1、第 1 页 共 16 页河北省内丘中学 2018 届高三 8 月月考考试理数试题评卷人 得分一、选择题1已知集合 ， 则 （ ）20Ax0BxABA. B. C. D. ,20,1,【答案】C【解析】由 A 中不等式变形得：(x2)(x +1)0，解得：x2,即 A=xx2，B=x|x0，AB=x |x2=(2,+).本题选择 C 选项 .2若复数 满足 ，则复数 的实部与虚部之和为（ ）z123izizA. -2 B. 2 C. -4 D. 4【答案】B【解析】由题意可得： ，1512iiz i则实部与虚部之和为 .52本题选择 B 选项.3在 中，若 ，则 （ ）AC4APBA. B. C
2、. D. 1431C134AC134ABC【答案】A【解析】由题意可得： ，,BP则 。314PBA本题选择 A 选项.4 分别是双曲线 的左、右焦点， 为双曲线 右支上一点，12,F2:197xyCPC且 ，则 的周长为（ ）18P12FA. 15 B. 16 C. 17 D. 18【答案】D【解析】由双曲线的方程可知： ，3,7,4abc第 2 页 共 16 页则 ，2112,8PFaFc据此可知 的周长为 .2A46本题选择 D 选项.点睛：双曲线定义的集合语言：PM|MF 1|MF 2|2a ,02a|F1F 2|是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验5用
3、电脑每次可以从区间 内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可0,能性的，若用该电脑连续生成 3 个实数，则这 3 个实数都大于 的概率为（ ）13A. B. C. D. 127382749【答案】C【解析】由题意可得：每个实数都大于 的概率为 ，123p则 3 个实数都大于 的概率为 .1387本题选择 C 选项.6如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，已知该几何体的各个面中有 个面是矩形，体积为 ，则（ ）nVA. B. C. D. 4,10nV5,12nV4,12nV5,10nV【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体为直五棱柱，底面为俯视图所示，高为 2
4、，故 .2105n，本题选择 D 选项.点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑7若 ，则 （ ）sin2sincos4in2A. B. C. D. 535【答案】C第 3 页 共 16 页【解析】由题意可得： ，2sinco2sincos据此整理可得： ，i3,ta3则： .222scosinitn15本题选择 C 选项 .点睛：(1)应用公式时注意方程思想的应用，对于 sin cos ，sin cos
5、 ，sin cos 这三个式子，利用(sin cos )212sin cos 可以知一求二(2)关于 sin ，cos 的齐次式，往往化为关于 tan 的式子8设函数 的导函数为 ，若 为偶函数，且在 上存在极大值，fxfxf0,1则 的图象可能为（ ）fA. B. C. D. 【答案】C【解析】根据题意,若 f(x)为偶函数,则其导数 f(x)为奇函数，结合函数图象可以排除 B. D，又由函数 f(x)在(0,1)上存在极大值,则其导数图象在 (0,1)上存在零点，且零点左侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负，结合选项可以排除 A，只有 C 选项符合题意 ；本题选择 C 选项 .9我国古代名
6、著庄子天下篇 中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭 ”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取 7 天后所剩木棍的长度（单位：尺） ，则处可分别填入的是（ ）第 4 页 共 16 页 A 7?i1siiB 128ii2iC 7?i1siD 128i2ii【答案】B【解析】程序运行过程中，各变量值如下表所示：第 1 次循环： ，1,42si第 2 次循环： ，8第 3 次循环： ，1,164si依此类推,第 7 次循环： ，1,25628si此时不满足条件，退出循环，其中判断框内应填入的条件是：i128?，执行框应填入
