1、章末质量评估( 二)(时间：100 分钟 满分：120 分)一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设直线 m 与平面 相交但不垂直，则下列说法中正确的是( )A在平面 内有且只有一条直线与直线 m 垂直B过直线 m 有且只有一个平面与平面 垂直C与直线 m 垂直的直线不可能与平面 平行D与直线 m 平行的平面不可能与平面 垂直解析 画图或在正方体模型中观察可得答案 B2(2012聊城二中高一检测)如图， l，A ，B，ABlD，C，Cl，则平面 ABC 与平面 的交线是( )A直线 AC B直线 ABC直线 CD D
2、直线 BC解析 Dl，l，D .又 C，CD.同理 CD平面 ABC，平面 ABC平面 CD .答案 C3对两条不相交的空间直线 a 与 b，必存在平面 ，使得( ) Aa，b Ba，bCa ，b Da，b解析 因为已知两条不相交的空间直线 a 和 b，所以可以在直线 a 上任取一点A，则 Ab.过 A 作直线 c b，则过 a，c 必存在平面 且使得 a ，b.答案 B4已知平面 平面 ，l，点 A，Al，直线 ABl，直线 ACl，直线 m，m ，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )AABm BACmCAB DAC解析 容易判断 A、B、C 三个答案都是正确的，对于 D，虽然 ACl
3、 ，但 AC不一定在平面 内，故它可以与平面 相交、平行，但不一定垂直答案 D5设直线 l平面 ，过平面 外一点 A 与 l， 都成 30角的直线有且只有( )A1 条 B2 条 C3 条 D4 条解析 如图，和 成 30角的直线一定是以 A 为顶点的圆锥的母线所在直线，当ABCACB30，直线 AC，AB 都满足条件，故选 B.答案 B6如图，ABC 中，ACB90，直线 l 过点 A 且垂直于平面 ABC，动点Pl，当点 P 逐渐远离点 A 时，PCB 的大小( )A变大 B变小C不变 D有时变大有时变小解析 由于直线 l 垂直于平面 ABC，lBC，又 ACB90，ACBC，BC平面 A
4、PC，BCPC，即 PCB 为直角，与点 P 的位置无关，选 C.答案 C7(2012泰安高一检测 )设 m、n 表示不同直线，、 表示不同平面，则下列结论中正确的是( ) A若 m，mn，则 nB若 m ，n，m，n，则 C若 ，m ，m n，则 nD若 ，m，nm，n，则 n解析 A 选项不正确，n 还有可能在平面 内，B 选项不正确，平面 还有可能与平面 相交， C 选项不正确，n 也有可能在平面 内，选项 D 正确答案 D8已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A 1 在底面 ABC 内的射影为ABC 的中心，则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值为( )A.
5、B. C. D.13 23 33 23解析 由题意知三棱锥 A1-ABC 为正四面体，设棱长为 a，则 AB1 a，3棱柱的高 A1O a(即点 B1 到底面 ABC 的距a2 AO2a2 (2332a)2 63离)，故 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值为 .A1OAB1 23答案 C9在四面体 A-BCD 中，已知棱 AC 的长为 ，其余各棱长都为 1，则二面角 A-2CD-B 的平面角的余弦值为( )A. B. C. D.12 13 33 23解析 取 AC 的中点 E，CD 的中点 F，连接 EF，BF，BE，AC ，其余各棱长都为 1，2AD CD.EF CD .又BFCD，BF
6、E 是二面角 A-CD-B 的平面角EF ，BE ，BF ，12 22 32EF 2BE 2BF 2.BEF 90，cosBFE .EFBF 33答案 C10如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E ，F 分别为棱 AA1，CC 1 的中点，则在空间中与直线 A1D1，EF，CD 都相交的直线( )A不存在B有且只有两条C有且只有三条D有无数条解析 在 EF 上任意取一点 M，直线 A1D1 与 M 确定一个平面，这个平面与 CD有且仅有 1 个交点 N，当 M 取不同的位置就确定不同的平面，从而与 CD 有不同的交点 N，而直线 MN 与这 3 条异面直线都有交点，如下图，故选
7、 D.答案 D二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上)11(2012成都高一检测 )已知平面 ， 和直线 m，给出条件：m；m ；m ；.当满足条件_ 时，有 m.(填所选条件的序号)解析 若 m， ，则 m.故填.答案 12如图，四棱锥 S-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，E 是 SA 上一点，当点E 满足条件：_时，SC平面 EBD.解析 E 为 SA 中点，连接 AC 交 BD 于 O，连接 OE，则 OE SC，SC平面 EBD.答案 E 为 SA 中点13已知矩形 ABCD，AB3，BCa，若 PA平面 AC，在 BC 边上取点
8、 E，使PEDE，则满足条件的 E 点有两个时，a 的取值范围是_解析 如图所示，连接 AE，要使 PEDE，由于 DEPA，则需 DE AE.在矩形 ABCD 中，AED90，满足条件的 E 点有两个，以 AD 为直径的圆与 BC 相割圆心到直线 BC 的距离 dR，即 3 ，得 a6.AD2答案 a614如图，圆锥 SO 中，AB、CD 为底面圆的两条直径，ABCD O，且 ABCD，SOOB2，P 为 SB 的中点则异面直线 SA 与 PD 所成角的正切值为_解析 连接 PO，则 POSA，OPD 即为异面直线 SA 与 PD 所成角的平面角且OPD 为直角三角形， POD 为直角，ta
