1、2015-2016 学年河南省郑州市登封市高三（上）期中数学试卷（理科）一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合 A=x|y= ，且 AB=B ，则集合 B 可能是（ ）A1 ，2 ，3 Bx|1x1 C 2，2 DR2如图所示，在复平面内，点 A 对应的复数为 z，则复数 z2=（ ）A 34i B5+4i C54i D3 4i3已知命题 p：x0，x+ 2 ，则p 为（ ）A 2 B 2C 2 D 24函数 f（x）的导数为题 f（x）若函数在区间 f（x ）在区间（a，b）内无极值点，则 f（ x）在区间（a，b ）内无
2、零点命题 P 的逆命题，否命题，逆否命题中，正确的个数是（ ）A0 B1 C2 D35由曲线 xy=1，直线 y=x，y=3 所围成的平面图形的面积为（ ）A B2ln3 C4+ln3 D4 ln36数列a n前 n 项和为 Sn，a 1=1，a 2=3，且 an+2=|an+1an|（n N*） ，则 S2015=（ ）A1342 B1344 C1346 D13487下列函数中，既是奇函数又在区间2，2上单调递增的是（ ）Af （x）=sinx Bf（x）=a x+ax（a0 ，a1）C f（ x）=ln Df（x）=a xax， （a0，a 1）8设 是第三象限，cos（+）cos+sin
3、（+）sin= ，则 tan =（ ）A 3 B2 C2 D39等比数列a n的前 n 项和 Sn 为，并且对任意的正整 n 数成立 Sn+2=4Sn+3，则a2=（ ）A2 B6 C2 或 6 D2 或 610设 是两个非零的平面向量，给出下列说法若 =0，则有 ； ；若存在实数 ，使，则 ；若 ，则存在实数 ，使得其中说法正确的个数是（ ）A1 B2 C3 D411设 a=log50.5，b=log 20.3，c=log 0.32 则（ ）Ab a c Bbca Ccba Dab c12已知方程 在（0，+）有两个不同的解 ，（ ） ，则下面结论正确的是（ ）A BC D二.填空题：本大题
4、共 4 小题，每小题 5 分13求值： = 14等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 1=20，a n=54，S n=999，则公差 d= 15在ABC 中，已知 若 cosA= ，则 tanB= 16用 mina，b表示 a，b 二个数中的较小者设 f（x）=min，则 f（x ）的最大值为 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17命题 P：存在实数 x，x 22cx+c0；命题 Q：|x1|x+2c0 对任意 xR 恒成立若 P 或 Q 为真，P 且 Q 为假，试求 c 的取值范围18已知向量 ，函数 f（x ）=（）求函数 f（x）的解析式，并在给定的坐标系中用“五点法
5、”作出函数f（x）在0， 上的图象；（须列表）（）该函数的图象由 y=sinx（xR ）的图象经过怎样的变化得到？19已知 f（ x）=x 3ax23x，其中 aR（1）当 a=4 时，求 f（x）在1，1上的最大值；（2）若 f（x）在1，+ ）上存在单调递减区间，求 a 的取值范围20如图，在ABC 中， ACB 为钝角，AB=2，BC= D 为 AC 延长线上一点，且 CD= +1（）求BCD 的大小；（）求 BD 的长及ABC 的面积21在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于 q，每列上的数从上到下都成等差数列a ij 表示位于第 i a11 a1
6、2 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 行第 j 列的数，其中 ，a 42=1， （） 求 q 的值；（） 求 aij 的计算公式；（）设数列b n满足 bn=ann，b n的前 n 项和为 Sn，求 Sn22已知函数 f（x ）=lnx+x 22ax+1，g（x）=e x+x22ax+1， （a 为常数） （）讨论函数 f（x）的单调性；（）证明：|f（x）g （x）|22015-2016 学年河南省郑州市登封市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合 A=