7、： ，1si应填入：i=2i.本题选择 B 选项.点睛：(1)解决程序框图问题要注意的三个常用变量计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如 ii1.累加变量：用来计算数据之和，如 SS i；累乘变量：用来计算数据之积，如 ppi.(2)使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别第 5 页 共 16 页10已知函数 ，点 是平面区域 内的任意一点，21fxab,ab20 1xym若 的最小值为-6，则 的值为（ ）21ffmA. -1 B. 0 C. 1 D. 2【答案】A【解析】由函数的解析
8、式可得： ，14213ffabab结合题意可得目标函数 在给定的可行域内的最小值为 ，3zxy6可行域的顶点坐标为 ，,1,ABmC结合目标函数的几何意义可得目标函数在点 处取得最小值，2即： ，解得： .326m本题选择 A 选项.点睛：由于约束条件中存在参数，所以可行域无法确定，此时一般是依据所提供的可行域的面积或目标函数的最值，来确定含有参数的某不等式所表示的坐标系中的某区域，从而确定参数的值11若函数 恰有 4 个零点，则 的取值范围为（ 2,6 ,2sinxxmfco m）A. B. 1,261315,31623C. D. ,2,【答案】B【解析】设 ，作出这两个函数在sin2,co
9、s266gxhx上的图像，如图所示， 在 上的零点为 ， ,2g,15,2在 上的零点为 ，数形结合可得， hx,2,36.12,31m本题选择 B 选项.第 6 页 共 16 页点睛：(1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求12直线 与抛物线 相交于 两点， ，给出下yxa250yax,AB0,2Ca列 4 个命题： 的重心在定直线 上； 的最大值1:pABC73y2:3p为 ； 的重心在定直线 上； 的最大值为203 x4.其中的真命题为（ ）5A. B. C. D. 12,
10、p14,p23,34,p【答案】A【解析】联立直线与抛物线的方程整理可得： ，220xa结合题意可得： ，30Abcxa且： ，273BCABCyy则ABC 的重心坐标为 ， 的重心在定直线 上；7,3aA730xy由弦长公式可得： ，222114341ABxxaa据此可得： ,330a令 ，2hxx则 ，据此可得函数 在区间 上单调递增，在区间6hx0,2上单调递减， ，2,max24h据此可得： 的最大值为 ；3AB1本题选择 A 选项.第 7 页 共 16 页评卷人 得分二、填空题13在 中，若 ，则 _ABCsin:si3:46BCcosB【答案】 2936【解析】由正弦定理可得： ，
11、:in:i3:46abcA不妨设 ，,4,60amb则 .229cos3cB14若 ，则 _232lglogxyxy【答案】593【解析】由题意可得：log 3x=4,log2y=9，x=3 4=81,y=29=512，x+y=81+512=593，故答案为：593.15若 的展开式中 的系数为 20，则 _512ax3xa【答案】 4【解析】(x+a)(1+2x) 5 的展开式中 x3 的系数为，23520C即 40+80a=20，解得 .1416已知一个四面体 的每个顶点都在表面积为 的球 的表面上，且ABCD9O， ，则 _ABa5a【答案】 2【解析】由题意可得，该四面体的四个顶点位于
12、一个长方体的四个顶点上，设长方体的长宽高为 ，由题意可得：,xyz，据此可得： ，225xyaz222210ayzR第 8 页 共 16 页则球的表面积： ，221049aSR结合 解得： .0aa点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.评卷人 得分三、解答题17在等差数列 中， ，公差 .记数列 的前 项和为 .na34+12d21nanS（1）求 ；n
