2018年河南省高三上学期中学生标准学术能力诊断性测试（11月） 数学（文） PDF版.rar

第 1 页 共 2 页 中学生标准学术能力诊断性测试 2017 年 11 月测试 数学 文 科 试卷 本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合  2 xxA ，  034  xxB 则 （ ） A．  2 xxBA B． BA ∅ C．  2 xxBA D． RBA  2． 复数 z 满足  11z i i   ，则 z 的共轭复数为（ ） A． i B． i C． 1 D． 1 3． 某单位试行上班刷卡制度，规定每天 8:30 上班，有 15 分钟的有效刷卡时间（即 8:15-8:30） ， 一名职工在 7:50 到 8:30 之间到单位且到达单位的时刻是随机的，则他能正常刷卡上班的概率是 （ ） A． 32 B． 85 C． 31 D． 83 4． 函数 )82(lo g)( 25.0  xxxf 的单调递增区间是 （ ） A． (- ,-2) B． (- ,-1) C． (1, + ) D． (4, + ) 5． 若 a ＞ 1，则双曲线 x ya 2 22 -1的离心率的取值范围是 （ ） A． 2+（ ， ） B． 22（ ， ） C． 2（ 1， ） D． 12（ ， ） 6．设 x， y 满足约束条件 22  yx ≤ 4，则 yxz 2 的取值范围是（ ） A． [–2,10] B． [2,10] C． [–2,14] D． [2,14] 7． 先将 函数 132sin2   xy的图像向左平移 125 个周期，再向下平移1 个单位后，所得图像对应的函数是 （ ） A． 奇函数 B． 偶函数 C． 非奇非偶函数 D． 不能确定 8． 如图某几何体的三视图是三个边长为 2 的正方形，则该几何体的外接球的表面积是 （ ） A． 34 B． 10 C． 11 D． 12 9． 在如图所示的程序框图中，若输入119m ， 91n ，则输出的结果是 （ ） A． 9 B． 8 C． 7 D． 6 10． 已知函数   xxxf  3 ，若 △ ABC 中，角 C 是钝角，那么 （ ） A．    BfAf cossin  B．    BfAf cossin  C .    BfAf sinsin  D．    BfAf sinsin  11． 已知三棱锥 P - ABC ，在底面 △ ABC 中， ∠ A = 060 ， ∠ C = 090 ，BC = 3 ， PA ⊥平面 ABC ， 且 PA = 32 ，则此三棱锥的外接球的体积为 （ ） A． 316 B． 34 C． 16 D． 332 12． 已知函数   xeaxxf  231 有不少于 1 个零点，则 a 的取值范围是（ ） A．  ,1 B．  1, C．  ,1 D．  1, 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13． 已知向量  4,6am，  ,2bm ，且 ab ， 则 m = ． 14．双曲线 14222 xay  0a 的一条渐近线方程为 35yx ，则 a= ． 15． △ ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 3b ，且     CacABa s ins ins in3  ，则 △ ABC 面 积 的 最 大 值 是______________． 16． 设函数        ,2lo g ,3222xxfx 2,2,xx≤＞满足   3af ，则  af 6 =__________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分 第 2 页 共 2 页 17．（ 12 分） 已知等差数列 na 满足 253 aa ，且 1573 ,, aaa 成等比数列 . （ 1） 求 na 的通项公式； （ 2） 设122  nn ab，求数列 nb 的前 n 项和 ． 18．（ 12 分） 2015 年 10 月，我们国家为努力促进人口均衡发展，坚持计划生育的基本国策，完善人口发展战略，全面实施了一对夫妇可生育两个孩子的政策，即“放开二孩儿”。为了解适龄教师对放开生育二胎政策的态度，某部门随机调查了 200 位 30 到 40 岁的教师 ，得到情况如下表： 男教师 女教师 要生二胎 80 40 不生二胎 40 40 附： ．  2 0P K k≥ 0.5 0.4 0.25 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 （ 1） 是否有 99% 以上的把握认为 “生二胎与性别有关 ”，并说明理由； （ 2） 把以上频率当概率，若从学校里随机抽取甲、乙、丙 3 位 30 到 40 岁的男教师，求这三人中至少有一人要生二胎的概率． 19．（ 12 分 ） 如图，在三棱锥 ABCP 中，平面 PAC ⊥平面 ABC ，△ PAC 是等边三角形， 54,82  ABACBC ． （ 1）求证：平面 PAC ⊥平面 PBC ； （ 2） 求二面角 CPBA  的正弦值 ． 20．（ 12 分） 已知椭圆 C : 12222 byax  0ba 的上顶点 A 与右顶点 B 的距离为 7 ，且椭圆的离心率为 21 ． （ 1） 求椭圆 C 的标准方程； （ 2） 若直线 mkxyl : 与椭圆 C 相交于 M ,N 两点（ M ,N 不是左，右顶点），且 BM ⊥ BN ，求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标． 21．（ 12 分） 函数     xebaxxxf  2  Rx 的一个极值点是 2x ， （ 1） 求 a 与 b 的关系式，并求 xf 的单调区间； （ 2 ） 设 0a ，   22417   xeaxg， 若 存 在  4,0, 21 xx 使得    221 exgxf  成立，求 a 的取值范围． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22． [选修 4―4 ： 坐标系与参数方程 ]（ 10 分 ） 在直角坐标系 xoy 中，曲线 1C 的参数方程为   sin cos3yx  是参数 ，以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 24sin   ． （ 1） 求曲线 1C 的普通方程与曲线 2C 的直角坐标方程； （ 2） 设 P 为曲线 1C 上的动点，求点 P 到 2C 的距离的最大值，并求此时点 P 的坐标． 23． [选修 4—5： 不等式选讲 ]（ 10 分） 已知不等式 52  xxx 的解集为  nm, ． （ 1）求 nm, 的值； （ 2）若 0,0  yx ， 0 mynx ，求yx 11的最小值 ． 21.【命题意图】本题考查函数性质及导数应用，以函数导数为载体，通过导数运算决定的函数性质分析，旨在考查考生对知识的综合运用及逻辑推理能力 . 【解题思路】 （ 1）         xx ebaxaxebaxxxf  22'2' ， …………………… … （ 2 分） 又 2x 是极值点，所以   02' f ， 即   0224  baa ， 83  ab ………………………………………………………… …… … （ 3 分） 此时           xx exaxeaxaxxf  248222' ， ………………………………… （ 4 分） 则 当 6a 时，   24  a ，函数 xf 的单调增区间是   , ，函数无极值，不符合题意 . 当 6a 时，   24  a ， 函数 xf 的单调增区间是     ,4,2, a ，单调减区 间是  4,2 a ， …………………… （ 5 分） 当 6a 时，   24  a ， 函数 xf 的单调增区间是     ,2,4, a ，单调减区间是  2,4a ； …………………… （ 6 分） （ 2） 0a ， 04 a ， xf 在  2,0 为减函数，  4,2 为增函数， ……………………… （ 7 分） xf 在  4,0 的值域是        4,0m ax,2 fff ，即    42 8,4 eaea  ， …………………… （ 8 分） 又   22417   xeaxg在  4,0 上为单调减函数， 值域是 2 2 2 21 7 1 7,44a e a e             ， ……………………………………………………………… （ 9 分） 要使题 意满足，只需     2m in m axf x g x e，         2m i n m a x m i n m a xf x g x f x g x e   ,……………………………… （ 10 分） 所以   2 2 2 2174 40a e a e ea     ，得 2 4 4 173040a e a ea     ，4 8 4 4 8 41 2 1 7 1 2 1 7220e e e e e eaaa       或， 所以 a 的取值范围是4 8 41 2 1 7 ,2e e e   ……………… （ 12 分） 中学生标准学术能力诊断性测试 文科数学 科目参考答案 二、填空题 （ 5分） 13.-6 14. 6/5 15. 934 16.-11/4 三、解答题 17. 【解题思路】 （ 1）设等差数列 na 的公差为 d ，则  2-53  aa ，  1,2-2  dd ………………………………………………………… （ 2分） 又 1573 ,, aaa 成等比数列， 15327 aaa  ，      dadada 1426 1121  ， 即 221  da ， ……………………………………………………………………………… … （ 4分）   1112  nna n ； …………………………………………………………… （ 5分） （ 2）由（ 1）可知    2112211212 22  nnnnnab nn， ………………… （ 8分） 则数列 nb 的前 n 项和为       211111141213111121 nnnnbbbb nn  =   3 2 32 1 2nnn …………………………………………………………………………… …… （ 12分） 18. 【解题思路】 （ 1）由于         635.69508012080120 40404080200222    dbcadcba bcadnk故没有 99% 以上的把握认为“生二胎与性别有关”； ………………………………………… …… （ 5分） （ 2） 题意可得，一名男教 师要生二胎的概率为 3212080 ， …………………………………… … （ 7分） 一名男教师不生二胎的概率为 3112040 ， …………………………………………………………… （ 9分） 记事件 A ：这三人中至少有一人要生二胎， 则  272631113__  APAP． ……………………………………………………………… （ 12分） 19. 