1、2015-2016 学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题每小题 5 分在每小题给出的四个选项中-只有一项是符合题目要求的1已知等差数列a n满足 a2=2，a 6=0，则数列a n的公差为（ ）A B2 C D 22已知 R 是实数集，M= =（ ）A （ 1，2） B一 l，2 C （0，2） D0，23已知向量 =（1，2） ， =（1，0） ， =（3，4） 若 为实数， （ + ） ，则 =（ ）A B C1 D24已知 （ ，0） ，且 sin2= ，则 sin+cos=（ ）A B C D5已知实数 a，b，c，d 成等比数列，且对函数 y
2、=ln（x +2） x，当 x=b 时取到极大值 c，则 ad 等于（ ）A 1 B0 C1 D26在等比数列a n中，a 2+a3+a8=8， + + =2，则 a5 的值（ ）A2 B2 C3 D37已知函数 f（x）=min ，其中 min（p，q表示 p，q 两者中较小的一个，则满足 f（x ）1 的 x 的集合为（ ）A （0 ， ） B （0， ）（4，+） C （0 ，2） D （0，2）（16，+）8直线 y= 与曲线 y=2sin（x+ ）cos（x ）在 y 轴右侧的交点自左向右依次记为 M1，M 2，M 3， ，则 |等于（ ）A6 B7 C12 D139已知数列a n的
3、前 n 项和 Sn=2n（nN* ） ，则 n2 时，a 12+a22+an2=（ ）A B C D10已知函数 f（x ）= 的值域是0，2，则实数 a的取值范围是（ ）A （0 ，1 B1， C1，2 D ，211已知 f（ x）是定义在（ 0，+）上的单调递减函数， f（x ）是其导函数，若 x，则下列不等关系成立的是（ ）Af （2）2f（1） B3f（2）2f（3） Cef（e）f（e 2）Def（e 2）f（e 3）12定义域为 R 的函数 f（ x）满足 f（x +2）=4f （x ） x0，2）时，f （x）=，若 x2，0）对任意的 t1，2）都有 f（x）成立，则实数 a
4、的取值范围是（ ）A （ ，2 B12， +） C （ ，6 D6，+）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13求曲线 y= ，y=x 2 所围成图形的面积 14已知向量 ， 满足| |=2| |0 ，且函数在 f（x）=在 R 上有极值，则向量 ， 的夹角的取值范围是 15下列四个命题：函数 f（x ）=cosxsinx 的最大值为 1；命题“xR，x2lgx”的否定是“xR ，x2lgx”；若ABC 为锐角三角形，则有 sinA+sinB+sinCcosA +cosB+cosC；“a0”是“函数 f（x）=|x 2ax|在区间（0，+oo ）内单调递增”的充分必要条
5、件其中所有正确命题的序号为 16已知 e 为自然对数的底数，函数 f（x）=e xex+ln（ +x）+1，f（x）为其导函数，则 f（e）+f（e）+f（ e） f（ e）= 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知数列a n满足： a1= ，a 2=2 且 3（a n+12an+an1）=2（1）令 bn=anan1，求证：b n是等差数列，并求a n的通项公式；（2）为使 + + + 成立的最小的正整数 n18在用“五点法” 画函数 f（x）=Asinx（x+） （0，| ）在某一周期内的图象时，列表并填人了部分数据，如表：x+ 0
6、2x 2 5 Asin（ x+） 0 2 2 0（1）请将上表中处数据补充完整，并直接写出函数 f（x ）的解析式；（2）将 y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，再将所得图象向左平移 个单位，得到 y=g（x ）的图象，求 g（x ）在 z2，2时的单调递增区间19已知函数 f（x ）=alnxbx 2 图象上一点 P（2，f（2） ）处的切线方程为y=3x+2ln2+2（1）求 a，b 的值；（2）若方程 f（x）+m=0 在 内有两个不等实根，求 m 的取值范围（其中 e 为自然对数的底） 20在ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c，且 a，b，c 成公差