13、S（2）设数列 的前 项和为 ，若 成等比数列，求 .1nanT25,mamT【答案】(1) ;(2) .249【解析】试题分析：(1)由题意可求得数列的首项为 1，则数列的前 n 项和 .2Sn(2)裂项可得 ，且 ，据此可得 .12naS14m1429mT试题解析：（1） ， ， ， ，3411520ad1an ， .213nan243nnS（2）若 成等比数列，则 ，25,m25ma即 ， ,31914 ，1 122naSnn .14114357929mT 点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造
14、成正负相消是此法的根源与目的18如图，在底面为矩形的四棱锥 中， .PABCDPAB第 9 页 共 16 页（1）证明：平面 平面 ；PBCD（2）若异面直线 与 所成角为 ， ， ，求二面角60PBABC的大小.BD【答案】(1)证明见解析；(2) .【解析】试题分析：(1)由题意结合几何关系可证得 平面 ，结合面面垂直的判断定理即可证得CDPB平面 平面 .PC(2)建立空间直角坐标系，结合半平面的法向量可得二面角 的大小是 .PDC60试题解析：（1）证明：由已知四边形 为矩形，得 ，AA ， ， 平面 .PBABB又 ， 平面 ./CDPC 平面 ，平面 平面 .（2）解：以 为坐标原
15、点，建立如图所示的空间直角坐标系 .xyz设 ， ，则 ， ， ， 1PBA(0)BCa,0B,Ca1,0P，0,Da所以 ， ，则 ，即 ，1,0,1Dacos60PDB21a解得 （ 舍去）.a设 是平面 的法向量，则 ，即 ，1,nxyzPB 0n1 0xyz可取 .0,第 10 页 共 16 页设 是平面 的法向量，则 即 ，2,mxyzPCD0 mPDC220 xyz可取 ，所以 ，1,01cos,2n由图可知二面角 为锐角，所以二面角 的大小为 .BPCBPD6019共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是共享经济的一种新形
16、态.一个共享单车企业在某个城市就“一天中一辆单车的平均成本（单位：元）与租用单车的数量（单位：千辆）之间的关系”进行调查研究，在调查过程中进行了统计，得出相关数据见下表：租用单车数量 （千辆）x2 3 4 5 8每天一辆车平均成本 （元）y3.2 2.4 2 1.9 1.7根据以上数据，研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲： ，方程乙： .14.yx26.41yx(1)为了评价两种模型的拟合效果,完成以下任务:完成下表(计算结果精确到 0.1)(备注: , 称为相应于点 的残差iieyie,ixy(也叫随机误差);租用单车数量 (千辆)x2 3 4 5 8每天一辆
17、车平均成本 (元)y3.2 2.4 2 1.9 1.7估计值 1i 2.4 2.1 1.6模型甲残差 1ie0 -0.1 0.1估计值 2iy2.3 2 1.9模型乙残差 2ie0.1 0 0分别计算模型甲与模型乙的残差平方和 及 ,并通过比较 的大小,判断哪1Q212Q个模型拟合效果更好.(2)这个公司在该城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎，共享单车常常供不应求，于是该公司研究是否增加投放.根据市场调查，这个城市投放 8 千辆时，该公司平均一辆单车一天能收入 10 元，6 元收入的概率分别为 0.6，0.4；投放 1 万辆时，该公司平均一辆单车一天能收入 10 元，6 元收入的概率分
18、别为 0.4，0.6.问该公司应该投放 8 千辆还是 1 万辆能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，利润=收入-成本）.【答案】 （1） 模型乙的拟合效果更好（2）投放 1 万辆能获得更多20.3,.1Q第 11 页 共 16 页利润【解析】试题分析：(1)完成所给的表格，计算可得 模型乙的拟合效果更好；120.3,.1Q(2)结合(1) 中的结论计算可得投放 1 万辆能获得更多利润.试题解析：（1）经计算，可得下表：租用单车数量 (千辆)x2 3 4 5 8每天一辆车平均成本 (元 )y3.2 2.4 2 1.9 1.7估计值 1i 3.1 2.4 2.
