2018年山西省榆社中学高三11月月考数学（文）试题.doc

1、页 1 第山西省榆社中学 2018 届高三 11 月月考数学（文）试题一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 ，则 中整数元素的个数为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】由题意得 ，又 ，所以 。故 中整数元素的个数为 4。选 B。2. 设 ，为虚数单位，且 ，则 （ ）A. B. 1 C. D. 2【答案】B故答案为 B。3. 已知向量 ， ，则 是“ 与 反向”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当

2、向量 反向时，则有 且 ，即 ，解得 。故“ ”是“与 反向”的充要条件。选 C。4. 设， ，定义运算： ，则 ( )A. -3 B. C. D. 3【答案】D页 2 第【解析】由题意得 ，所以 。选 D。 5. 中国古代数学名著九章算术中有这样一个问提:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之栗五斗.羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿 5 斗栗.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还栗升， 升

3、，升，1 斗为 10 升，则下列判断正确的是（ ）A. 依次成公比为 2 的等比数列，且B. 依次成公比为 2 的等比数列，且C. 依次成公比为 的等比数列，且D. 依次成公比为 的等比数列，且【答案】D【解析】由条件知， ，依次成公比为 的等比数列，三者之和为 52 升，根据等比数列的前 N 项和，即故答案为 D。6. 若函数 在 上递减，则的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由 ，得 。因为函数 在 上递减，所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，令 ， ，则 在 上单调递增，所以 。所以 。页 3 第所以实数的取值范围为 。选 B。7. 某几何体的三视图如图所示，其中

4、每个视图中的四个小正方形的边长都相等，若该几何体的体积为 ，则该几何体的表面积为（ ）A. 36 B. 42 C. 48 D. 64【答案】C【解析】有三视图知该几何体是正方体，挖去了右上角和左下角两个八分之一的小正方体，剩下的体积为整个正方体的体积的四分之三，故得到 正方体边长为 此时表面积是 故答案为 C。8. 定义在 上的奇函数 的一个零点所在区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】函数 为奇函数， ，即 ,整理得 在 上恒成立， , ，,函数 的零点在区间 内。选 C。9. 设变量 满足约束条件 则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D页 4 第【解析】画

5、出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，由 得 ，平移直线 ，结合图形可得，当直线经过可行域内的点 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，此时 z 取得最大值。由 ，解得 ，所以点 A 的坐标为（3， -3）。 。 的取值范围为 。选 D。10. 在正四棱锥 中，已知异面直线 与 所成的角为 ，给出下面三个命题:若 ，则此四棱锥的侧面积为 ；：若 分别为 的中点，则 平面 ；:若 都在球 的表面上，则球 的表面积是四边形 面积的 倍. 在下列命题中，为真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为异面直线 与 所成的角为 ，AD 平行于 BC，故角 PBC= ，正四棱锥 中，PB

6、=PC，故三角形 PBC 是等边三角形；当 AB=2，此四棱锥的侧面积为 ，故 是假命题；取 BC 的中点 G， 分别为 的中点故得 ，故平面 EFG/平面 PAB，从而得到 EF/平面PAB，故 是真命题；设 AB=a, AC 和 BD 的交点为 O，则 PO 垂直于地面 ABCD，PA，AO ，POO 为球心，球的半径为 ，表面积为 ,又正方形的面积为 ,故 为真。故 为真； 均为假。页 5 第故答案为 A。11. 函数 在 的图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ,函数 为奇函数，故图象关于原点对称，因此排除 B。又当 时， ， ，因此排除 C,D。故选 A。点睛：由函

7、数的解析式判断函数图象时，一般采用排除的方法进行求解，常用的方法有以下几种：（1）根据函数的定义域进行排除；（2）根据函数的奇偶性、周期性、单调性等进行排除；（3）对于在坐轴上标有单位的情形，可用特殊值进行排除。12. 已知函数 若函数 恰有 3 个零点，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意得 ，故函数 在 上有一个零点。当 时，由 得 ，且函数 在 上恒成立。页 6 第当 时，由 得 ，令 ，则 ，当 时， 单调递减，当 时， 单调递增。所以当 时， 有极小值，且极小值为 。又当 x 趋向 1 时， 趋向正无穷 。因此要使函数 有 3 个零点，必须使函数 在