7、x|y= ，且 AB=B ，则集合 B 可能是（ ）A1 ，2 ，3 Bx|1x1 C 2，2 DR【考点】函数的定义域及其求法；交集及其运算【分析】化简集合 A=x|y= ，得到 x 应满足：x 0，即 A=x|x0，易知答案【解答】解：集合 A=x|y= ，x 应满足：x0，A=x|x0 ，AB=B，BA1，2，3 A故选：A2如图所示，在复平面内，点 A 对应的复数为 z，则复数 z2=（ ）A 34i B5+4i C54i D3 4i【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念【分析】在复平面内，点 A 对应的复数为 z=2+i，再利用复数的运算法则即可得出【解答】解：在复平面内，点
8、 A 对应的复数为 z=2+i，则复数 z2=（2 +i） 2=34i故选：D3已知命题 p：x0，x+ 2 ，则p 为（ ）A 2 B 2C 2 D 2【考点】命题的否定【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论【解答】解：命题 p 为全称命题，则命题的否定为： 2，故选：D4函数 f（x）的导数为题 f（x）若函数在区间 f（x ）在区间（a，b）内无极值点，则 f（ x）在区间（a，b ）内无零点命题 P 的逆命题，否命题，逆否命题中，正确的个数是（ ）A0 B1 C2 D3【考点】四种命题【分析】可先判断出原命题与其逆命题的真假，根据四种命题的等价关系即可判断出真命题的个数【解答
9、】解：函数 f（x）的导数为 f（x）若函数在区间 f（x ）在区间（a，b）内无极值点，则 f（x ）在区间（a，b ）内无零点，故原命题为真正确，则逆否命题为真命题，其逆命题为：函数 f（x）的导数 f（x） ，若 f（x）在区间（a，b ）内无零点，则函数在区间 f（x）在区间（ a，b ）内无极值点，逆命题也是真命题，由此可知命题的否命题也是真命题，因为原命题的逆命题与否命题是等价命题综上可知：命题 p 的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是 3故选：D5由曲线 xy=1，直线 y=x，y=3 所围成的平面图形的面积为（ ）A B2ln3 C4+ln3 D4 ln3【考点】定积分
10、在求面积中的应用【分析】由题意利用定积分的几何意义知，欲求由曲线 xy=1，直线 y=x，y=3 所围成的平面图形的面积曲边梯形 ABD 的面积与直角三角形 BCD 的面积，再计算定积分即可求得【解答】解：根据利用定积分的几何意义，得：由曲线 xy=1，直线 y=x，y=3 所围成的平面图形的面积：S= （3 ）dx+=（ 3xlnx） +2=3ln31+2=4ln3故选 D6数列a n前 n 项和为 Sn，a 1=1，a 2=3，且 an+2=|an+1an|（n N*） ，则 S2015=（ ）A1342 B1344 C1346 D1348【考点】数列的求和【分析】a 1=1，a 2=3，
11、且 an+2=|an+1an|（n N*） ，可得a3=|a2a1|=2，a 4=1，a 5=1，a 6=0，a 7=1，a 8=1，a 9=0， ，可得：从第 4 项开始为周期数列，其周期 T=3即可得出【解答】解：a 1=1，a 2=3，且 an+2=|an+1an|（n N*） ，a 3=|a2a1|=2，a 4=|a3a2|=1，a 5=|a4a3|=1，a 6=|a5a4|=0，a 7=|a6a5|=1，a 8=1，a9=0，可得：从第 4 项开始为周期数列，其周期 T=3S 2015=a1+a2+a3+（a 4+a5+a6）670+a 4+a5=6+2670+2=1348故选：D7
12、下列函数中，既是奇函数又在区间2，2上单调递增的是（ ）Af （x）=sinx Bf（x）=a x+ax（a0 ，a1）C f（ x）=ln Df（x）=a xax， （a0，a 1）【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断【分析】分别判断四个答案中是否满足既是奇函数又在2，2上单调递增，易得到答案【解答】解：Asinx 在 上单调递减；Bf （0）=20，f （x ）不是奇函数；C f（ x）=ln =ln =f（x ） ，f（x）是奇函数，设 x1，x 22，2，且 x1 x2，则 f（x 1） f（x 2）=ln ln =ln，x 1x 2，3+x 13+x 2，3x 23x 1
