，令 g（ x）=e xx22x，x0，则 g（x）=e x2x2，g（x）0 在 x0 时恒成立，故 g（ x）为增函数，又由 g（0）=1， 得，此时函数也有一个零点，综上可得：函数 h（x）=f （x ）+1 有 2 个零点故答案为：2【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的零点，积分运算，难度中档16设ABC 的三个内角 A、B 、C 的对边分别为 a、
31、b 、c，且asinAsinB+bcos2A= a，则角 A 的取值范围为 （0， 【分析】利用正弦定理化简已知的等式，整理后利用同角三角函数间的基本关系化简，得到 sinB=2sinA，再利用正弦定理化简得： b=2a，由余弦定理表示出cosA，整理后利用基本不等式求出 cosA 的范围，再由 A 为三角形的内角，且根据余弦函数的单调性，即可得到 A 的范围【解答】解：在ABC 中，由正弦定理化简已知的等式得： sin2AsinB+sinBcos2A=sinA，即 sinB（sin 2A+cos2A）= sinA，sinB= sinA，由正弦定理得：b= a，由余弦定理得：cosA= = =
32、 = ，A 为三角形 ABC 的内角，且 y=cosx 在（0，）上是减函数，0A ，则 A 的取值范围是：（0， 故答案为：（0， 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，基本不等式，以及余弦函数的单调性，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题三、解答题（本大题 6 小题共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）17 （10 分）已知 f（x）=2sin（ + ）（1）若向量 =（ cos ，cos ） ， =（ cos ，sin ） ，且 ，求 f（x）的值；（2）在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别是 a，b，c，且满足（ ac）cosB=bcosC
33、，求 f（A）的取值范围【分析】 （1）利用数量积的坐标运算与辅助角公式得到：sin（ + ）+ =0，从而可求 f（x）的值；（2）利用正弦定理求出 A 取值范围，然后求出函数 f（A）的取值范围【解答】解：（1）向量 =（ cos ，cos ） ， =（cos ，sin ） ，且 ， cos sin +cos2 = sin + cos + =0，sin （ + ）+1=0，sin （ + ）=1，f（ x）= 1；（2）因为（ ac）cosB=bcosC，由正弦定理得：（ sinAsinC）cosB=sinBcosC，即 sinAcosB=sinBcosC+sinBsinC=sin（B +
34、C） ，又ABC 中 A+B+C=， sinAcosB=sinA，A，B （0，） ，cosB= ，则 B= ，因此 A+C= ，于是 A（0， ） ，由 f（x）=2sin（ + ） ，得到：f（A）=2sin（ + ） ， + 故 f（A）的取值范围为（1，2【点评】本题考查数量积的坐标运算，考查三角函数中的恒等变换应用，突出考查辅助角公式与两角和的余弦，属于中档题18 （12 分）中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题，若某地区 2015 年人口总数为 45 万，实施“放开二
35、胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从 2016 年开始到 2025 年每年人口比上年增加 0.5 万人，从 2026 年开始到 2035 年每年人口为上一年的99%（1）求实施新政策后，从 2016 年开始到 2035 年，第 n 年的人口总数 an 的表达式；（2）若新政策实施后的 2016 年到 2035 年人口平均值超过 49 万，则需调整政策，否则继续实施，问到 2035 年后是否需要调整政策？（说明：0.9910=（1001） 100.9） 【分析】 （1）根据从 2016 年开始到 2025 年每年人口比上年增加 0.5 万人，从2026 年开始到 2035 年每年人口为
36、上一年的 99%，可得分段函数；（2）从 2016 年到 2035 年共 20 年，由等差数列及等比数列的求和公式，可求S20，从而可得新政策实施到 2035 年年人口均值，即可得出结论【解答】解：（1）当 n10 时，数列a n是首项为 45.5，公差为 0.5 的等差数列，a n=45.5+0.5（n 1）=45+0.5n （2 分）当 n11 时，数列a n是以公比为 0.99 的等比数列，又 an=50a n=500.99n10 （4 分）因此，新政策实施后第 n 年的人口总数 an（单位：万元）的表达式为an= （6 分）（2）设 Sn 为数列 an的前 n 项和，则从 2016 年
37、到 2035 年共 20 年，由等差数列及等比数列的求和公式得：S20=S10+（a 11+a12+1+a20）=477.5+4950（10.99 10）972.5 万（10 分）（说明：0.99 10=（10.01） 100.9）新政策实施到 2035 年年人口均值为 48.62 万 （12 分）由 49，故到 2035 年不需要调整政策 （12 分）【点评】本题考查数列的应用，考查利用数列知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题19 （12 分）设ABC 的三个内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，且cos（BC）+cosA= ，a 2=bc（1）求角 A 的大