8、上有两个零点。所以 。故的取值范围为 。选 A。点睛：对于已知函数零点个数求参数取值范围的问题，可通过分离参数的方法转化为与 x 轴平行的直线与函数图象公共点个数的问题处理，解题时可通过函数的单调性、极值等知识画出函数的草图，通过图象进行判断公共点的个数，进而确定参数的取值范围，这种解法体现的是数形结合思想在解题中的应用。第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 函数 的定义域为_【答案】【解析】由题意得 ，即 ，解得 。所以函数的定义域为 。答案：14. 设向量 满足 ， ，则 _【答案】【解析】 ， ，又 ， ，页 7 第 。答案：15. 若

9、函数 的图象相邻的两个对称中心为 ，将 的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 ，得到 的图象，则 _【答案】【解析】由题意得 ，所以 。 ， ，又点 在函数图象上，所以 ，又 ， ， 。将 的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 ，所得图象对应的解析式为 ，即。答案：16. 设 为数列 的前 项和， ，且 ，则 _【答案】【解析】由 两边同除以 ，整理得 ，令 ，则 ， ，又由 解得 ，页 8 第 。数列 是首项为 ，公比为 的等比数列。 。 ， ， . 。答案：点睛：本题将用构造法求通项、数列求和综合在一起考查，难度较大。解题时要根据所给递推关系的特点，采用两边同除以 的方法构造一个新的数列，

10、再用待定系数法求出数列 的通项公式，最后得到数列的通项，然后根据通项公式得特征求得 。由于解题过程中的运算量较大，因此求解时要一定注意计算的准确性。三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中，角 的对边分别为 ， .（1）若 ， 的面积为 2，且 为钝角，求；（2）若 ，求 .【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）由 的面积为 2 面积可得 ，又由条件可得 ，然后根据余弦定理可求得 。（2）由 及正弦定理得 ，进而得，结合条件可求得 ，所以 。试题解析：（1） 的面积为 2，页 9 第 ， ，又 ， 为钝角， 。在 中

11、，由余弦定理得， .（2）由 及正弦定理得，又 ， ， ， ， ， .18. 设 为数列 的前 项和， ，数列 满足 .（1）求 及 ；（2）记 表示 的个位数字，如 ，求数列 的前 20 项和.【答案】 （1） ， ；（2 ） ,【解析】试题分析：（1）根据 ，可求数列的通项；（2）根据 的前 5 项可知数列是有周期性的，故可以求出前 5 项的和，再乘以 5 即可.页 10 第解：（1）当 时， ，由于 也满足 ，则 .， ， ，是首项为 3，公差为 2 的等差数列， .（2） ， 的前 5 项依次为 1，3,5,7,9.， 的前 5 项依次为 3,5,7,9，1.易知，数列 与 的周期均为

12、 5，的前 20 项和为.19. 已知向量 ，函数 .（1）若 ，求 ；（2）求 在 上的值域；（3）将 的图象向左平移 个单位得到 的图象，设 ，判断 的图象是否关于直线对称，请说明理由.【答案】 （1） 或 ； （2） ；（3） 的图象关于直线 对称.【解析】试题分析：（1）由 可得 ，所以 或 。 （2）化简得 ，由得 ，所以 ，可得函数的值域为 。（3）根据题意可得 ，从而 ，然后验证 ，可得 的图象是否关于直线 对称。试题解析：（1） ， 解得 .又 ， 或 .页 11 第（2）. ， . 函数 在 上的值域为 .（3）由题意得 ， . ， 函数 的图象关于直线 对称. 点睛：（1）

