1、第 1 页（共 21 页）2015-2016 学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的1已知集合 A=x|x21，集合 B=x| 1，则 AB=（ ）A （1， 0） B （0，1） C （1，+） D2已知实数 x，y 满足不等式组 ，则 的最大值为（ ）A0 B C1 D23抛物线 y=4x2 的准线方程为（ ）Ax= 1 By= 1 Cx= Dy= 4已知ABC 内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c ，B=60 ，b 2=ac，则 A=（ ）A30 B45 C6
2、0 D905 “方程 =1 表示双曲线”是“n1”的（ ）A充分不必要条件 B必要且不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件6已知等差数列a n中，前 n 项和为 Sn，a 10，a 1007+a1008=0，则当 Sn 取最大值时，n=（ ）A1007 B1008 C2014 D20157双曲线 C： =1（a0，b0）与直线 y=x 交于不同的两点，则双曲线 C 的离心率的取值范围是（ ）A （1， ）（ ，+） B （ ，+） C （1， ） D （ ，2）8已知 ABCDA1B1C1D1 为正方体，则二面角 BA1C1A 的余弦值为（ ）A B C D9若命题“x（1，+） ，x
3、2（2+a）x+2+a 0” 为真命题，则实数 a 的取值范围是（ ）A （，2 B （ ，2 C 2，2 D （，22，+）第 2 页（共 21 页）10已知椭圆 + =1 与双曲线 =1 有共同的焦点 F1，F 2，两曲线的一个交点为P，则 的值为（ ）A3 B7 C11 D2111已知ABC 内角 A，B ，C 的对边分别是 a，b，c ，以下说法：在ABC 中， “a，b，c 成等差数列” 是“acos 2 +ccos2 = b”的充要条件；命题“在锐角三角形 ABC 中，sinAcosB”的逆命题和逆否命题均为真命题；命题“对任意三角形 ABC，sinA+sinBsinC”为假命题正
4、确的个数为（ ）A0 B1 C2 D312如图，椭圆 + =1（ab0）的左右顶点分别为 A1，A 2，上顶点为 B，从椭圆上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 F，且 A2BOP，|FA 2|= + ，过 A2 作 x 轴的垂线 l，点 M 是 l 上任意一点，A 1M 交椭圆于点 N，则 =（ ）A10B5C15D随点 M 在直线 l 上的位置变化而变化二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分.、共 20 分.13已知数列a n的前 n 项和为 Sn=2n3n，则 a6+a7+a8=_14已知实数 x，y 满足 +y2=1，则 x+2y 的最大值为_15四棱柱 ABCDA1
5、B1C1D1 各棱长均为 1，A 1AB=A 1AD=BAD=60 ，则点 B 与点D1 两点间的距离为_第 3 页（共 21 页）16已知 p：“ 0” ，q：“ x22x+1m20（m0） ”，命题“ 若p，则q”为假命题， “若q，则p”为真命题，则实数 m 的取值范围是_三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知 f（x）=ax 2（a+2）x+2（1）若实数 a0，求关于 x 的不等式 f（x）0 的解集；（2）若“ x ”是“f（x）+2x0”的充分条件，求正实数 a 的取值范围18已知等比数列a n的前 n 项和为 Sn，公比
6、q1，S 2=6，且 a2 是 a3 与 a32 的等差中项（1）求 an 和 Sn；（2）设 bn=log2an，求 Tn= + + 19已知ABC 内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c （1）若 b 是 a 与 c 的等比中项，求 B 的取值范围；（2）若 B= ，求 sinA+sinC 的取值范围20已知点 A（ ，0）和圆 B：（x ） 2+y2=16，点 Q 在圆 B 上，线段 AQ 的垂直平分线角 BQ 于点 P（1）求点 P 的轨迹 C 的方程；（2）轨迹 C 上是否存在直线 2x+y+1=0 对称的两点，若存在，设这两个点分别为 S，T ，求直线 ST 的方程，若不存在
