1、北京工商大学附中 2012 届高三数学二轮复习专题训练：点、直线、平面之间的位置关系I 卷一、选择题1若 P 是两条异面直线 l、 m 外的任意一点，则( )A过点 P 有且仅有一条直线与 l、 m 都平行B过点 P 有且仅有一条直线与 l、 m 都垂直C过点 P 有且仅有一条直线与 l、 m 都相交D过点 P 有且仅有一条直线与 l、 m 都异面【答案】B2下列命题中不正确的是 ( ）A若 lBblAalba则， ,B若 c， ，则 C若 ， ， ，则 D若一直线上有两点在已知平面外，则直线上所有点在平面外【答案】D3 已知 a、b、c 均是直线，则下列命题中，必成立的是 ( ）A 若 ab
2、，bc，则 acB 若 a 与 b 相交，b 与 c 相交，则 a 与 c 也相交C 若 ab，bc，则 acD 若 a 与 b 异面，b 与 c 异面，则 a 与 c 也是异面直线【答案】C4已知 ,l表示三条不同的直线， ,表示三个不同的平面，有下列四个命题：若 ,/;aba且 则若 a、b 相交且都在 ,外， ,/,/b则 ；若 ,则 ；若 ,.lbla则其中正确的是（ ）A B C D【答案】C5已知正四棱锥 S ABCD 的侧棱长与底面边长都相等， E 是 SB 的中点，则 AE、 SD 所成角的余弦值为( )A B13 23C D33 23【答案】C6已知直线 ,nm平面 ,，给出
3、下列命题：若 且 则 ;若 ,/nm且 ,/则 ;/若 且 n则 若 ,/且 ,/则 ./其中正确的命题是（ ） .A .B .C .D【答案】A7正方体 ABCD A1B1C1D1中， BB1与平面 ACD1所成角的余弦值为( )A B23 33C D23 63【答案】D8 如图，正方体 1AC的棱线长为 1，线段 1BD上有两个动点 E，F，且12EF，则下列结论中错误的是 ( ）A CBE B /FD平 面C三棱锥 的体积为定值D F的 面 积 与 的 面 积 相 等【答案】D9已知三棱锥底面是边长为 1 的正三角形，侧棱长均为 2，则侧棱与底面所成角的余弦值为( )A B32 12C
4、D33 36【答案】D10已知 m、 n 为两条不同的直线， 、 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A m ， n ， m ， n B ， m ， n m nC m ， m nn D n m， n m 【答案】D11设 m， n 是平面 内的两条不同直线， l1， l2是平面 内的两条相交直线，则 的一个充分而不必要条件是( )A m 且 l1 B m l1且 n l2C m 且 n D m 且 n l2【答案】B12下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形的相邻边折叠围成一个立方体的图形是 ( ）【答案】CII 卷二、填空题13关于直线 ,mn与平面 ,，有
5、以下四个命题： 若 /且 /，则 /n； 若 ,且 ，则 m； 若 /mn且 /，则 ； 若 ,且 ，则 /n；其中正确命题的序号是 。 （把你认为正确命题的序号都填上）【答案】 14如图，正方体 ABCD A1B1C1D1中， AB2，点 E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上，若 EF平面AB1C，则线段 EF 的长度等于_【答案】 215若 m、 n 为两条不重合的直线， 、 为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是_若 m、 n 都平行于平面 ，则 m、 n 一定不是相交直线；若 m、 n 都垂直于平面 ，则 m、 n 一定是平行直线；已知 、 互相平行， m、 n 互相平行
6、，若 m ，则 n ；若 m、 n 在平面 内的射影互相平行，则 m、 n 互相平行【答案】16如图：点 P 在正方体 ABCD A1B1C1D1的面对角线 BC1上运动，则下列四个命题：三棱锥 A D1PC 的体积不变； A1P面 ACD1； DP BC1；面 PDB1面 ACD1.其中正确的命题的序号是_【答案】三、解答题17已知平面 平面 ，平面 平面 ，且 a，求证：a。【答案】证法 1:如图 1：在 内取一点 P，作 PA 于 A，PB 于 B，则 PAa，PBa，又 PA， PB ，PAPBP， a 。证法 2：如图 2，在 a 上任取一点 Q，作 QC 于 C，a，Q，又 ，QC
7、 ，同理可证 QC ，QC 为 与 的交线 a， a。证法 3：如图 3，在 a 上取点 R，在 内作 RD 垂直于 、 的交线 l 于 D，RD，同法在 内，作 RE 垂直于 ，交 与 的交线 m 于 E，则 RE，过平面外一点，作这个平面的垂线是惟一的，RD、RE 重合，则它既包含于 ，又包含于 ， a。证法 4：如图 4，在 、 内分别取 M、N 分别作 、 的交线 l 和 、 的交线 m 的垂线c，d，则 c，d，cd，ca， a。18如图，正方体 ABCD A1B1C1D1中， E 为棱 C1D1上的动点， F 为棱 BC 的中点(1)求证： AE DA1；(2)求直线 DF 与平面