9、nOPD .ODOP 22 2答案 2三、解答题(本大题共 5 小题，共 54 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(10 分) 如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD底面ABCD，PD DC，E 是 PC 的中点，作 EFPB 交 PB 于点 F.(1)证明：PA平面 EDB；(2)证明：PB平面 DEF.证明 (1)如图，连接 AC 交 BD 于 O.连接 EO.底面 ABCD 是正方形，点 O 是 AC 的中点，在PAC 中，EO 是中位线，PAEO. 而 EO 平面 EDB 且 PA平面 EDB.所以 PA平面 EDB.(2)PD底面 A
10、BCD 且 DC底面 ABCD，PD DC，PD DC，可知PDC 是等腰直角三角形，而 DE 是斜边 PC 的中线，DE PC，同理：由 PD底面 ABCD，得 PDBC.底面 ABCD 是正方形，有 DCBC，BC平面 PDC.而 DE 平面 PDC，BCDE.由和推得 DE平面 PBC.而 PB平面 PBC，DE PB ，又 EFPB 且 DEEFF，所以 PB平面 EFD.16(10 分) 某几何体的三视图如图所示，P 是正方形 ABCD 对角线的交点，G是 PB 的中点(1)根据三视图，画出该几何体的直观图；(2)在直观图中，证明：PD平面 AGC；证明：平面 PBD平面 AGC.(
11、1)解 (1)该几何体的直观图如图所示(2)证明 如图所示， 连接 AC、BD 交于点 O，连接 OG，因为 G 为 PB 的中点，O 为 BD 的中点，所以 OGPD.又 OG平面 AGC，PD平面 AGC， 所以 PD平面 AGC.连接 PO，由三视图可知 PO平面 ABCD，所以 AOPO.又 AO BO，所以 AO平面 PBD.因为 AO平面 AGC，所以平面 PBD平面 AGC.17(10 分)(2012 宁波高一检测 )如图所示，正方形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面相互垂直，G 是 AF 的中点(1)求证：EDAC；(2)若直线 BE 与平面 ABCD 成 45角，求异面直
12、线 GE 与 AC 所成角的余弦值(1)证明 在矩形 ADEF 中， EDAD，平面 ADEF平面 ABCD，且平面 ADEF平面 ABCDAD，ED 平面 ABCD，ED AC.(2)解 由(1)知：ED平面 ABCD，EBD 是直线 BE 与平面 ABCD 所成的角，即 EBD45，设 ABa，则 DEBD a，2取 DE 中点 M，连接 AM，G 是 AF 的中点，AMGE，MAC 是异面直线 GE 与 AC 所成角或其补角连接 BD 交 AC 于点 O，连接 MO.AMCM a， a2 ( 22a)2 62O 是 AC 的中点，MO AC，cos MAC ，AOAM22a62a 33异
13、面直线 GE 与 AC 所成角的余弦值为 .3318(12 分) 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中(即侧棱垂直于底面的三棱柱)，ACB90，AA 1BC2AC2.(1)若 D 为 AA1 中点，求证：平面 B1CD平面 B1C1D；(2)在 AA1 上是否存在一点 D，使得二面角 B1-CD-C1 的大小为 60.(1)证明 A1C1B1ACB90，B 1C1A 1C1又由直三棱柱性质知 B1C1CC 1，B 1C1平面 ACC1A1.B 1C1CD，由 AA1BC2AC2，D 为 AA1 中点，可知 DCDC 1 ，2DC 2DC CC 4，即 CDDC 1，21 21又 B1C1
14、CD，CD平面 B1C1D，又 CD平面 B1CD，故平面 B1CD平面 B1C1D.(2)解 当 AD AA1 时二面角 B1CDC1 的大小为 60.22假设在 AA1 上存在一点 D 满足题意，由(1)可知 B1C1平面 ACC1A1，如图，在平面 ACC1A1 内过 C1 作 C1ECD， 交 CD 或延长线或于 E，连 EB1，则 EB1CD，所以B 1EC1 为二面角 B1CDC 1 的平面角，B 1EC160，由 B1C12 知，C 1E ，233设 AD x，则 DC ，x2 1DCC 1 的面积为 1， 1，12x2 1233解得 x ，即 AD AA1，2 222在 AA1
15、 上存在一点 D 满足题意19(12 分)(2012 济南高一期中测试 )如右图，在 RtAOB 中，OAB30，斜边 AB4，RtAOC 可以通过 RtAOB 以直线 AO 为轴旋转得到，且二面角BAOC 是直二面角动点 D 在斜边 AB 上(1)求证：平面 COD平面 AOB；(2)当 D 为 AB 的中点时，求异面直线 AO 与 CD 所成角的正切值；(3)求 CD 与平面 AOB 所成角的正切值的最大值(1)证明 由题意， COAO，BOAO ，BOC 是二面角 B-AO-C 的平面角，又二面角 BAOC 是直二面角COBO.又AO BOO，CO平面 AOB.又 CO平面 COD，平面 COD平面 AOB.(2)解 作 DEOB，垂足为 E，连接 CE(如右图)，则 DEAO.CDE 是异面直线 AO 与 CD 所成的角在 Rt OCB 中，CO BO2， OE BO1 ，12CE .CO2 OE2 5又 DE AO ，12 3在 RtCDE 中，tanCDE .CEDE 53 153即异面直线 AO 与 CD 所成的角的正切值是 .153(3)解 由(1)知，CO平面 AOB，CDO 是 CD 与平面 AOB 所成的角，