19、1 1.9 1.6模型甲残差 1ie0.1 0 -0.1 0 0.1估计值 2iy3.2 2.3 2 1.9 1.7模型乙残差 2ie0 0.1 0 0 0 ，22 21010.3,.1QQ，故模型乙的拟合效果更好.2（2）若投放量为 8 千辆，则公司获得每辆车一天的收入期望为，10.6.4所以一天的总利润为 （元）.1780536若投放量为 1 万辆，由（1）可知，每辆车的成本为 （元） ，2.416.0每辆车一天收入期望为 ，0.46.7所以一天的总利润为 （元）7105936所以投放 1 万辆能获得更多利润，应该增加到投放 1 万辆.20如图，设椭圆 ： 的离心率为 ， 分别为椭圆C2(
20、)xyab2,AB的左、右顶点， 为右焦点，直线 与 的交点到 轴的距离为 ，过点F6xCy27作 轴的垂线 ， 为 上异于点 的一点，以 为直径作圆 .BxlDlBDE第 12 页 共 16 页（1）求 的方程；C（2）若直线 与 的另一个交点为 ，证明：直线 与圆 相切.ADPFE【答案】(1) ；(2)证明见解析.2143xy【解析】试题分析：(1)结合题意可求得 ， ，则 的方程为 .2abC2143xy(2)由题意可得，直线与圆相切时，直线的斜率为 ，结合(1)中求得的椭圆方2tk程即可证得题中的结论.试题解析：（1）解：由题可知， ， ， ，12cac23b设椭圆 的方程为 ，C4
21、3xyc由 ，得 ， ， ， ，21 436xyc27x1c2a3b故 的方程为 .C2y（2）证明：由（1）可得： ，设圆 的圆心为 ，则 ，1,0FE2,0t2,Dt圆 的半径为 ，ERt直线 的方程为 .AD2yx设过 与圆 相切的直线方程为 ，F1ky则 ，整理得： ，21kt2t第 13 页 共 16 页由 ，得 ，2 1tyxt2263 txyt又 ，22663143tt直线 与圆 相切.PFE21已知函数 的图象在 处的切线 过点 .2lnfxaxb1xl1,2（1）若函数 ，求 的最大值（用 表示） ；10gfga（2）若 ，证明： .12214, 3axx12x【答案】(1)
22、 ；(2)证明见解析.ln2【解析】试题分析：(1)由题意可得： .结合导函数研究函数的单调性可得 .0bmax1ln2g(2)由题意结合(1) 的结论有，构2121211211213lnfxfxxx造函数 ，结合函数的特征即可证得题中的结论.lnm试题解析：（1）由 ，得 ，1fxab1fab的方程为 ，又 过点 ，l2yxl1,2 ，解得 .11122abab0b ，ln1gxfxxa ，211 (0)xaaxx当 时， ， 单调递增；0,a0g当 时， ， 单调递减.1,xxgx第 14 页 共 16 页故 .2max111lnln2gaaa（2）证明： ，4，22121211 1213
23、ll 3ffxxxx，2lnx212111lnx令 ， ， ，令 得(0)xmlm1m0；令 得 .0 在 上递减，在 上递增，,11, ， ， ，解得： m221xx120x.12x22 【 选修 4-4：坐标系与参数方程】在极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 ，点C2cosin02.以极点 为原点，以极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系.已知直线1,2MOx（ 为参数）与曲线 交于 两点，且 .: 21xtlyC,ABMB（1）若 为曲线 上任意一点，求 的最大值，并求此时点 的极坐标；,PP（2）求 .MAB【答案】 （1） （2）,43AB【解析】试题分析：(1)将极径利用辅助角公式整理
24、为 的形式可得 的最大值是 ，sinx2此时 的极坐标为 .P2,4(2)联立直线的参数方程与圆的普通方程可得 23MAB第 15 页 共 16 页试题解析：（1） ，22,024cosinsi当 时， 取得最大值 ，此时， 的极坐标为 .4P2,4（2）由 得 ，即 ，2cosin22cosin20xy故曲线 的直角坐标方程为 ，C1xy将 代入 并整理得： ，解得2 1xty22210t.62t ，由 的几何意义得， ，MABt 6262,MAB故 .62323 【 选修 4-5：不等式选讲】已知函数 .fx（1）求不等式 的解集；51x（2）若函数 的图象在 上与 轴有 3 个不同的交点
25、，2gfa1,2x求 的取值范围.a【答案】 （1） （2）,4,【解析】试题分析：(1)零点分段可得不等式的解集为 .1,4(2)由题意结合函数图象可得 的取值范围是 .a2,1试题解析：（1）由 ，得 ，51fx5x 或 或 ，2 32 1 3第 16 页 共 16 页解得 ，故不等式 的解集为 .14x51fx1,4（2） ，2,12 ,1xhfxx当 时， ，当且仅当12222hxx即 时取等号， .当 时， xmin1递减，由 得 ，12h120gxfxahxa又 ，结合 的图象可得， .h2,1点睛：绝对值不等式的解法： 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“ 零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想