38、小；（2）名ABC 的面积为 4 ，求ABC 的周长【分析】 （1）由题意和两角和与差的三角函数公式可得 sinBsinC= ，结合正弦定理可得 sinA= ，可得 A=60或 120，验证排除 A=120即可；（2）由余弦定理和已知可得 b=c，再由面积公式可得 bc=16，联立可得 bc 的值，进而可得 a 值，相加可得周长【解答】解：（1）cos （B C）+cosA= ，cos（BC） cos（B+C） = ，cosBcosC+sinBsinCcosBcosC+sinBsinC= ，sinBsinC= ，又a 2=bc，由正弦定理可得 sin2A=sinBsinC= ，sinA= ，A
39、=60或 120，若 A=120，则 cos（BC ）+cosA=cos （B C） = ，cos（BC） =2，显然矛盾，故 A=60；（2）由余弦定理可得 a2=b2+c22bccosA=b2+c2bc，a 2=bc，bc=b 2+c2bc，即（ bc） 2=0，故 b=c，再由面积公式可得 bcsinA= bc=4 ，故 bc=16，由 b=c 且 bc=16 可得 b=c=4，a 2=bc=16，解得 a=4，ABC 的周长为 4+4+4=12【点评】本题考查解三角形，涉及正余弦定理和三角形的面积公式，属中档题20 （12 分）已知数列a n的前 n 项和 Sn= n2+kn（k N*
40、） ，且 Sn 的最大值为8（1）求常数 k 的值，并求 an；（2）对任意 mN*，将数列a n中落入区间（4 m，2 m）内的项的个数记为bm，若 cm= ，求数列c n的前 m 项和 Tm【分析】 （1）由二次函数的性质可知，当 n=k 时，S n= n2+kn 取得最大值，代入可求 k，然后利用 an=snsn1 可求通项（2）根据已知条件推知 bm=（4 m+ ） （2 m+ ）=4 m2m，则结合（1）中的通项公式和已知条件 cm= 得出：c m=（ m）2 m（ m） ，然后利用分组求和法来求数列c n的前 m 项和 Tm【解答】解：（1）S n= n2+kn= （n k） 2+
41、 ，当 n=k 时， （S n） max= =8，解得 k=4，S n= n2+4n，当 n=1 时，a 1=S1= ，当 n2 时，a n=snsn1= n，显然 a1= 适合 an= n，数列a n的通项公式为 an= n（n Z+） ；（2）依题意有4 m n2 m，则 2m+ n 4 m+ ，又 mZ+，b m=（4 m+ ） （2 m+ ）=4 m2m，c m= = =（ m）2 m（ m） ，且 am= m，前 m 项和为：A m= = ；令 tm=（ m）2 m，前 m 和为记为：B m，则 Bm= 2+ 22+ 23+ 24+（ m）2 m，2B m= 22+ 23+ 24+
42、25+（ m）2 m+1，由得：B m= 2（2 2+23+24+2m）（ m）2 m+1=7 （ m）2m+1=11（112m）2 m，B m=（112m）2 m11T m=BmAm=（112m）2 m11 =（11 2m）2 m+ 【点评】本题主要考查了等差数列的性质及通项公式的应用，等比数列的求和公式的应用，属于等差数列与等比数列基本运算的综合应用21 （12 分）已知函数 f（ x）=alnx+bx 2 的图象在点（ 1，f（1） ）处的切线方程为 xy1=0（1）求 f（x）的表达式；（2）若 F（x）满足 F（x）G（x ）恒成立，则称 F（x）是 G（x）的一个“游离承托函数”
43、证明：函数 g（x）=2af（x+t） ，t R 且 t2，是函数 h（x ）=e x+f（x +t）的一个“游离承托函数 ”【分析】 （1）求导数，利用函数 f（x ）=alnx+bx 2 的图象在点（1，f（1） ）处的切线方程为 xy1=0，求出 a，b，即可求 f（x ）的表达式；（2）由题要证函数 g（x）=2f（x+t） ，t R 且 t2 ，是函数 h（x）=e x+f（x+t ）的一个“游离承托函数 ”，只要证明当 t2 时，g （x ）h（x）在公共定义域上恒成立【解答】 （1）解：当 x=1 时，y=0，代入 f（x ）=alnx +bx2 得 b=0，（1 分）所以 f（
44、 x）=alnx，f（x）= （3 分）由切线方程知 f（1）=1 ，所以 a=1，故 f（x ）=lnx（2）证明：由题要证函数 g（x）=2f（x+t） ，t R 且 t2，是函数 h（x）=ex+f（ x+t）的一个“游离承托函数”，只要证明当 t2 时，g（x）h（x）在公共定义域上恒成立，即证明：当 t2 时， h（x）g（x）=e xln（x+t ）对于 xt 恒成立，由于 t2，x+tx+2，ln（x+t ）ln（x+2） ，e xln（x+t）e xln（x +2） ，只要证明：e xln（x+2）0 对于 x2 恒成立即可（6 分）证明：令 y=exln（x+2） ，x2，则
45、 y=ex ，令 k（x）=e x ，则 k（x ）=e x+ 0，y=e x 在（2，+）上单调递增，且 k（ 1） = 10 ，k （0）=1 0x 0（1，0） ，使得 k（x 0）=0 成立，（8 分）当 x（2，x 0）时，y 0 ，y=e xln（x+2）单调递减；当 x（x 0，+ ）时，y 0，y=e xln（x +2）单调递增；y min= ln（x 0+2） ， （9 分）又由 k（x 0）=0，得 = ，且 x0=ln（x 0+2）（10 分）y min= ln（x 0+2）= 0，（11 分）e xln（x +2） 0 对于 x2 恒成立函数函数 g（x）=2f（x+t） ，t R 且 t2，是函数 h（x）=e x+f（x+t ）的一个“游离承托函数 ”，得证 （12 分）【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题等基础题知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，分类讨论思想，属于难题22 （12 分）已知函数 f（ x）=e x+ax，g（x）=xe x+a（1）若对于任意的实数 x，都有 f（x）
