1、2018 届河南省洛阳市高三期中考试理科数学试题（解析版）第卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，则 （ ）AB=A. B. C. D. 3,3 (0,3 0,3)【答案】C【解析】， ，故选 C.y|y= 9x2=0,3,B=y|y=2x=(0,+) AB=(0,32. 设复数 满足 （是虚数单位） ，则 的共轭复数 （ ）z z(1i)=4i zA. B. C. D. 22i 2+2i 2+2i 22i【答案】A【解析】 , , ，故选 A.z=(1i)=4i,z=(
2、1i)(1+i)=4i(1+i)2z=4+4i,z=2+2iz=22i3. 下列说法中正确的个数是（ ）“ 为真命题”是“ 为真命题”的必要不充分条件；命题“ ”的否定是“ ”；xR,cosx1 x0R,cosx01若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】对于，若“ ” 为真命题，则 都为真命题， “ ” 为真命题，若 为真命题，只需pq p,q pq pq为真命题或 为真命题， “ ”不一定为真命题，所以“ 为真命题”是“ 为真命题”的充分不p q pq pq pq必要条件，故错误；对于，命题“ ， ”的否定是“ ”， 故错误；对x
3、R cosx1 x0R,cosx01于，因为逆命题与否命题互为逆否命题，所以正确，即正确命题的个数为 ，故选 B.14. 函数 的大致图象是（ ）f(x)=lg(|x|1)A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数 是偶函数，所以图象关于 轴对称，由 ,可得其定义域是f(x)=lg(|x|-1) y x10,且 在 上是增函数,所以选 B.(,1)(1,+) f(x) (1,+)5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 83 43 4+82 8+42【答案】D【解析】由三视图知，该几何体是一个一条侧棱与底面垂直，底面是边长为 的正方形的四棱锥，其中两
4、个2侧面面积为 ，两个侧面面积为 ，底面积为 ，所以表面积为 ，故选 D.2 22 4 8+426. 等比数列 中， ，函数 ，则 （ ）an a1=2,a10=4 f(0)=A. B. C. D. 26 29 212 215【答案】D【解析】在等比数列 中，由 ，得 ， 函数an a1=2,a10=4 a5a6=24=23 是 个因式的乘积，展开后含 的项仅有 ，其余的项 的指数均大于等f(x)=x(xa1)(xa2).(xa10) 11 x (a1a2.a10)x x于 ， 中的常数项仅有 ， ，故选 D.2 a1a2.a10f(0)=a1a2.a10=(23)5=2157. 将函数 的图
5、象沿 轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则 的取值不可y=sin(x+2)cos(x+2) x 8 能是（ ）A. B. C. D. 34 4 4 54【答案】B【解析】 ,将函数 的图象向左平移 个单位后得到，y=sin(x+2)cos(x+2)=12sin(2x+) y， 为偶函数， ， ，当 时，f(x+8)=12sin(2x+4+) f(x+8) 4+=k+2,kZ =k+4,kZ k=1,0,1的取值分别为 ， ， 的取值不可能是 ，故选 B. -34 4，54 -48. 向量 均为非零向量， ，则 的夹角为（ ）a,b (a2b)a,(b2a)b a,bA. B. C.
6、D. 3 2 23 56【答案】A【解析】 ， ，所以 ，即 ，设 的夹角为 ，(a2b)a=0a2=2ab (b2a)b=0b2=2ab a2=b2 |a|=|b| a,b ，又 ，所以 的夹角为 ，故选 A.cos=ab|a|b|=a22|a|2=12 0, a,b 39. 已知数列 的首项 ，则 （ ）an a1=0,an+1=an+2an+1+1 a20=A. 99 B. 101 C. 399 D. 401【答案】C【解析】由 ，可得 ，an+1=an+2an+1+1 an+1+1=( an+1+1)2，an+1+1an+1=1是以 为公差，以 为首项的等差数列 ， ，故选 C.an+
7、1 1 1 an+1=n,an=n21 a20=2021=39910. 在三棱锥 中，底面 是直角三角形，其斜边 平面 ，且 ，则此三棱锥SABC ABC AB=4,SC ABC SC=3的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 25 20 16 13【答案】A【解析】根据已知，可将三棱锥补成一个长方体，如下图：则三棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，由于 ，且 是直角三角形， 平面 ，AB=4，SC=3 ABC SC ABC长方体的对角线长为 ， 三棱锥的外接球的半径 ， 三 AC2+BC2+SC2= AB2+SC2= 42+32=5 R=52 棱锥的外接球的表面积为 ，故选 A.45
8、24=25【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：若三条棱两垂直则用 （ 为三棱的长） ；4R2=a2+b2+c2a,b,c若 面 （ ） ，则 （为 外接圆半径） ； 可以转化为长方体的外接球；特SA ABCSA=a 4R2=4r2+a2 ABC殊几何体可以直接找出球心和半径.11. 已知函数 ，若关于 的方程 有 8 个不等的实数根，则实数f(x)= 4|x1|,x0x24x+1,x0 x f2(x)2af(x)+a+2=0的取值范围是 （ ）aA. B. C. D. (1,187) (1,94)