7、为1 的等差数列，C=2A（1）求 a，b，c 的值；（2）求 方向上的投影21设函数 f（x ）=e xax1（a0 ） （1）求函数 f（x）的最小值 g（a） ，并证明 g（a）0；（2）求证：nN*，都有 1n+1+2n+1+3n+1+nn+1 成立四、请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 【选修 4-l：几何证明选讲】22如图，点 A 是以线段 BC 为直径的圆 O 上一点，ADBC 于点 D，过点 B 作圆 O 的切线，与 CA 的延长线相交于点 E，点 G 是 AD 的中点，连接
8、CG 并延长与 BE 相交于点 F，延长 AF 与 CB 的延长线相交于点 P（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA 是圆 O 的切线【选修 4-4：坐标系与参数方程】23在平面直角坐标系 xOy 中，l 是过定点 P（4，2）且倾斜角为 的直线，在以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系（取相同单位长度）中，曲线 C 的极坐标方程为 =4cos（）写出求直线 l 的参数方程，并将曲线 C 的方程化为直角坐标方程；（）若曲线 C 与直线 l 相交于不同的两点 M、N，求|PM|+|PN|的取值范围【选修 4-5：不等式选讲】24设函数 f（x ）=|x |+|x+m|（m0）（
9、1）证明：f（x）4；（2）若 f（2）5，求 m 的取值范围2015-2016 学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题每小题 5 分在每小题给出的四个选项中-只有一项是符合题目要求的1已知等差数列a n满足 a2=2，a 6=0，则数列a n的公差为（ ）A B2 C D 2【考点】等差数列的通项公式【分析】根据等差数列的通项公式，列出方程求出公差 d 即可【解答】解：等差数列a n中，a 2=2，a 6=0，a 6a2=4d=2，解得 d= ，数列a n的公差为 故选：C2已知 R 是实数集，M= =（ ）A （ 1，2） B一 l
10、，2 C （0，2） D0，2【考点】交、并、补集的混合运算【分析】先通过解不等式及函数的值域求出集合 M，N，然后进行补集、交集的运算即可【解答】解： 1， 10， 0，x（x2 ）0，解得 x0，或 x2，M=（，0）（2，+） ， RM=0，2 ，y=x 211 ，N=1，+） ， RMN=0 ，2，故选：D3已知向量 =（1，2） ， =（1，0） ， =（3，4） 若 为实数， （ + ） ，则 =（ ）A B C1 D2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】根据所给的两个向量的坐标，写出要用的 + 向量的坐标，根据两个向量平行，写出两个向量平行的坐标表示形式，得到关于 的方
11、程，解方程即可【解答】解：向量 =（ 1，2） ， =（1，0） ， =（3，4） =（ 1+，2）（ + ） ，4（1+） 6=0，故选 B4已知 （ ，0） ，且 sin2= ，则 sin+cos=（ ）A B C D【考点】二倍角的正弦【分析】由题意易得 2sincos= ，由 a（ ，0） ，可得 sin+cos=，代入即可求值得解【解答】解：sin2= ，2sincos= ，a （ ，0） ，cos+sin0，sin+cos= = = 故选：B5已知实数 a，b，c，d 成等比数列，且对函数 y=ln（x +2） x，当 x=b 时取到极大值 c，则 ad 等于（ ）A 1 B0 C