7、，请说明理由21如图，ABCD 是边长为 a 的正方形，PA平面 ABCD（1）若 PA=AB，点 E 是 PC 的中点，求直线 AE 与平面 PCD 所成角的正弦值；（2）若 BEPC 且交点为 E，BE= a，G 为 CD 的中点，线段 AB 上是否存在点 F，使得 EF平面 PAG？若存在，求 AF 的长；若不存在，请说明理由22斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 E：y 2=2px（p0）的焦点，且被抛物线所截得弦 AB 的长为 4（1）求实数 p 的值；第 4 页（共 21 页）（2）点 P 是抛物线 E 上一点，线段 CD 在 y 轴上，PCD 的内切方程为（x 1） 2+y2=1
8、，求PCD 面积的最小值第 5 页（共 21 页）2015-2016 学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的1已知集合 A=x|x21，集合 B=x| 1，则 AB=（ ）A （1， 0） B （0，1） C （1，+） D【考点】交集及其运算【分析】求出 A 与 B 中不等式的解集，分别确定出 A 与 B，找出两集合的交集即可【解答】解：由 A 中不等式解得： 1x1，即 A=（1， 1） ，当 x0 时，B 中不等式变形得： x1，此时 x0；当 x0
9、 时，B 中不等式变形得： x1，此时 x1，B=（，0）（1，+） ，则 AB=（1， 0） ，故选：A2已知实数 x，y 满足不等式组 ，则 的最大值为（ ）A0 B C1 D2【考点】简单线性规划【分析】作出可行域，目标函数表示可行域内的点与原点连线的斜率，数形结合可得【解答】解：作出不等式组 所对应的可行域（如图ABC 及内部） ，目标函数 表示可行域内的点与原点连线的斜率，数形结合可知当直线经过点 A（1，2）时， 取最大值 2，故选：D第 6 页（共 21 页）3抛物线 y=4x2 的准线方程为（ ）Ax= 1 By= 1 Cx= Dy= 【考点】抛物线的简单性质【分析】由抛物线的
10、准线方程的定义可求得【解答】解：因为抛物线 y=4x2，可化为：x 2= y，则抛物线的准线方程为 y= 故选：D4已知ABC 内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c ，B=60 ，b 2=ac，则 A=（ ）A30 B45 C60 D90【考点】余弦定理；正弦定理【分析】利用余弦定理、等边三角形的判定方法即可得出【解答】解：由余弦定理可得：b 2=a2+c22accosB=a2+c2ac=ac，化为（ac） 2=0，解得 a=c又 B=60，ABC 是等边三角形，A=60 故选：C5 “方程 =1 表示双曲线”是“n1”的（ ）A充分不必要条件 B必要且不充分条件C充要条件 D既不充分
11、也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】方程 =1 表示双曲线（2+n） （n+1）0，解得 n 即可得出第 7 页（共 21 页）【解答】解：方程 =1 表示双曲线（2+n） （n+1）0，解得 n1 或 n2“方程 =1 表示双曲线”是“n1”的必要不充分条件故选：B6已知等差数列a n中，前 n 项和为 Sn，a 10，a 1007+a1008=0，则当 Sn 取最大值时，n=（ ）A1007 B1008 C2014 D2015【考点】等差数列的性质【分析】由等差数列的性质和题意易得数列a n的前 1007 项为正，从第 1008 项开始为负，易得结论【解答】解：等
12、差数列a n中，前 n 项和为 Sn，a 10，a 1007+a1008=0，a 10070 且 a10080，即等差数列a n的前 1007 项为正，从第 1008 项开始为负，当 Sn 取最大值时，n=1007故选：A7双曲线 C： =1（a0，b0）与直线 y=x 交于不同的两点，则双曲线 C 的离心率的取值范围是（ ）A （1， ）（ ，+） B （ ，+） C （1， ） D （ ，2）【考点】双曲线的简单性质【分析】将直线 y=x 代入双曲线的方程，由题意可得 b2a20，再由 a，b，c 的关系和离心率公式即可得到所求范围【解答】解：将直线 y=x 代入双曲线 =1，可得：（b