9、(2,187) (2,94)【答案】C【解析】画出 的图象，如图，设 ，原方程化为 ，y=f(x) f(x)=t由图知，要使方程 个不等的实数根方程，只需 在 有上有f2(x)-2af(x)+a+2=08 g(t)=t22at+a+2=0 (0,4)两个不等的根，则 ，解得 ，故选 C.g(4)=187a0g(1)=3a010 21 31f(x)dx=【答案】243【解析】由定积分的几何意义可得， 是以原点为圆心，以 为半径的圆的面积的一半，111x2dx， ，故答案为 .111x2dx=2 31f(x)=111x2dx+31(x24x+3)dx=2+(13x32x2+3x)|31=24315
10、. 设 均为正数，且 ，则 的最小值为_ x、y1x+1+ 12y+1=12 xy【答案】92【解析】 均为正数，且 ， ，整理可得 ，由基本不等式可得x,y1x+1+ 12y+1=12 x+2y+2(x+1)(2y+1)=12 xy=x+y+3，整理可得 ，解得 或 （舍去） ， ，当且仅当 时取等xy2xy+3 ( xy)22xy30 xy322 xy22 xy92 x=y号，故答案为 .92【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定
11、积最大，积定和最小） ；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）. 16. 已知函数 是定义在 上的偶函数，其导函数为 ，且当 时， ，则不等式f(x) R f(x) x2018三、解答题 ：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知向量 a=(sinx,3),b=(1,cosx)（1）若 ，求 的值；ab tan2x（2）令 ，把函数 的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变） ，再把所有图象f(x)=ab f(x)沿 轴向左平移 个单位，得到函数 的图象，求
12、函数 的单调增区间及图象的对称中心x3 y=g(x) y=g(x)【答案】 （1） ;（2） ， .3 k512,k+12(kZ) (12k6,0)(kZ)【解析】试题分析：（I）由 可得 ，从而可得 ，ab ab=(sinx,- 3)(1,cosx)=sinx- 3cosx=0 tanx= 3根据二倍角的正切公式可得结果；（II）由辅助角公式可得 ，根据平移变换可得f(x)=2sin(x-3)，利用正弦函数的单调性，解不等式即可得结果.g(x)=2sin(2x+3)试题解析：（I） ， ab=(sinx,- 3)(1,cosx)=0即 ， sinx- 3cosx=0 tanx= 3， tan
13、2x=2tanx1-tan2x=- 3（II）由（I）得 ，从而 ， f(x)=2sin(x-3) g(x)=2sin(2x+3)解 得 ，2k-22x+32k+2 k-512xk+12(kZ)的单调增区间时 . g(x) k-512,k+12(k)由 得 即函数 图象的2x+3=k x=12k-6(kZ) y=g(x)对称中心为 .(12k-6,0)(kZ)18. 已知数列 满足 ，设 an a1=2,anan+1+nan+1=2(n+1)an bn=nan（1）求证：数列 为等比数列，并求 的通项公式；bn1 an（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求证： cn=1bn cn n Sn Sn
14、0 f(x)0 x f(x),f(x)x (-,-3) -3 (-3,0) 0 (0,+)f(x) + 0 - 0 =+f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增故 的单调增区间是 ， ，单调减区间是 . f(x) (-,-3) (0,+) (-3,0)（III）由于 f(2)=5e2,f(0)=-1,f(-2)=e-2故函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 .f(x) -2,2 5e2 -1【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、导数的几何意义，属于难题利用导数研究函数 的单调性进一步求函数最值的步骤： 确定函数 的定义域；对 求f(x)
15、f(x) f(x)导；令 ，解不等式得 的范围就是递增区间；令 ，解不等式得 的范围就是递减区间；根f(x)0 x f(x)0 x据单调性求函数 的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小） .f(x)21. 如图，四棱锥 中，底面 为梯形， 底面 ，PABCD ABCD PD ABCDAB/CD,ADCD,AD=AB=1,BC= 2（1）求证：平面 平面 ；PBD PBC（2）设 为 上一点，满足 ，若直线 与平面 所成的角的正切值为 ，求二面角H CD 2CH=3HD PC PBD63的余弦值HPBC【答案】(1)详见解析;(2) .277【解析】试题分析：（I）由直角三角形可得
16、 ，由线面垂直的性质可得 ，从而可得BCBD BCPD平面 进而可得结论；（ II）以 点为坐标原点， 分别 轴建立空间直角坐标系，分BC PBD, D DA,DC,DP x,y,z别求出平面 与平面 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.HPB PBC试题解析：（I）由 ，可得 ，ADCD,AB/CD,AD=AB=1 BD= 2又 BC= 2,=4,BCBD.从而 ， 底面 ， CD=2 PD ABCD BCPD， 平面 所以平面 平面 . PDBD=D BC PBD, PBD PBC（II）由（I）可知 为 与底面 所成角. BPC PC PBD所以 ，所以 tanBPC=63 PB= 3,PD=1又 及 ，可得 , 2CH=3HD CD=2 CH=65,DH=45以 点为坐标原点， 分别 轴建立空间直角坐标系，D DA,DC,DP x,y,z则 . B(1,1,0),P(0,0,1),C(0,2,0),H(0,45,0)
