1、第 1 页 共 14 页2017-2018 学年河南省洛阳市高三期中考试数学（理）试题一、单选题1已知集合 ，则 （ ）2|9,|2xAyxBy=ABA. B. C. D. -3,3,03,【答案】C【解析】， ，故选 C.2|9,|20,xyxBy0,3AB2设复数 满足 （ 是虚数单位） ，则 的共轭复数 （ ）z14iizzA. B. C. D. ii【答案】A【解析】 , ,i,i14izz24i,2izz，故选 A.2iz3下列说法中正确的个数是（ ）“ 为真命题”是“ 为真命题”的必要不充分条件；pqpq命题“ ， ”的否定是“ ”；xRcos1x00,cos1xR若一个命题的逆命
2、题为真，则它的否命题一定为真.A. B. C. D. 0123【答案】B【解析】对于，若“ ” 为真命题，则 都为真命题， “ ” 为真命题，pq,pqpq若 为真命题，只需 为真命题或 为真命题， “ ”不一定为真命题，所以pq“ 为真命题”是“ 为真命题”的充分不必要条件，故错误；对于，命题“ ， ”的否定是“ ”， 故错误；对于，因xRcos1x00,cos1xR为逆命题与否命题互为逆否命题，所以正确，即正确命题的个数为 ，故选 B.4函数 的大致图象是（ ）f(x)=lg(|x|1)A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数 是偶函数，所以图象关于 轴对称，由 ,可得其定义f(x)
3、=lg(|x|-1) y x10域是 ,且 在 上是增函数,所以选 B.(,1)(1,+) f(x)(1,+)5某几何体的三视图如图所示，则几何体的表面积为（ ）第 2 页 共 14 页A. B. C. D. 8348242【答案】D【解析】由三视图知，该几何体是一个一条侧棱与底面垂直，底面是边长为 的正方形2的四棱锥，其中两个侧面面积为 ，两个侧面面积为 ，底面积为 ，所以表面积为224，故选 D.8426等比数列 中， ，函数 ，na10,4a1210fxaxa则 （ ）0fA. B. C. D. 6291215【答案】D【解析】在等比数列 中，由 ，得 na10,4a10293847aa
4、， 函数 是 个因式的乘积，35624a110.fxx展开后含 的项仅有 ，其余的项 的指数均大于等于 ， 中的常x120. fx数项仅有 ， ，故选 D.120.a531120.2fa7将函数 的图象沿 轴向左平移 个单位后，得到一个sincosyxxx8偶函数的图象，则 的取值不可能是（ ）A. B. C. D. 3445【答案】B【解析】 ,将函数 的图象向左平移1cos22ysinxxsinxy个单位后得到， ， 为偶函数， 8+i+84f+8fx第 3 页 共 14 页， ，当 时， 的取值分别,42kZ,4kZ1,0k为 ， ， 的取值不可能是 ，故选 B.35， 8向量 均为非零
5、向量， ，则 的夹角为（ ）,ab2,abab,A. B. C. D. 32356【答案】A【解析】 ， ，所以 ，20abab220abab2b即 ，设 的夹角为 ， ，又 ，所以,21cos0,的夹角为 ，故选 A.,ab39已知数列 的首项 ，则 （ ）n110,21nnaa20aA. B. C. D. 094【答案】C【解析】由 ，可得12nn，1 11n naa，是以 为公差，以 为首项的等差数列 ， + 2,1nna，故选 C.203910在三棱锥 中，底面 是直角三角形，其斜边 ， 平面SABC4ABSC，且 ，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）ABA. B. C. D. 5163
6、【答案】A【解析】根据已知，可将三棱锥补成一个长方体，如下图：则三棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，由于 ，且 是直角43ABSC， AB三角形， 平面 ， 长方体的对角线长为SC第 4 页 共 14 页， 三棱锥的外接球的半径2222435ACBSABSC， 三棱锥的外接球的表面积为 ，故选 A.5R【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：若三条棱两垂直则用 （ 为三棱的长） ；若 面 （ ） ，则224abc, SABCSa（ 为 外接圆半径） ；可以转化为长方体的外接球；特殊几RrABC何体可以
7、直接找出球心和半径.11已知函数 ，若关于 的方程124,0 xfx有 个不等的实数根，则实数 的取值范围是（ ）2fxaf8aA. B. C. D. 18,79,412,792,4【答案】C【解析】画出 的图象，如图，设 ，原方程化为 ，yfxfxt20gtat由图知，要使方程 个不等的实数根方程，只需220faf8在 有上有两个不等的根，则 ，20gtat,4241703 8ga解得 ，故选 C.187【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、方程的根与系数之间的关系，数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想