13、2a2）x 2=a2b2，由题意可得 b2a20，即有 c22a20，即为 e22，即 e 故选：B8已知 ABCDA1B1C1D1 为正方体，则二面角 BA1C1A 的余弦值为（ ）第 8 页（共 21 页）A B C D【考点】二面角的平面角及求法【分析】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角 BA1C1A 的余弦值【解答】解：以 D 为原点， DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，则 A（1，0，0） ，A 1（1，0，1） ，
14、B（1，1，0） ，C 1（0，1，1） ，=（ 1，1，0） ， =（0，0，1） ， =（0，1，1） ，设平面 A1C1A 的法向量 =（x，y，z） ，则 ，取 x=1，得 =（1，1，0） ，设平面 A1C1B 的法向量 =（a，b，c ） ，则 ，取 a=1，得 =（1，1，1） ，设二面角 BA1C1A 的平面角为 ，则 cos= = = 二面角 BA1C1A 的余弦值为 故选：C第 9 页（共 21 页）9若命题“x（1，+） ，x 2（2+a）x+2+a 0” 为真命题，则实数 a 的取值范围是（ ）A （，2 B （ ，2 C 2，2 D （，22，+）【考点】全称命题【分
15、析】根据不等式恒成立的关系转化为一元二次函数，讨论判别式的取值，进行求解即可【解答】解：判别式=（2+a） 24（2+a ）= （a +2） （a2） ，若判别式=（a+2） （a 2）0，即2a2 时，不等式恒成立，满足条件若判别式=（a+2） （a 2）0 即 a2 或 a2 时，设 f（x）=x 2（ 2+a）x+2+a，要使命题“x（1，+） ，x 2（2+a）x+2+a 0” 为真命题，则满足 ，则 a0，a2 或 a2，a2，综上，a2，故选：B10已知椭圆 + =1 与双曲线 =1 有共同的焦点 F1，F 2，两曲线的一个交点为P，则 的值为（ ）A3 B7 C11 D21【考点
16、】椭圆的简单性质【分析】由题意可得 m=4，联立椭圆方程和双曲线的方程可得第一象限的 P 的坐标，求出向量 ， 的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值【解答】解：椭圆 + =1 与双曲线 =1 有共同焦点为（ 3，0） ，即有 m=4，联立椭圆方程和双曲线的方程可得第一象限的点 P（ ， ） ，则 =（ 3 ， ） ， =（3 ， ） ，第 10 页（共 21 页）即有 =（3 ） （3 ）+= + 9=11故选：C11已知ABC 内角 A，B ，C 的对边分别是 a，b，c ，以下说法：在ABC 中， “a，b，c 成等差数列” 是“acos 2 +ccos2 = b”的充要
17、条件；命题“在锐角三角形 ABC 中，sinAcosB”的逆命题和逆否命题均为真命题；命题“对任意三角形 ABC，sinA+sinBsinC”为假命题正确的个数为（ ）A0 B1 C2 D3【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据等差数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断根据四种命题之间的关系进行判断即可根据正弦定理进行判断即可【解答】解：若 acos2 +ccos2 = b，即 a（1+cosC）+c （1+cosA）=3b，由正弦定理得：sinA+sinAcosC+sinC+cosAsinC=3sinB，即 sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，可得 sinA+sin
18、C=2sinB，由正弦定理可得，整理得：a+c=2b，故 a，b，c 为等差数列；反之也成立，即， “a，b，c 成等差数列 ”是“acos 2 +ccos2 = b”的充要条件；故 正确，在锐角三角形 ABC 中，则 A+B ，于是 A B 0，则 sinASIn （B ）=cosB，即 sinAcosB 成立，则原命题为真命题则逆否命题也为真命题，命题“ 在锐角三角形 ABC 中， sinAcosB”的逆命题为：若 sinAcosB，则三角形为锐角三角形，在三角形中，当 B 为钝角时， cosB0，此时满足 sinAcosB，则命题的逆否命题为假命题 ，故错误，在三角形中，由正弦定理得若“