12、1 D2【考点】数列与函数的综合【分析】首先根据题意求出函数的导数为 f（x ）= ，再结合当 x=b 时函数取到极大值 c，进而求出 b 与 c 的数值，再利用等比数列的性质得到答案【解答】解：由题意可得：函数 y=ln（x+2）x，所以 f（x）= 因为当 x=b 时函数取到极大值 c，所以有 且 ln（b+2） b=c，解得：b=1，c=1 即 bc=1因为实数 a，b，c，d 成等比数列，所以 ad=bc=1故选 A6在等比数列a n中，a 2+a3+a8=8， + + =2，则 a5 的值（ ）A2 B2 C3 D3【考点】等比数列的性质【分析】利用等比数列的求和公式，可得 =8，
13、=2，两式相除，即可得出结论【解答】解：设等比数列的公比为 q，则a 2+a3+a8=8， + + =2， =8， =2， ，a 5=2故选：A7已知函数 f（x）=min ，其中 min（p，q表示 p，q 两者中较小的一个，则满足 f（x ）1 的 x 的集合为（ ）A （0 ， ） B （0， ）（4，+） C （0 ，2） D （0，2）（16，+）【考点】对数值大小的比较【分析】先根据“ 设 minp，q 表示 p，q 两者中的较小的一个” 求得函数 f（x） ，再按分段函数用分类讨论解不等式【解答】解：当 3 log2xlog2x 时，即 x4 时 f（x）=3 log2x，当 3
14、 log2xlog2x 时，即 x4 时 f（x）=log 2x，f（ x）1；当 x4 时，f（x）=3 log2x1，此时：x16；当 x4 时 f（x）=log 2x1，此时：0x2；综上不等式的解集为：（0，2）（16，+） 故选：D8直线 y= 与曲线 y=2sin（x+ ）cos（x ）在 y 轴右侧的交点自左向右依次记为 M1，M 2，M 3， ，则 |等于（ ）A6 B7 C12 D13【考点】三角函数中的恒等变换应用【分析】利用三角函数的诱导公式与二倍角的正弦可知 y=sin2x，依题意可求得M1， M2，M 3，M 13 的坐标，从而可求| |的值【解答】解：y=2sin
15、（x+ ）cos（x ）=2cosxsinx=sin2x，由题意得：sin2x= ，2x=2k+ 或 2x=2k+ ，x=k+ 或 x=k+ ，k Z，正弦曲线 y=sin2x 与直线 y= 在 y 轴右侧的交点自左向右依次记为M1， M2，M 3， ，得 M1（ ，0） ，M 2（ ，0） ，M 3（ + ） ，M 4（+ ） ，M13（6+ ，0 ） ， =（6，0） ，| |=6故选 A9已知数列a n的前 n 项和 Sn=2n（nN* ） ，则 n2 时，a 12+a22+an2=（ ）A B C D【考点】数列的求和【分析】数列a n的前 n 项和 Sn=2n（nN* ） ，当 n=
16、1 时，a 1=2当 n2 时，an=SnSn11，再利用等比数列的前 n 项和公式即可得出【解答】解：数列a n的前 n 项和 Sn=2n（nN*） ，当 n=1 时，a 1=2当 n2 时，a n=SnSn1=2n2n1=2n1，a n= ， = 则 n2 时，a 12+a22+ =4+4 = 故选：B10已知函数 f（x ）= 的值域是0，2，则实数 a的取值范围是（ ）A （0 ，1 B1， C1，2 D ，2【考点】分段函数的应用【分析】画出函数的图象，令 y=2 求出临界值，结合图象，即可得到 a 的取值范围【解答】解：函数 f（x ）= 的图象如下图所示：函数 f（x ）的值域是
17、0，2，1 0，a，即 a1，又由当 y=2 时， x33x=0，x= （0， 舍去） ，aa 的取值范围是1， 故选：B11已知 f（ x）是定义在（ 0，+）上的单调递减函数， f（x ）是其导函数，若 x，则下列不等关系成立的是（ ）Af （2）2f（1） B3f（2）2f（3） Cef（e）f（e 2）Def（e 2）f（e 3）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】令 g（x）= ，求导 g（x ）= ，从而可判断函数g（ x）在（0，+）上是增函数，从而得到答案【解答】解：令 g（x）= ，故 g（x ）= ，f（ x）是定义在（0，+ ）上的单调递减函数， f（x）是其导函数，