8、方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用第 5 页 共 14 页这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.12用 表示不超过 的最大整数（如 ）.数列 满足xx2.1,3.54na， （ ） ，若 ，则 的所143a1nna*N12nnSa nS有可能值得个数为（ ）A. B. C. D. 21【答案】B【解析】对 两边取倒数，得 ，累加得1nna1nnnaa，由 为单调递1113nnnSa2110,nnnn增数列， ，其中
9、 ，整数部分为 ， 1234437,9865a1Sa0，整数部分为 ， ，整数部分为 ，由2375Sa13496S2于 ， 时， 的整数部分都是 ， 的所有可能值得个数为 ，故n4n2n 3选 B.二、填空题13设变量 满足约束条件： ，则 的最大值是xy、 2 yx2zxy_【答案】8【解析】画出可行域如图所示,目标函数 表示原点(0,0)与可行域内的点(x,y)两2zxy点连线距离的平方,由图知,|OA|最大，A(-2,-2),最大值为 ,故填 8.228第 6 页 共 14 页14若定义在 上的函数 ，则1,21,1 43xf_31fxd【答案】 42【解析】由定积分的几何意义可得， 是
10、以原点为圆心，以 为半径的圆的12xd1面积的一半， ， 12xd31322114fxdxd，故答案为 .32314|2x42315设 均为正数，且 ，则 的最小值为 _,y1xyxy【答案】 92【解析】 均为正数，且 ， ，整理可得,xy112xy21xy，由基本不等式可得 ，整理可得 ，3y3x230x解得 或 （舍去） ， ，当且仅当 时取等号，2x2xy92yy故答案为 .9【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定
11、和最小） ；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）.16已知函数 是定义在 上的偶函数，其导函数为 ，且当 时， fxRfx0，则不等式 的解集为20fx2017017xfx_【答案】 或|2168【解析】由 ，得 ，即2,0fxfx23xffx，令 ，则当 时， ，即 在230xfFf0Fx第 7 页 共 14 页上是减函数， ， ,022017017Fxxfx，即不等式等价为 ， 211Fff F在 是减函数，偶函数 是定义在 上的可导函数， x, fxR， 在 递增， 由ff,F0,得， ， 或 ，故答案为20
12、17Fx2017x216x8或 .|68x三、解答题17已知向量 .sin,31,cosaxbx（I）若 ，求 的值;bt2（II）令 ，把函数 的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半fxfx（纵坐标不变） ，再把所得图象沿 轴向左平移 个单位，得到函数 的图象，3ygx求函数 的单调增区间及图象的对称中心.ygx【答案】 （I） ；（II） ， .35,12kk1,026kkZ【解析】试题分析：（I）由 可得ab，从而可得 ，根据二倍角sin,3,cosin3cos0abxxx tan3x的正切公式可得结果；（II）由辅助角公式可得 ，根据平移变换2sif可得 ，利用正弦函数的单调性，解不
13、等式即可得结果.2sin3gx试题解析：（I） ， si,1,cos0abxx即 ， sincos0tnx， 2tta=-31x（II）由（I）得 ，从而 ， sinfx2sin3gx解 得 ，223kxk 511kZ第 8 页 共 14 页的单调增区间时 . gx5,12kk由 得 即函数 图象的23k6xZygx对称中心为 .1,0k18已知数列 满足 ，设 .na112,21nnnaanb（I）求证：数列 为等比数列，并求 的通项公式；nbn（II）设 ，数列 的前 项和 ，求证： .1ncncnS2n【答案】 （I） ；（II）证明见解析.21na【解析】试题分析：（I） 可化为 即1
14、21nnnaa12na，12nb，从而可得数列 为等比数列，进而可得 的通项公式；n1nbn（II）由（I）可得 ，分组求和后，12nb21nn nc利用放缩法可得结论.试题解析：（I）由已知易得 ，由0na121nnnaa得 即 ； 121na1nb,又 ,12b是以 为首项，以 为公比的等比数列. n1从而 122nnnb即 ，整理得nna1nna第 9 页 共 14 页即数列 的通项公式为 . na21nna（II） ， 12nb122nn nc，2311n nS， 01n. 12n19在 中， 分别是角 的对边，且ABC,abc,ABC.costa1（I）求 的大小;（II）若 为 的
15、中点，且 ，求 面积最大值.DBDAC【答案】 （I） ；（II） .3【解析】试题分析：（I）首先正切化弦，然后利用两角和的余弦公式可得，从而可得 ，进而可得结果；（II）由余弦定理可得1cos2AC1cos2B，利用基本不等式可得24ac，结合三角形面积公式可得结果.3c试题解析：（I）由 ，得2cosCtan1A，in2cos1AC， ， icos1cos2A， 1cos2B又 . 0,3（II）在 中，由余弦定理得 .AD221cosbcADB在 中，由余弦定理得 ， B22aC第 10 页 共 14 页二式相加得 ，222 cosbaBac整理得 ， 24， ,ac3ac所以 的面积