19、对任意三角形 ABC，sinA+sinBsinC”则等价为对任意三角形 ABC，a+bc 成立，即命题“对任意三角形 ABC， sinA+sinBsinC”为真命题，故错误，故正确的个数是 1，故选：B第 11 页（共 21 页）12如图，椭圆 + =1（ab0）的左右顶点分别为 A1，A 2，上顶点为 B，从椭圆上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 F，且 A2BOP，|FA 2|= + ，过 A2 作 x 轴的垂线 l，点 M 是 l 上任意一点，A 1M 交椭圆于点 N，则 =（ ）A10B5C15D随点 M 在直线 l 上的位置变化而变化【考点】椭圆的简单性质【分析】由 F 的
20、坐标，求得 P 的坐标，运用两直线平行的条件：斜率相等，可得 b=c，再由条件可得 a= ，b=c= ，求得椭圆方程，设出 M 的坐标，设出直线 MN 的方程，联立椭圆方程，消去 y，由韦达定理可得 N 的横坐标，进而得到 N 的纵坐标，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值【解答】解：由 F（ c，0） ，可得 P（c ， ） ，A2（a，0） ，B（0，b） ，即有 kOP= ，可得 = ，即有 b=c，a= c，|FA2|=a+c= + ，解得 a= ，b=c= ，即有椭圆的方程为 + =1，设 M（ ，t） ，A 1（ ，0） ，即有直线 A1M：y= （x+ ） ，代入椭圆方
21、程 x2+2y2=10，可得（20+t 2）x 2+2 t2x+10t2200=0，第 12 页（共 21 页）（ ）x N= ，可得 xN= ，yN= （x N+ ）= ，则 = +t= =10故选：A二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分.、共 20 分.13已知数列a n的前 n 项和为 Sn=2n3n，则 a6+a7+a8= 215 【考点】数列的求和【分析】利用 a6+a7+a8=S8S5，代入计算即得结论【解答】解：S n=2n3n，a 6+a7+a8=S8S5=（2 838）（2 535）=215，故答案为：21514已知实数 x，y 满足 +y2=1，则 x+2y 的
22、最大值为 2 【考点】椭圆的简单性质【分析】利用椭圆的参数方程和三角函数的性质求解【解答】解：实数 x，y 满足 +y2=1， ，02，第 13 页（共 21 页）x+2y=2cos+2sin=2 sin（ ） ，x+2y 的最大值为 2 故答案为：2 15四棱柱 ABCDA1B1C1D1 各棱长均为 1，A 1AB=A 1AD=BAD=60 ，则点 B 与点D1 两点间的距离为 【考点】棱柱的结构特征【分析】由已知得 = ，由此能求出点 B 与点 D1 两点间的距离【解答】解：四棱柱 ABCDA1B1C1D1 各棱长均为 1， A 1AB=A 1AD=BAD=60 ， = ， =（ ） 2=
23、 +2 +2 +2=1+1+1+211cos120+211cos120+211cos60=2，| |= 点 B 与点 D1 两点间的距离为 故答案为： 16已知 p：“ 0” ，q：“ x22x+1m20（m0） ”，命题“ 若p，则q”为假命题， “若q，则p”为真命题，则实数 m 的取值范围是 （ ，3 【考点】复合命题的真假【分析】分别求出 p，q 为真时的 x 的范围，根据 pq，而 q 推不出 p，求出 m 的范围即可第 14 页（共 21 页）【解答】解：若 p：“ 0”为真命题，则 p：2 x2 ；若 q：“x 22x+1m20（m0） ”为真命题，则 1+mx1m，命题“ 若
24、p，则q” 为假命题， “若q，则p”为真命题，即 pq，而 q 推不出 p， ，解得：m3，将 m=3 代入符合题意，故答案为：（， 3三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知 f（x）=ax 2（a+2）x+2（1）若实数 a0，求关于 x 的不等式 f（x）0 的解集；（2）若“ x ”是“f（x）+2x0”的充分条件，求正实数 a 的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法【分析】 （1）f（x）=ax 2（a+2）x+2=（ax 2） （x1） ，a0，可得 ax2（a+2）x+2=0 的两根为 ，