13、， 1，ln 0，f（ x1）f（x 2）0 ，即 f（x 1）f （x 2） ，f（ x）在区间2，2上单调递增，Df（x）=（a x+ax）lna；0a1 时，lna0，f（x）0；f（ x）单调递减故选：C8设 是第三象限，cos（+）cos+sin（+）sin= ，则 tan =（ ）A 3 B2 C2 D3【考点】两角和与差的正弦函数【分析】由条件利用两角差的余弦公式求得 cos= ，可得 sin 的值，再利用半角公式求得 tan 的值【解答】解： 是第三象限， cos（+）cos+sin（+）sin=cos（+）=cos= ，sin= = ，则 tan = = =2，故选：B9等比
14、数列a n的前 n 项和 Sn 为，并且对任意的正整 n 数成立 Sn+2=4Sn+3，则a2=（ ）A2 B6 C2 或 6 D2 或 6【考点】等比数列的前 n 项和【分析】设等比数列a n的公比为 q，由等比数列可得 Sn+2=q2Sn+a1（1+q） ，比较已知式子可得 a1 和 q，可得 a2【解答】解：设等比数列a n的公比为 q，由等比数列可得 Sn+1=qSn+a1，S n+2=q（qS n+a1）+a 1=q2Sn+a1（1+q ） ，由已知式子 Sn+2=4Sn+3 比较可得 q2=4，a 1（1+q ）=3，联立解得 或 ，当 时，a 2=a1q=2；当 时，a 2=a1
15、q=6故选：C10设 是两个非零的平面向量，给出下列说法若 =0，则有 ； ；若存在实数 ，使，则 ；若 ，则存在实数 ，使得其中说法正确的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【考点】平面向量数量积的运算【分析】若 =0，则有 = ，即可判断出正误；利用数量积的定义即可判断出正误；若存在实数 ，使 ，则 = = ， = ，即可判断出正误；由于 ，当且仅当 与 同向共线时 ，即可判断出正误【解答】解：若 =0，则有 = ，正确； = | | ，因此不正确；若存在实数 ，使 ，则 = = ， = ， ，因此不正确； ，当且仅当 与 同向共线时 ，因此存在实数 ，使得 ，正确其中说法正确的个数是 2故
16、选：B11设 a=log50.5，b=log 20.3，c=log 0.32 则（ ）Ab a c Bbca Ccba Dab c【考点】对数值大小的比较【分析】化简可得 log20.3 1，log 50.51，log 0.321；再化简log0.32= ，log 50.5= = = ，从而比较大小【解答】解：log 50.5log 50.2=1，log20.3log 20.5=1，log 20.3log 20.25=2；log0.32log 0.3 =1；log0.32= ，log 50.5= = = ，1 lg0.2lg0.30， ；即 c a；即 bca ；故选 B12已知方程 在（0，
17、+）有两个不同的解 ，（ ） ，则下面结论正确的是（ ）A BC D【考点】根的存在性及根的个数判断；两角和与差的正切函数【分析】利用 x 的范围化简方程，通过方程的解转化为 函数的图象的交点问题，利用相切求出 的正切值，通过两角和的正切函数求解即可【解答】解： ，要使方程 在（0，+）有两个不同的解，则 y=|sinx|的图象与直线 y=kx（k0）有且仅有两个公共点，所以直线 y=kx 与 y=|sinx|在 内相切，且切于点（，sin ） ，由 ，故选 C二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13求值： = 2 【考点】对数的运算性质【分析】利用对数的运算性质 lgMlgN=lg
18、 以及 lgMn=nlgM 进行化简运算即可得到答案【解答】解： = ， =2故答案为：214等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 1=20，a n=54，S n=999，则公差 d= 【考点】等差数列的前 n 项和【分析】利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出【解答】解：等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 1=20，a n=54，S n=999， ，解得 n=27，d= 故答案为： 15在ABC 中，已知 若 cosA= ，则 tanB= 【考点】平面向量数量积的运算【分析】设ABC 的三边分别是 a，b，c，运用向量数量积的定义和正弦定理，结合同角的平方关系和商数关系