13、解决函数 的有关问题时，常用的方法是将 看做一个整体去处理。（2）注意函数图象对称性的等价条件，即直线 是函数 图象的对称轴 。20. 如图，在三棱锥 中， ， 底面 ， ，且 .（1）若 为 上一点，且 ，证明:平面 平面 .（2）若 为棱 上一点，且 平面 ，求三棱锥 的体积.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）由 平面 可得 ，又 ， ，所以 平面 ，根据面面垂直的判定定理得平面 平面 。 （2）在 中，由余弦定理得，根据勾股定理可得 AB=3，BC=1，PB=2，由 平面 可得 ，从而得到 ，故BD=1.过 作 ，交 于 ，则 为三棱锥页 12 第的高，且 由三棱锥的

14、体积公式可得 。试题解析：（1）证明： 平面 ， 平面 .又 ， ， 平面 . 平面 ， 平面 平面 . （2）解：在 中，由余弦定理得, ，由条件得 解得 平面 ， 平面 ，平面 平面 ， ， . 过 作 ，交 于 ，则 为三棱锥 的高，则 . ， .即三棱锥 的体积为 。21. 已知函数 .（1）讨论 在 上的单调性；（2）是否存在实数，使得 在 上的最大值为 ，若存在，求满足条件的的个数；若不存在，请说明理由.【答案】 （1）见解析；（2）1 个页 13 第【解析】试题分析：（1）求导数可得 ，对 a 进行分类讨论得：当 时， 在 上单调递增，当 或 时， 在 上单调递减，当 且 时，

15、在 上单调递增，在上单调递减。 （2）结合（1）可得当 时， ，故有，即 ，可判断方程 只有 1 个实数解，所以存在满足条件的实数 a，且只有 1 个。试题解析：（1） ， ，当 时， 在 上单调递增。当 ，即 或 时， ， 在 上单调递减。当 且 时，由 得 .令 得 ；令 得 . 在 上单调递增，在 上单调递减.综上，当 时， 在 上递增；当 或 时， 在 上递减；当 且 时， 在 上递增，在 上递减 .（2）易知 ，由（1）知 在 上单调递增，在 上单调递减， 当 时， 有极大值，也为最大值，且页 14 第由题意得 ，即 ，设 ，易知 为增函数，且 ， 的唯一零点在 上， 方程 有唯一解

16、， 存在实数满足条件，且实数的个数为 1 个.点睛：（1）对含有参数的函数讨论单调性（或求单调区间）时，对参数要进行合理的分类讨论，分类时要做到不重不漏。（2 ）解决探索性问题的一般思路是先假设结论成立，然后进行正确的推理，看是否得到矛盾，若经过推理得到了矛盾的结论，则说明假设不成立；若得不到矛盾的结论，则说明假设成立，从而可解决原问题。22. 已知函数 的图象与 轴相切，且切点在 轴的正半轴上.（1）若函数 在 上的极小值不大于 ，求 的取值范围；（2）设 ，证明: 在 上的最小值为定值.【答案】 （1） ；（2）定值【解析】试题分析：（1）函数 的图象与 轴相切可得 。所以 ，对 分类讨论

17、可得当 时， 无极值； 当 时， 在 处取得极小值；当 时， 在 上无极小值。综上得当当 时， 在 上有极小值，解得 。 （2） ，所以，令 ，则 ，分析可得 ，故 在 上递增，因此 ，所以当 时， 单调递减 ；当 时， 单调递增。故为定值。试题解析：（1）解： ，令 得 ，由题意可得 ， .页 15 第 ， ，当 ，即 时， 无极值.当 ，即 时，令 得 ；令 得 或 ， 当 时， 有极小值.当 ，即 时， 在 上无极小值。综上可得当 时， 在 上有极小值， 且极小值为 ，即 . ， ，解得 ，又 ， 。 实数 的取值范围为 。（2）证明：由条件得 ，设 ，则 ， ， ，页 16 第又 ， ， ， 在 上递增， .由 得 ；由 得 .当 时， 单调递减；当 时， 单调递增。 当 时， 有极小值，也为最小值，且 为定值.