1、页 1 第2018 届四川省成都市龙泉第二中学高三 10 月月考数学（理）试题（解析版）数学（理工类）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 集合 ，集合 ，全集 ，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】 故选 A2.是虚数单位，复数 ，则 的共轭复数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由 ，得 1i，的共轭复数是 故选 C 3. 已知等比数列 的各项都为正数, 且 成等差数列, 则 的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意，等比数列 的各项都为正数, 且 成等差数列，则（负舍） ，选
2、 A页 2 第点睛：本题主要考查等比数列的性质，灵活应用等比数列的性质和注意题设等比数列 的各项都为正数是解题的关键4. 已知随机变量 ，若 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意有正态密度函数的图象关于直线 对称,正态密度函数的图象与 轴围成的面积为 ,所以有 ,选 .5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A. B. C. D. 【答案】D故选 D6. 已知函数 ， ，用 表示 ， 中的最小值，设函数，则函数 的零点个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】由题意，作出 的图象如图所示，由图象，得函数的零点有三个：
3、 ；故选 C.页 3 第7. 在 中， ，是角 A，B，C ，成等差数列的（ ）A. 充要条件 B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件 D. 既不充分也必要条件【答案】B【解析】在 中， 或故 是角 成等差数列的必要不充分条件故选 B【点睛】本题考查三角函数的同角三角函数关系，两角和的余弦公式等，对 进行恒等变形，探究其与 成等差数列是否等价是解答本题的关键8. 某射手的一次射击中，射中 10 环、9 环、8 环的概率分别为 0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过 8 环的概率为( )A. 0.3 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.9【答案】B【解析】试题分析：此射手在一次射
4、击中成绩不超过 8 环的概率 故 C 正确考点：对立事件概率9. 若函数 （ ， ， ， ）的图象如图所示，则 （ ）页 4 第A. B. C. D. 【答案】D10. 若函数 上不是单调函数，则实数 k 的取值范围（ ）A. B. 不存在这样的实数 kC. D. 【答案】D【解析】 ，令 解得 或 即函数 极值点为 若函数 上不是单调函数，则 或 解得故选 D【点睛】本题考查函数单调性与导数的关系，其中根据连续函数在定区间上不是单调函数，则函数的极值点在区间上，构造不等式是解答的关键11. 如右图所示的程序框图输出的结果是（ ）页 5 第A. 6 B. C. 5 D. 【答案】C【解析】略1
5、2. 已知函数 ，若函数 在区间 上有 4 个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ,显然函数 为增函数,且 ,所以函数 在 上为减函数,在上为增函数 , ,由于 ,所以 在 上为增函数, 在同一坐标系中画出与 的图象, 由于有 4 个不同的交点,所以有 ,求出 ，选 C.点睛: 本题主要考查函数零点的个数, 属于中档题. 本题思路: 分析函数 在 上的单调性, 画出函数 和 在 上的图象, 函数 在 有 4 个不同的零点,等价于函数 和在 上的图象有 4 个不同的交点, 根据图象, 找出条件, 解出不等式即可. 考查了等价转化和数形结合思想. 二、
6、填空题：本题共 4 题，每小题 5 分，共 20 分页 6 第13. 已知 是锐角 的外心， ，若 ，则 _【答案】1【解析】如图，由 得：设 外接圆半径为 ，则 |在 中由正弦定理得：即 |故答案为14. 在 的展开式中，含 项的系数是_（用数字填写答案）【答案】64【解析】试题分析： ，所以由 ，得含 项的系数是考点：二项式定理【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项. 可依据条件写出第 r1 项，再由特定项的特点求出 r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 r1 项，由特定项得出 r值，最后求出其参数.1
7、5. 抛物线 的准线与双曲线 的两条渐近线所围成的三角形的面积等于_【答案】【解析】试题分析：抛物线的准线方程为 ，双曲线的渐近线方程为 ，所以所要求的三角形的面积为 ；页 7 第考点：1抛物线的几何性质； 2双曲线的几何性质；16. 对某同学的 6 次物理测试成绩(满分 100 分)进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学物理成绩的以下说法：中位数为 84；众数为 85；平均数为 85；极差为 12.其中，正确说法的序号是_.【答案】【解析】试题分析：将图中各数按从小到大排列为：78， 83，83，85 ，90，91，所以中位数为 ，众数为 83，平均数为 ，极差为 ，故正确考点：1、
8、茎叶图；2、中位数、众数、平均数；3、极差三、解答题.17. 设数列 各项为正数，且 ， （ ）（1 ） 证明：数列 为等比数列；（2 ）令 ，数列 的前 项和为 ，求使 成立时 的最小值【答案】 （1）见解析；（2）6【解析】试题分析：（）根据题目条件，并结合构造数列，即可证明数列 为等比数列；（）根据（）的结论，先求出数列 的通项公式，然后再求出数列 的前 项和 ，并通过解不等式 ，即可求得使 成立时 的最小值.试题解析：（）由已知， ，则 ，因为数列 各项为正数，所以 ，由已知， ，得 ，又 ，所以，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.（）由（）可知， ， ，则.不等式 ，即 .所以