25、且 1，即可得出（2）f（x）+2x0 化为：g（ x）=ax 2ax+20，由“ x ”是“f （x）+2x0”的充分条件，可得 ，又 a0，解得 a 范围【解答】解：（1）f（x）=ax 2（a+2）x+2=（ax 2） （x1） ，a 0，ax 2（a+2）x+2=0 的两根为 ，且 1关于 x 的不等式 f（x）0 的解集为 （2）f（x）+2x0 化为：g（ x）=ax 2ax+20，第 15 页（共 21 页）“ x ”是“f（x）+2x0”的充分条件， ，又 a0，解得 a 正实数 a 的取值范围是 18已知等比数列a n的前 n 项和为 Sn，公比 q1，S 2=6，且 a2
26、是 a3 与 a32 的等差中项（1）求 an 和 Sn；（2）设 bn=log2an，求 Tn= + + 【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】 （1）联立 a1（1+q）=6 及 2a1q=a1+a1q22，计算可知 q=2、a 1=2，进而计算可得结论；（2）通过（1）裂项可知 = （ ） ，进而并项相加即得结论【解答】解：（1）依题意，a 1（1+q）=6，2a1q=a1+a1q22，即 a1（q 22q+1）=2，并化简得：3q 27q+2=0，解得：q=2 或 q= （舍） ，代入并化简得：a 1=2，则 an=2n，S n= =2n+12；（2）由（1）可知 bn=log
27、2an=n， = = （ ） ，T n= + += （1 + + ）第 16 页（共 21 页）= （1+ ）= 19已知ABC 内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c （1）若 b 是 a 与 c 的等比中项，求 B 的取值范围；（2）若 B= ，求 sinA+sinC 的取值范围【考点】余弦定理；正弦定理【分析】 （1）b 是 a 与 c 的等比中项，可得 cosB= = ，即可得出B 的取值范围（2）sinA+sinC=sinA+ = ，由于 ，可得1即可得出【解答】解：（1）b 是 a 与 c 的等比中项，cosB= = ，当且仅当 a=c 时取等号， cosB1，又 0B，B
28、的取值范围是 （2）sinA+sinC=sinA+ =sinA+ cosA+ sinA= ， ， 1 故 sinA+sinC 的取值范围是 20已知点 A（ ，0）和圆 B：（x ） 2+y2=16，点 Q 在圆 B 上，线段 AQ 的垂直平分线角 BQ 于点 P（1）求点 P 的轨迹 C 的方程；（2）轨迹 C 上是否存在直线 2x+y+1=0 对称的两点，若存在，设这两个点分别为 S，T ，求直线 ST 的方程，若不存在，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】 （1）直接由题意可得|PA|+|PB|=4|AB|=2 ，符合椭圆定义，且得到长半轴和半焦距，再由 b2=a2c2 求
29、得 b2，则点 P 的轨迹方程可求；第 17 页（共 21 页）（2）设 S（x 1，y 1） ，T（x 2，y 2） ，由题意可设直线 ST 的方程为 y= x+m，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用线段 ST 的中点（ m， m）在对称轴 2x+y+1=0 上，即可得出结论【解答】解：（1）由题意知|PQ|=|PA |，|PA|+|PB|=4|AB |=2由椭圆定义知 P 点的轨迹是以 A，B 为焦点椭圆，a=2，c=b= ，点 P 的轨迹的方程是 =1；（2）设存在直线 ST 的方程为 y= x+m，与椭圆方程联立，化简可得 3x2+4mx+4m28=0S（x 1，y 1） ，T