8、 A1B1CD 所成角的正弦值；(2)若 E 为 C1D1的中点，在线段 AA1上求一点 G，使得直线 AE平面 DFG.【答案】(1)证明：连接 AD1，依题意可知 AD1 A1D，又 C1D1平面 ADD1A1， C1D1 A1D，又 C1D1 AD1 D1， A1D平面 ABC1D1.又 AE平面 ABC1D1， AE A1D.(2)设正方体的棱长为 2，取 CC1的中点 M，连接 FM 交 CB1于 O 点，连接 DO，则 FO ，连接22BC1，易证 BC1平面 A1B1CD.又 FM BC1， FM平面 A1B1CD.则 FDO 为直线 DF 与平面 A1B1CD 所成的角，sin
9、 FDO FODF 225 1010(3)所求 G 点即为 A1点，证明如下：由(1)可知 AE DA1，取 CD 中点 H，连接 AH， EH，由 DF AH， DF EH，AH EH H，可证得 DF平面 AHE， DF AE，又 DF A1D D， AE平面 DFA1，即 AE平面 DFG.19如图，三棱柱 1BCA中，侧面 1AC底面 B， 12,ACABC,且 B,O 为 中点(）证明： 1平面 ；(）求直线 1AC与平面 1B所成角的正弦值；(）在 1B上是否存在一点 E，使得 /O平面 1AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点 E的位置【答案】 （）证明：因为 1AC，且 O
10、为 AC 的中点，所以 1AOC又由题意可知，平面 1平面 B，交线为 AC，且 1O平面 1AC，所以 1平面 B(）如图，以 O 为原点， 1,CO所在直线分别为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系由题意可知， 12,AC又 ,ABC;2OB所以得: 11(0,)(,0)(,3),(0),(2,3)(,0)B则有： 11,3,.ACAB设平面 1B的一个法向量为 (,)xyzn，则有1030yzxAn，令 1，得 3,z所以 (,)3112cos, 7|CAn因为直线 1与平面 1B所成角 和向量 n与 1AC所成锐角互余，所以 21sin7 (）设 01(,),ExyzEC即 00(1
11、,)(,23)z，得0023xyz所以 (,),E得 (1,),OE令 /O平面 1AB，得 =0n ，即 20,得 ,2即存在这样的点 E， E 为 1C的中点 20 已知三个平面 ， ， 两两相交， a， b， c 为三条交线(1)若 a b P，求证： a， b， c 三线共点；(2)若 a b，试用反证法证明 a， b， c 三条直线互相平行【答案】(1)设平面 平面 =a，平面 平面 =b，平面 平面 =c. a b=P， P平面 ，且 P平面 ， =c，则 P c， a， b， c 三线交于点 P，即 a， b， c 三线共点(2)假设 a， b， c 三条直线不互相平行，不妨设
12、a 不平行于 c，则 a， c 相交或异面，若 a， c 相交，由(1)得 a， b， c 三线共点，与条件“ a b”矛盾；若 a， c 异面，平面 平面 =a， a平面 ，平面 平面 =c， c平面 ， a， c 共面，矛盾，故假设不成立，a， b， c 三条直线互相平行21如图，已知 AB是平面 的一条斜线， B为斜足， ,AO为垂足， BC为 内的一条直线， 60,45CO，求斜线 和平面 所成角【答案】 AO，由斜线和平面所成角的定义可知， ABO为 和 所成角，又 12coscos， 601245BC， 45BAO，即斜线 A和平面 所成角为 22如图所示，在四棱锥 PABCD 中
13、，底面 ABCD 是边长为 a 的正方形， E、 F 分别为 PC、 BD 的中点，侧面 PAD底面 ABCD，且 PA PD AD.22(1)求证： EF平面 PAD；(2)求证：平面 PAB平面 PCD.【答案】(1)连结 AC，则 F 是 AC 的中点， E 为 PC 的中点，故在 CPA 中， EF PA，又 PA平面 PAD， EF平面 PAD， EF平面 PAD.(2)平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD AD，又 CD AD， CD平面 PAD， CD PA.又 PA PD AD，22 PAD 是等腰直角三角形，且 APD ，即 PA PD. 2又 CD PD D， PA平面 PCD.又 PA平面 PAB，平面 PAB平面 PCD.