19、，化简即可得到所求值【解答】解：设ABC 的三边分别是 a，b，c，由 ，可得cbcosA=2cacosB，由正弦定理可得，sinBcosA= 2sinAcosB，则 tanB= = =2tanA，由 cosA= ，可得 sinA= = ，则 tanA= = ，即有 tanB= 故答案为： 16用 mina，b表示 a，b 二个数中的较小者设 f（x）=min，则 f（x ）的最大值为 2 【考点】函数的最值及其几何意义；对数值大小的比较【分析】讨论当 +3log 2x，当 +3log 2x，由对数函数的单调性可得 x 的范围，f（x）的解析式，再由单调性求得最大值【解答】解：当 +3log
20、2x，即为 3 log2xlog 2x，即 log2x3，解得 x4，即有 f（ x）= +3，当 x=4 时，取得最大值 31=2；当 +3log 2x，解 0x4，即有 f（ x）=log 2x，由 f（ x）递增，则 f（x ）2综上可得 f（x）的最大值为 2故答案为：2三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17命题 P：存在实数 x，x 22cx+c0；命题 Q：|x1|x+2c0 对任意 xR 恒成立若 P 或 Q 为真，P 且 Q 为假，试求 c 的取值范围【考点】复合命题的真假【分析】关于命题 P：存在实数 x，x 22cx+c0，即存在实数 x，使得（x c）2c
21、 2c 即可，只需 c2c0，解得 c 范围命题 Q：|x1|x+2c0，化为2cx |x1|，令 f（x）=x |x1|= ，可得 f（x）1即可得出 c 的取值范围若 P 或 Q 为真， P 且 Q 为假，P 与 Q 必然一真一假【解答】解：关于命题 P：存在实数 x，x 22cx+c0，即存在实数 x，使得（xc） 2c 2c 即可，只需 c2c 0，解得：c 0 或 c1 ，P 真： c0 或 c1；命题 Q：|x1|x+2c 0，化为 2cx |x1|，令 f（x）=x|x 1|= ，f（ x）12c1，解得 c 若 P 或 Q 为真， P 且 Q 为假，P 与 Q 必然一真一假 或
22、 ，解得 c0 或 因此 c 的取值范围是 18已知向量 ，函数 f（x ）=（）求函数 f（x）的解析式，并在给定的坐标系中用“五点法”作出函数f（x）在0， 上的图象；（须列表）（）该函数的图象由 y=sinx（xR ）的图象经过怎样的变化得到？【考点】函数 y=Asin（x+ ）的图象变换；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用【分析】 （）利用平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用可求函数解析式，列表，描点，连线即可用“五点法” 作出函数 f（x）在0，上的图象；（）根据函数 y=Asin（x+ ）的图象变换规律即可得解【解答】 （本小题满分 12 分）解：（）f（x）=
23、 =3sinxcosx sin2x+ cos2x=3sin（2x+ ） 令 X=2x+ ，则 f（x）=3sin（2x + ）=2sin X列表：x0 X 0 2y=sinX 0 1 0 1 0f（ x）=3sin （2x +）0 2 0 2 0描点画图：（2）法一：把 y=sin x 的图象上所有的点向左平移 个单位长度，得到y=sin（x+ ）的图象；再把 y=sin（x+ ）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变） ，得到 y=sin（2x + ）的图象；最后把 y=sin（2x+ ）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍（横坐标不变） ，即可得到y=3sin（2x+ ）的
24、图象法二：将 y=sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍（纵坐标不变） ，得到 y=sin 2x 的图象；再将 y=sin2x 的图象向左平移 个单位长度，得到y=sin2（x+ ）=sin（2x+ ）的图象；再将 y=sin（2x+ ）的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 3 倍（横坐标不变） ，即得到 y=3sin（2x+ ）的图象19已知 f（ x）=x 3ax23x，其中 aR（1）当 a=4 时，求 f（x）在1，1上的最大值；（2）若 f（x）在1，+ ）上存在单调递减区间，求 a 的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】 （1）求