30、（x 2，y 2） ，则 x1+x2= ，x 1x2= ，线段 ST 的中点（ m， m）在对称轴 2x+y+1=0 上， m+ m+1=0，m= ，满足 0，存在直线 ST 的方程为 y= x+ 21如图，ABCD 是边长为 a 的正方形，PA平面 ABCD（1）若 PA=AB，点 E 是 PC 的中点，求直线 AE 与平面 PCD 所成角的正弦值；（2）若 BEPC 且交点为 E，BE= a，G 为 CD 的中点，线段 AB 上是否存在点 F，使得 EF平面 PAG？若存在，求 AF 的长；若不存在，请说明理由【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定【分析】 （1）以 A 为原点，
31、建立如图所示的坐标系，求出平面 PCD 的法向量，即可求直线 AE 与平面 PCD 所成角的正弦值；（2）确定 E 的坐标，平面 PAG 的法向量，利用 EF平面 PAG， =0，即可得出结论第 18 页（共 21 页）【解答】解：（1）以 A 为原点，建立如图所示的坐标系，则 A（0，0，0） ，B （a，0，0） ，C（a， a，0） ，D（0，a ，0） ，P （0，0，a ） ，E（ ， ， ） ，=（ ， ， ） ， =（a，0，0） ， =（0，a，a） ，设平面 PCD 的法向量 =（x ，y，z ） ，则 ，取 =（0，1，1） ，则直线 AE 与平面 PCD 所成角的正弦值为
32、 = ；（2）G（ ，a，0） ，设 P（ 0，0，c） （c0） ，则 =（a，a，c） ，设 = ，则 E（1）a ， （1）a，c） ， =（ a， （1 ）a，c ） ，BE= a，（a） 2+（1）a 2+（ c） 2= BEPC ， a2（1 ）a 2+c2=0，c 2= a2，由解得 = ，c=a ，E（ a， a， a） ，P （ 0，0，a）若存在满足条件的点 F，可设 AF=l（0la ） ，则 F（l ，0，0） ， =（l a， a， a） ，设平面 PAG 的法向量为 =（s，t ，p） ，则 ， =（ 2，1，0） ，EF平面 PAG， =0，2l + a a=0，
33、第 19 页（共 21 页）l= a，存在满足条件的点 F，AF= a22斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 E：y 2=2px（p0）的焦点，且被抛物线所截得弦 AB 的长为 4（1）求实数 p 的值；（2）点 P 是抛物线 E 上一点，线段 CD 在 y 轴上，PCD 的内切方程为（x 1） 2+y2=1，求PCD 面积的最小值【考点】抛物线的简单性质【分析】 （1）求出抛物线的焦点，设出直线 l 的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义，可得 p=1，进而得到抛物线方程；（2）设 P（x 0，y 0） ，C （0，c） ，D（0，d）不妨设 cd，直线 PC 的方程为yc= x
34、，由直线和圆相切的条件： d=r，化简整理，结合韦达定理，以及三角形的面积公式，运用基本不等式即可求得最小值【解答】解：（1）抛物线的焦点为（ ，0） ，直线 l 的方程：y=x ，与抛物线 E：y 2=2px 联立消去 y 得（x ） 2=2px，x 23px+ =0，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 x1+x2=3p，又|AB|=|AF|+|BF|=x 1+x2+p=4，所以，3p+p=4，p=1 ；（2）设 P（x 0，y 0） ，C （0，c） ，D（0，d）不妨设 cd，第 20 页（共 21 页）直线 PC 的方程为 yc= x，化简得（y 0c）xx 0y+
35、x0c=0，又圆心（1，0）到直线 PC 的距离为 1，故 =1，即（y 0c） 2+x02=（y 0c） 2+2x0c（y 0c）+x 02c2，不难发现 x02，上式又可化为（x 02）c 2+2y0cx0=0，同理有（x 02） d2+2y0dx0=0，所以 c，d 可以看做关于 t 的一元二次方程（x 02）t 2+2y0tx0=0 的两个实数根，则 c+d= ，cd=因为点 P（x 0，y 0）是抛物线 上的动点，所以 y02=2x0，所以（cd） 2=（c +d） 24cd= ，又 x02，所以 cd= 所以 SPBC= （cd）x 0=x02+ +422+4=8 ，当且仅当 x0=4 时取等号，此时 y0=2 ，所以PBC 面积的最小值为 8，此时 P（4，2 ） 第 21 页（共 21 页）2016 年 9 月 16 日