16、 ，ABC143sin22SB当且仅当 时“ ”成立.3ac的面积的最大值为 .ABC20已知函数 ，其导函数 的两个零点为 和 .2xfxmneyfx30（I）求曲线 在点 处的切线方程；y1,f（II）求函数 的单调区间；fx（III）求函数 在区间 上的最值.2,【答案】 （I） ；（II）增区间是 ， ，减区间是 ；43yex,30,3,0（III）最大值为 ，最小值为 .251【解析】试题分析：（I）求出 ，由 解得 ，根据导数的fx 0f1 mn几何意义可得切线斜率，利用点斜式可得切线方程；（II）求出 ， fx得增区间， 得减区间；（III）根据（II）求出函数 的极0fx0fx
17、f值，与区间 端点出的函数值进行比较即可得结果.2,试题解析：（I） .2xfxmne 2 xfxemxne由 知 ，解得 30 f9320 n1从而 2, 213x xxefe所以 ， 1f4f第 11 页 共 14 页曲线 在点 处的切线方程为yfx1,f 41yex即 . 43e（II）由于 ，当 变化时， 的变化情况如下表：0x,fxx,33,00,f0 0 fx单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增故 的单调增区间是 ， ，单调减区间是 . f,30,3,0（III）由于 2 251feffe故函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 .x,51【方法点晴】本题主要考查的是利用导
18、数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、导数的几何意义，属于难题利用导数研究函数 的单调性进一步求函数最fx值的步骤：确定函数 的定义域；对 求导；令 ，解不等式fx 0f得 的范围就是递增区间；令 ，解不等式得 的范围就是递减区间；根据x0x单调性求函数 的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.fx21如图，四棱锥 中，底面 为梯形， 底面 ， PABCDABPDABC， ， ， /ABC12C（1 ）求证：平面 平面 ；PBDC（2 ）设 为 上的一点，满足 ，若直线 与平面 所成角的正HC23HDPCBD第 12 页 共 14 页切值为 ，求二面角 的余弦值63HPB
19、C【答案】 （1）证明见解析；（ 2） 7【解析】试题分析：（I）由直角三角形可得 ，由线面垂直的性质可得BD，从而可得 平面 进而可得结论；（II）以 点为坐标原点， BCPDBC,P分别 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面 与平面 的,A,xyz HPBC一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：（I）由 ，可得 ，,/,1ABDAB2D又 2,.4BCC从而 ， 底面 ， DPCP， 平面 所以平面 平面 . , C（II）由（I）可知 为 与底面 所成角. BBD所以 ，所以 6tan3PC3,1P又 及 ，可得 , 2HD264,5CH以 点为坐标原点， 分别 轴建立
20、空间直角坐标系，,Axyz则 . 41,0,10,2,05BP设平面 的法向量 .H,nxyz则由 得 取 0 nPB40 5xyz1,54n同理平面 的法向量为 C,2m所以 7cos,n又二面角 为锐角.所以二面角 余弦值为 .HPBCHPBC27【方法点晴】本题主要考查利用空间垂直关系以及空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量第 13 页 共 14 页关系；（5）根据定
21、理结论求出相应的角和距离.22已知函数 .2lnfxmxR（I）若 在其定义域内单调递增，求实数 的取值范围；（II）若 ，且 有两个极值点 ，求 取值1752mfx122,x12fxf范围.【答案】 （I） ；（II） .,4154ln,6l【解析】试题分析：（I） 在其定义域内单调递增等价于fx，即 在 上恒成立,利用基本不等式求出2 0fxm20的最小值，从而可得结果；（II）根据韦达定理可得， ，利用导1212120,xxx21214fxfxln数研究函数的单调性，即可求得 取值范围.12ff试题解析：（I） 的定义域为 ， 在定义域内单调递增，fx0,x，即 在 上恒成立, 2fxmx由 ，所以 ，实数 的取值范围是 . 44（II）由（I）知 ，当 时 有两个22 mxfx1752fx极值点，此时 . 1212120,0m因为 ，解得 ， 175,x4x由于 于是21,221112lnlnff xmx2 2112121ln4lxmxx令 ，则 24lhx23 0hx所以 在 上单调递减， 1.第 14 页 共 14 页1124hxh即 1214ln6lnffx故 的取值范围为 .12fxf54l,l2