【解题思路】 （ 1）取 AC 中点 D ，连结 PD ………………………………………………………… （ 1分） 由△ PAC 为等边三角形，可知 PD ⊥ AC 于点 D ，又平面 PAC ⊥平面 ABC ， PD ⊥平面 ABC ，又ABCBC 平面 ， BC ⊥ PD ，又 54,8,4  ABBCAC ，222 ABBCAC  ， ∠ oACB 90 ，即 BC ⊥ AC ，又 DACPD  ， BC ⊥平面PAC ， ………………………………… ……………………… （ 4分） 又 BC 平面 PBC ，  平面 PAC ⊥平面 PBC ； …………… （ 6分） （ 2）取 PC 中点 E ，连结 AE ，则 AE ⊥ PC ，做 AF ⊥ PB 于 F ，连结 EF …………………… （ 7分） 由 （ 1）可知， 平面 PAC ⊥平面 PBC ， AE ⊥平面 PBC ， AE ⊥ PB ，又 AF ⊥ PB ，  PB ⊥平面 AEF ， PB ⊥ EF ， ∠ AFE 为所求的二面角的平面角 …………………………… （ 9分） 在△ PAB 中，易知 4,54  APPBAB ，  519254 2544 22  AF ，又 32AE ， ……… （ 10 分） 所以所求二面角的正弦值是192 8 51915519232 AFAE ………………………………………………………………………… （ 12分） 20 【解题思路】 （ 1）由已知， 722  baAB ，即 722 ba ， …………………………… （ 1分） 由离心率为 21 ，可得 41122 ab ，即 4322 ab ， …………… ………………………………………… （ 2分） 解得 42a ， 32b ， …………………………………………………………………………………… （ 4分） 所以椭圆的标准方程为 134 22  yx ； …………………………………………………………………… （ 5分） （ 2） 设  11,yxM ，  22,yxN ， 由134 22 yxmkxy 得     034843222  mm k xxk ． … ………………………………………… （ 6分） 则   2221221222222433443804303431664kmxxkmkxxmkmkkm 即， ………………………………… （ 8分）       2 222212122121 43 43 k kmmxxmkxxkmkxmkxyy   ， 因为 BM ⊥ BN ， 所以 1 BNBM kk ，即 122 2 21 1  x yx y， 所以   042 212121  xxxxyy ，即     0443 8243 3443 43222222    kmkkmk km ，04167 22  kmkm ， 解得 km 2 或 72k ，且均满足 043 22  mk ， …………………………………………… … （ 10 分） 当 km 2 时，直线 l 的方程为  2 xky ，过点  0,2 ，与已知矛盾； 当 72km  时，直线 l 的方程为   72xky，过定点  0,72． ………………………………… （ 11 分） 所以直线 l 过定点，定点坐标为  0,72． ……………………………………………………………… （ 12 分） 21. 【解题思路】 （ 1）         xx ebaxaxebaxxxf  22'2' ， …………………… … （ 2分） 又 2x 是极值点，所以   02' f ， 即   0224  baa ， 83  ab ……………………………………………………………… … （ 3分） 此时           xx exaxeaxaxxf  248222' ， ………………………………… （ 4分） 则当 6a 时，   24  a ， 函数 xf 的单调增区间是     ,4,2, a ，单调减区间是  4,2 a ， …………………… （ 5分） 当 6a 时，   24  a ， 函数 xf 的单调增区间是     ,2,4, a ，单调减区间是  2,4a ； …………………… （ 6分） （ 2） 0a ， 04 a ， xf 在  2,0 为减函数，  4,2 为增函数， ……………………… （ 7分） xf 在  4,0 的值域是        4,0m ax,2 fff ，即    42 8,4 eaea  ， …………………… （ 8分） 又   22417   xeaxg在  4,0 上为单调减函数， 值域是     2-222 417,417 eaea ， ……………………………………………………………… （ 9分）   2222222 21414174 eaeaaeaea     ≥ 0 ,……………………………… （ 10分） 所以   04174 2222aeeaea ， 得230 a ，所以 a 的取值范围是  23,0 ……………… （ 12分） 22. 【解题思路】 （ 1）曲线 1C 的普通方程是 13 22 yx ， ………………………………………………… （ 2分） 曲线 2C 的直角坐标方程 02yx ； …………………………………………………………………… （ 4分） （ 2）设点 P 坐标是   sin,cos3 ， ………………………………………………………………… （ 5分） 则点 P 到 2C 的距离为223s in222s inc o s3    ， ………………………………… （ 7分） 当 13sin  即  Zkkk   265,223 时， 所求距离最大为 22 ， ………………………………………………………………… ………………… （ 9分） 此时点 P 坐标是 553 c o s , s i n66            即   21,23.……………………………………… （ 10分） 23. 【解题思路】 （ 1）原不等式转化为    520 xxxx，或 0225xx x x     ≤ ≤，或  522 xxxx， …………………………… （ 2分） 解得 01  x ，或 0 ≤ x ≤ 2 ，或 72 x ， 71  x ， …………………………………… （ 4分） 即原不等式的解集为  7,1 ，故 7,1  nm ； ……………………………………………………… （ 5分） （ 2）由（ 1）得 017  yx ，即  0,017  yxyx ，所以 877711   yxxyy yxx yxyx ≥   1717872 2  ， …………… （ 8分） 当且仅当177yxyxxy 即77 7,77 1  yx时取等号，故所求最小值为 17 .……………… （ 10分）