18、f（x）0， x，xf（x ） f（x ）0 ，函数 g（x ）在（0，+）上是增函数，故 ， ，故 2f（3） 3f（2） ，f（2）2f（1） ，f（e 3）ef（e 2） ，ef（e ） f（e 2） ；故选 C12定义域为 R 的函数 f（ x）满足 f（x +2）=4f （x ） x0，2）时，f （x）=，若 x2，0）对任意的 t1，2）都有 f（x）成立，则实数 a 的取值范围是（ ）A （ ，2 B12， +） C （ ，6 D6，+）【考点】抽象函数及其应用；分段函数的应用【分析】求出 x2，0） ， f（x）的最小值为 ，则对任意的 t1，2）都有 成立，从而对任意的 t
19、1，2）都有 2at 3+4t2求出右边的范围，即可求出实数 a 的取值范围【解答】解：设 x2，0 ） ，则 x+20，2） ，x0，2）时，f（x）= 的最小值为 ，x2，0） ， f（x）的最小值为 ，对任意的 t1，2）都有 成立，对任意的 t1，2）都有 2at 3+4t2令 y=t3+4t2，则 y=3t2+8t0，y=t 3+4t2 在1，2）上单调递增，5y24，2a24 ，a 12，故选：B二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13求曲线 y= ，y=x 2 所围成图形的面积 【考点】定积分【分析】先由 解的 x 的值，再利用定积分即可求得面积【解答】解
20、：由 ，解得 x=0，1曲线 所围成图形的面积= = = 故答案是 14已知向量 ， 满足| |=2| |0 ，且函数在 f（x）=在 R 上有极值，则向量 ， 的夹角的取值范围是 （ ，） 【考点】利用导数研究函数的极值；平面向量数量积的运算【分析】由已知条件得 f（x ）=x 2+| |x+ =0 成立，=| |24 0，由此能求出 与 的夹角的取值范围【解答】解：关于 x 的函数 f（x）= x3+ | |x2+ x 在 R 上有极值，f（x）=x 2+| |x+ =0 成立，方程有根，= | |24 0，| |24| | |cos0，由| |=2| |0，得 cos ， 故答案为：（
21、，） 15下列四个命题：函数 f（x ）=cosxsinx 的最大值为 1；命题“xR，x2lgx”的否定是“xR ，x2lgx”；若ABC 为锐角三角形，则有 sinA+sinB+sinCcosA +cosB+cosC；“a0”是“函数 f（x）=|x 2ax|在区间（0，+oo ）内单调递增”的充分必要条件其中所有正确命题的序号为 【考点】命题的真假判断与应用【分析】对四个命题分别进行判断，即可得出结论【解答】解：函数 f（x ）=cosxsinx= sin2x 的最大值为 ，不正确；命题“xR，x2lgx”的否定是“xR ，x2lgx”，正确；ABC 为锐角三角形，A+B ，A B，y=
22、sinx 在（0， ）上是增函数，sinAsin（ B）=cosB 同理可得sinBcosC， sinCcosA，sinA +sinB+sinCcosA+cosB+cosCsinA ，正确；a 0 ，函数 f（x ）=|x 2ax|的零点是 a，0，结合二次函数的对称轴，可得函数f（x）= |x2ax|在区间（0，+）内单调递增；若函数 f（x ）=|x 2ax|在区间（0，+）内单调递增，结合二次函数的对称轴，可得0，a0，“a 0”是“ 函数 f（x）=|x 2ax|在区间（0，+）内单调递增”的充分必要条件，正确故答案为：16已知 e 为自然对数的底数，函数 f（x）=e xex+ln（
23、 +x）+1，f（x）为其导函数，则 f（e）+f（e）+f（ e） f（ e）= 2 【考点】导数的运算【分析】由已知函数解析式，令函数 g（x）=f （x）1，可知函数 g（x ）为奇函数，求导后判断 g（x ）=f（x ）为偶函数，然后借助于函数奇偶性的性质可得f（e）+f（e）=2，f （e）f（e ）=0，由此求得 f（ e）+f（e）+f（e）f （e）=2【解答】解：f（x）=e xex+ln（ +x）+1，令 g（ x）=f（x）1=e xex+ln（ +x） ，则 g（ x）=f（x）1= ，g（ x）+g（x）=0，故 g（ x）为奇函数，g（x ）=f（x）= = ，由