9、，于是 成立时 的最小值为 .页 8 第考点：1、等比数列；2、数列的前 项和.18. 如图，在 中， 为边 上的点， 为 上的点，且 ， ， （1 ）求 的长；（2 ）若 ，求 的值【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：本题是正弦定理、余弦定理的应用。 （1）中， 在 中可得 的大小，运用余弦定理得到关于 的一元二次方程，通过解方程可得 的值；（2）中先在 中由正弦定理得 ，并根据题意判断出 为钝角，根据 求出 。试题解析：（1）由题意可得 ，在 中，由余弦定理得，所以 ，整理得 ，解得： 故 的长为 。（2）在 中，由正弦定理得 ，即所以 ，所以 因为点 在边 上，所以 ，而 ，所以
10、 只能为钝角，页 9 第所以 ，所以19. 近几年出现各种食品安全问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病，为了解三高疾病是否与性别有关，医院随机对入院的 60 人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：患三高疾病 不患三高疾病 合计男 6 30女合计 36(1)请将如图的列联表补充完整：若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽 9 人，其中女性抽多少人？(2)为了研究三高疾病是否与性别有关，请计算出统计量 K2，并说明你有多大的把握认为三高疾病与性别有关？下面的临界值表供参考：P(K2 k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.07
11、2 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828(参考公式 ，其中 )【答案】 （1）3；（2）有 的把握认为是否患三高疾病与性别有关系【解析】试题分析：（1）根据题中所给数据，通过 22 连列表，直接将如图的列联表补充完整；通过分层抽样求出在患三高疾病的人群中抽 9 人的比例，即可求出女性抽的人数 （2 ）通过题中所给共识计算出，结合临界值表，即可说明有多大的把握认为三高疾病与性别有关试题解析：解（1）：患三高疾病 不患三高疾病 合计页 10 第男 24 6 30女 12 18 30合计 36 24 60在患三高疾病人群中抽 人，则抽取比例为女性应该抽取 人 6
12、分（2 ） 8 分， 10 分那么，我们有 的把握认为是否患三高疾病与性别有关系 12 分考点：1分成抽样；2独立性检验20. 已知椭圆 C： 的右焦点为 F，右顶点为 A，设离心率为 e，且满足 ，其中 O 为坐标原点（1 ）求椭圆 C 的方程；（2 ）过点 的直线 l 与椭圆交于 M，N 两点，求OMN 面积的最大值【答案】 （1） ；（2 ）【解析】试题分析：（1）根据 ，解得 c值，即可得椭圆的方程；（）联立 l 与椭圆 C 的方程，得 ,得 ， 所以 ，又 O 到 l 的距离 所以OMN 的面积 求最值即可.试题解析：（）设椭圆的焦半距为 c，则|OF | = c，|OA | = a
13、，|AF | = 页 11 第所以 ，其中 ，又 ，联立解得 ， 所以椭圆 C 的方程是 （）由题意直线不能与 x 轴垂直，否则将无法构成三角形 当直线 l 与 x 轴不垂直时，设其斜率为 k，那么 l 的方程为 联立 l 与椭圆 C 的方程，消去 y，得 于是直线与椭圆有两个交点的充要条件是 = ，这显然大于 0设点 ， 由根与系数的关系得 ， 所以 ，又 O 到 l 的距离 所以OMN 的面积 ，那么，当且仅当 t = 3 时取等所以OMN 面积的最大值是 点睛:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题
14、常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用21. 已知函数 ， （1 ）当 时， 恒成立，求 的取值范围；（2 ）当 时，研究函数 的零点个数；（3 ）求证： (参考数据： )【答案】 （1） ；（2）见解析；（3）见解析【解析】 【试题分析】 （1）构造函数借助导数知识运用分类整合思想分析探求；（2）构造函数运用导数知识研究函数的图像变化情况，确定函数的图像的交点的个数；（3）借助（1） 、 （2）的结论运用缩放的方法进行分析推证：()令 则若 ，则
15、， ， 在 递增， ，即 在 页 12 第恒成立，满足，所以 ； 若 ， 在 递增， 且且 时， ，则 使 进而 在 递减，在递增，所以当 时 ，即当 时， ，不满足题意，舍去；综合，知 的取值范围为 . ()依题意得 ，则 ，则 在 上恒成立，故 在 递增，所以 ，且 时， ；若 ，即 ，则 ，故 在 递减，所以 ，在 无零点；若 ，即 ，则 使 ，进而 在递减，在 递增， 且 时， ，在 上有一个零点，在 无零点，故 在 有一个零点.综合，当 时无零点；当 时有一个公共点 . ()由()知，当 时， 对 恒成立， 令 ，则 即 ；由()知，当 时， 对 恒成立， 令 ，则 ，所以 ；故有
16、. 点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，设置了三个问题，旨在考查导数在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。求解第一问时，先构造函数借助导数知识运用分类整合思想分析探求出参数的取值范围；解答第二问时，构造函数运用导数求导法则对函数求导，再结合导数与函数的单调性的关系研究函数的图像变化情况，进而确定函数的零点的个数；解答第三问时充分借助（1） 、 （2）的结论，巧妙地运用缩放的方法进行分析推证，从而使得问题获解。22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为页 13 第，若射线 ， 分别与交于 两点（1
17、 ）求 ； （2 ）设点 是曲线 上的动点，求 面积的最大值【答案】 （1）2；（2）【解析】试题分析: (1)分别求出 A,B 点的极坐标,可以由余弦定理求出 ; (2)写出点 P 得参数坐标,由点到直线距离公式,利用三角函数相关知识求出最大值.试题解析：（1），（2）当且仅当 ，即 时取“=”23. 已知函数（1 ）解不等式 ；（2 ）若 ，求证： .【答案】 （1） 或 ；（2 ）见解析【解析】试题分析：（1）根据 ，分类讨论求得不等式 的解集（2）要证的不等式即 ，根据 ，可得| 从而得到所证不等式成立页 14 第试题解析：（1） 当 时，由 ，解得 ；当 时， 不成立；当 时，由 ，解得 ，所以，不等式 的解集为或 （2 ） ，即 ，因为 ， ，所以， ，故所证不等式成立 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法以及绝对值不等式的证明，解题时注意灵活应用等价转化和分类讨论的数学思想是解题的关键