25、出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；（2）求出函数的导数，根据二次函数的性质求出 a 的范围即可【解答】解：（1）f（x） =x34x23x，f （x）=3x 28x3=（3x+1） （x3） ，f（ x）在（1， ）上单调递增，在（ ，1）上单调递减，f（ x） max=f（ ）= ；（2）f（x）=3x 22ax3，f（ x）在1，+）上存在单调递减区间f（1） 0，解得：a 0 ， ，无解，综上：a020如图，在ABC 中， ACB 为钝角，AB=2，BC= D 为 AC 延长线上一点，且 CD= +1（）求BCD 的大小；（）求 BD 的长
26、及ABC 的面积【考点】余弦定理的应用【分析】 （）利用正弦定理求出BCD 的正弦函数值，然后求出角的大小；（）在BCD 中，由余弦定理可求 BD 的长，然后求出 AC 的长，即可求解ABC 的面积【解答】 （本小题满分 13 分）解：（）在ABC 中，因为 ， ，由正弦定理可得 ，即 ，所以 因为ACB 为钝角，所以 所以 （）在BCD 中，由余弦定理可知 BD2=CB2+DC22CBDCcosBCD，即 ，整理得 BD=2在ABC 中，由余弦定理可知 BC2=AB2+AC22ABACcosA，即 ，整理得 解得 因为ACB 为钝角，所以 ACAB=2 所以 所以ABC 的面积 21在下列由
27、正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于 q，每列上的数从上到下都成等差数列a ij 表示位于第 i a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 行第 j 列的数，其中 ，a 42=1， （） 求 q 的值；（） 求 aij 的计算公式；（）设数列b n满足 bn=ann，b n的前 n 项和为 Sn，求 Sn【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】 （）设第 4 列公差为 d，则 d= 可得 a44=a54d，于是 q2=解出即可（）在第 4 列中，a i4=a24+（i 2）d 由于第 i 行成等比数列，且公比 ，可得 aij=
28、 （）由（）可得 即bn= S n=b1+b2+b3+bn=a11+a22+a33+ann利用“错位相减法”与等比数列的前 n 项和公式即可得出【解答】解：（）设第 4 列公差为 d，则 故 ，于是 由于 aij0，q0，故 （）在第 4 列中， 由于第 i 行成等比数列，且公比 ， （）由（）可得 即 bn= S n=b1+b2+b3+bn=a11+a22+a33+ann即 ，故 两式相减，得 =， 22已知函数 f（x ）=lnx+x 22ax+1，g（x）=e x+x22ax+1， （a 为常数） （）讨论函数 f（x）的单调性；（）证明：|f（x）g （x）|2【考点】利用导数研究函数
29、的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】 （1）求出导数， （x0） ，再讨论g（ x）=2x 22ax+1 的取值情况即可；（）|f（x ）g （x ）|=| lnxex|=exlnx，只需 F（X）=e xlnx， ，的最小值大于 2 即可【解答】 （本小题满分 12 分）解：（） （x 0） ，记 g（x）=2x 22ax+1当 a0 时，因为 x0，所以 g（x ）10，函数 f（x）在（0，+）上单调递增；当 时，因为=4（a 22）0，所以 g（x ）0，函数 f（x）在（0，+）上单调递增；当 时，由 ，解得 ，所以函数 f（x）在区间 上单调递减，在区间 上单调递增（2）f（x ）与 g（x ）的公共定义域为（ 0，+） ， |f（x）g（x）|=|lnxex|=exlnx，令 F（X）=e xlnx， ， ，所以 F（x）单调递增因为 ，所以存在唯一 使得 ，且当 x（0，x 0）时 F（x）0，F （x）递减； 当 x（x 0，+）时 F（x）0，F（x）当递增；所以 故|f（x ）g（x）|2 2017 年 1 月 15 日