24、g（x）g（x）= ，可知 g（x）=f （x）为偶函数，g（ e）+g（e）=f（e）1+ f（ e） 1=0，f（ e）+f（e）=2又 f（e）=f（e） ，f（e） f（ e）=0 ，f（ e）+f（e）+f（ e） f（ e）=2故答案为：2三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知数列a n满足： a1= ，a 2=2 且 3（a n+12an+an1）=2（1）令 bn=anan1，求证：b n是等差数列，并求a n的通项公式；（2）为使 + + + 成立的最小的正整数 n【考点】数列的求和；数列递推式【分析】 （1）由 3（a
25、 n+12an+an1）=2，变形为：a n+1an=anan1+ 可得bn+1bn= ，利用等差数列的定义即可证明（2）由（1）可得：a nan1= 利用“累加求和”可得： an=a1+（a 2a1）+（a 3a2）+（a nan1）= ，可得 =3 利用“裂项求和”可得：+ + + =3 = ，解出即可【解答】 （1）证明：3（a n+12an+an1）=2，变形为：a n+1an=anan1+ b n=anan1，b n+1bn= ，由 a2a1=a1a0+ ， =b1+ ，解得 b1= b n是等差数列，首项为 ，公差为 b n= = （2）解：由（1）可得：a nan1= a n=a
26、1+（a 2a1）+（a 3a2）+（a nan1）= + 2+ += ， =3 + + + =3 + =3 = 成立，则 n5因此为使 + + + 成立的最小的正整数 n=618在用“五点法” 画函数 f（x）=Asinx（x+） （0，| ）在某一周期内的图象时，列表并填人了部分数据，如表：x+ 0 2x 2 5 Asin（ x+） 0 2 2 0（1）请将上表中处数据补充完整，并直接写出函数 f（x ）的解析式；（2）将 y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，再将所得图象向左平移 个单位，得到 y=g（x ）的图象，求 g（x ）在 z2，2时的单调递增区间【考点】函数 y=A
27、sin（x+ ）的图象变换；正弦函数的图象【分析】 （1）根据用五点法作函数 f（x ）=Asinx（x+ ）的图象，求得表中处数据，并直接写出函数 f（x ）的解析式（2）由条件利用 y=Asin（x +）的图象变换规律，求得 g（x）=2sin（ x+ ） ，再根据整弦函数的单调性求得 g（x）在 z2，2时的单调递增区间【解答】解：（1）由表格可得 A=2，再根据 2+= ，5+= ，求得 = ，= ，令 x =0，求得 x= 故为 令 x =，求得 x= ，Asin0=0，故为 ， 为 0令 x =2，求得 x= ，故为 函数 f（ x）的解析式为 f（x）=2sin（ x ） ，（2
28、）将 y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，得到 y=2sin（ x ） ，再将所得图象向左平移 个单位，得到 y=g（x ）=2sin （x+ ） =2sin（ x+ ）的图象由 2k x+ 2k+ ，求得 4k x 4k + ，k Z，故 g（ x）在 z2，2时的单调递增区间为 ， 19已知函数 f（x ）=alnxbx 2 图象上一点 P（2，f（2） ）处的切线方程为y=3x+2ln2+2（1）求 a，b 的值；（2）若方程 f（x）+m=0 在 内有两个不等实根，求 m 的取值范围（其中 e 为自然对数的底） 【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义【分析】 （1
29、）对函数 f（x ）进行求导，根据 f（2） =3 得到关于 a、b 的关系式，再将 x=2 代入切线方程得到 f（2）的值从而求出答案（2）由（1）确定函数 f（ x）的解析式，进而表示出函数 h（x）后对其求导，根据单调性与其极值点确定关系式得到答案【解答】解（1） ， ，f（2）=aln2 4b ，且 aln24b=6+2ln2+2解得 a=2，b=1（2）f（x ）=2lnx x2，令 h（x ）=f （x ）+m=2lnxx 2+m，则 ，令 h（x ）=0，得 x=1（x= 1 舍去） 在 内，当 x 时，h（x）0，h（x）是增函数；当 x（1，e 时，h（x）0，h （x ）是
30、减函数则方程 h（x）=0 在 内有两个不等实根的充要条件是即 1m 20在ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c，且 a，b，c 成公差为1 的等差数列，C=2A（1）求 a，b，c 的值；（2）求 方向上的投影【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理【分析】 （1）由 a，b，c 成公差为 1 的等差数列， C=2A可分别设为b1，b ，b +1，由正弦定理可得： 又由余弦定理可得：（ b1）2=（b+ 1） 2+b22b（b+1） ，化为 b25b=0，b1，解得 b即可得出（2）由（1）可知：cosA= ，可得 cosC=cos2A=2cos2A1由于 与 的夹角为（
31、C ） ，可得 方向上的投影= cos（ C） 【解答】解：（1）a，b，c 成公差为 1 的等差数列， C=2A可分别设为 b1，b，b+1，由正弦定理可得： = ，化为又由余弦定理可得：（b1） 2=（b +1） 2+b22b（b+ 1） ，化为b25b=0，b1，解得 b=5a ，b ，c 的值分别为 4，5，6（2）由（1）可知：cosA= ，cosC=cos2A=2cos 2A1= 与 的夹角为（C ） ， 方向上的投影= cos（ C）=5（cosC=）= 21设函数 f（x ）=e xax1（a0 ） （1）求函数 f（x）的最小值 g（a） ，并证明 g（a）0；（2）求证：n
32、N*，都有 1n+1+2n+1+3n+1+nn+1 成立【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】 （1）先求出函数 f（x ）的单调区间，从而求出 f（x）的最小值 g（a ）=alna1，再求出 g（a）的单调区间，从而得到 g（a）0；（2）根据题意得到 exx+1，从而可得（x+1） n+1（e x） n+1=e（n+1）x ，给 x 赋值，从而得到答案【解答】解：（1）由 a0，及 f（x ）=e xa 可得：函数 f（ x）在（，lna）递减，在（lna，+）递增，函数 f（x ）的最小值 g（a）=f （lna）=a alna1，则 g（a ）=lna，故 a（0，1）时，g（
33、a） 0，a （1，+）时，g（a ）0，从而 g（a）在（ 0，1）递增，在（1，+）递减，且 g（1）=0，故 g（a）0；（2）证明：由（）可知，当 a=1 时，总有 f（x）=e xx10，当且仅当 x=0 时“=”成立，即 x0 时，总有 exx +1，于是可得（x +1） n+1（e x） n+1=e（n+1）x ，令 x+1= ，即 x= ，可得（ ） n+1e n，令 x+1= ，即 x= ，可得：（ ） n+1e 1n，令 x+1= ，即 x= ，可得：（ ） n+1e 2n，令 x+1= ，即 x= ，可得：（ ） n+1e 1，对以上各等式求和可得：（ ） n+1+（ ）
34、 n+1+（ ） n+1+（ ） n+1e n+e1n+e2n+e1= ，对任意的正整数 n，都有（ ） n+1+（ ） n+1+（ ） n+1+（ ）n+1 ，1 n+1+2n+1+3n+1+nn+1 成立四、请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 【选修 4-l：几何证明选讲】22如图，点 A 是以线段 BC 为直径的圆 O 上一点，ADBC 于点 D，过点 B 作圆 O 的切线，与 CA 的延长线相交于点 E，点 G 是 AD 的中点，连接 CG 并延长与 BE 相交于点 F，延长 AF 与
35、 CB 的延长线相交于点 P（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA 是圆 O 的切线【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明【分析】 （1）利用平行线截三角形得相似三角形，得BFCDGC 且FECGAC，得到对应线段成比例，再结合已知条件可得 BF=EF；（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到FAO=EBO，结合 BE 是圆的切线，得到 PAOA，从而得到 PA 是圆 O 的切线【解答】证明：（1）BC 是圆 O 的直径，BE 是圆 O 的切线，EBBC又ADBC，ADBE 可得BFC DGC，FECGAC ，得 G 是 AD 的中点，即 DG=AGBF=EF（
36、2）连接 AO，ABBC 是圆 O 的直径，BAC=90由（1）得：在 RtBAE 中， F 是斜边 BE 的中点，AF=FB=EF，可得 FBA=FAB又OA=OB，ABO= BAOBE 是圆 O 的切线，EBO=90，得EBO=FBA+ABO=FAB+BAO=FAO=90，PA OA，由圆的切线判定定理，得 PA 是圆 O 的切线【选修 4-4：坐标系与参数方程】23在平面直角坐标系 xOy 中，l 是过定点 P（4，2）且倾斜角为 的直线，在以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系（取相同单位长度）中，曲线 C 的极坐标方程为 =4cos（）写出求直线 l 的参数方程，并将
37、曲线 C 的方程化为直角坐标方程；（）若曲线 C 与直线 l 相交于不同的两点 M、N，求|PM|+|PN|的取值范围【考点】参数方程化成普通方程【分析】对第（）问，根据“ ”直接写出 l 的参数方程，利用极坐标与直角坐标的转换关系式 ，可将曲线 C 的方程化为直角坐标方程；对第（）问，联立 l 的参数方程与曲线 C 的普通方程，消去 x 与 y，得到关于t 的一元二次方程，写出| PM|+|PN|关于 t 及 的表达式，利用韦达定理及 的范围，可探求|PM|+|PN| 的取值范围【解答】解：（）直线 l 过定点 P（4，2） ，且倾斜角为 ，l 的参数方程为 （t 为参数） 由 =4cos，
38、得 2=4cos，将 代入上式中，整理得曲线 C 的普通方程为 x2+y24x=0（）将 l 的参数方程 代入 x2+y2=4x 中，得 t2+4（sin+cos）t+4=0，由题意有=16（sin +cos） 2160，得 sincos0，0，sin0，且 cos0，从而 0 设点 M，N 对应的参数分别为 t1，t 2，由韦达定理，得 t1+t2=4（sin+cos ）0，t 1t2=40，t 10，且 t20，|PM|+|PN|=|t 1|+|t2|=t1t2=4（sin+cos）= 由 0 ，得 ， 1，故|PM|+|PN|的取值范围是 【选修 4-5：不等式选讲】24设函数 f（x
39、）=|x |+|x+m|（m0）（1）证明：f（x）4；（2）若 f（2）5，求 m 的取值范围【考点】绝对值不等式的解法【分析】 （）由 m0，由 f（x ）的解析式利用绝对值三角不等式证得结论（）分当 2 时和当 2 时两种情况，分别根据 f（2）5，求得 m 的范围，再把所得 m 的范围取并集，即得所求【解答】解：（）由 m0，有 f（x ）=|x |+|x+m|（x ）+x+m|= +m4，当且仅当 =m，即 m=2 时取“=”，所以 f（x ）4 成立（）f（2）=|2 |+|2+m|当 2，即 m2 时，f（2）=m +4，由 f（2）5，求得 m 当 2，即 0m2 时，f（2）= +m，由 f（2）5，求得 0m1综上，m 的取值范围是（0，1）（ ，+） 2017 年 1 月 15 日
