1、数学归纳法应用举例归纳型探索性题是高考重点之一，也是解题的重要方法，应引起足够重视，解归纳型问题，需从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律。 这类题目特点及解题步骤1 这类题目特点是：第一步是给出与整正数有关的命题结构，第二步要求计算出最初几个初始值，第三步要求通过已计算出的初始值，应用不完全归纳法，发现其命题的一般规律，作出科学的猜想和判断，最后用数学归纳法对所作的猜想作出科学的证明。2 思维步骤：试验 归纳 推广 猜想 证明，具体做法是：对所研究的问题通过观察与试验，发现它们某种共性，然后猜想此类对象的全体也有这种共性，接着用数学归纳法证明猜想的正确性。二 典型例题1：先
2、计算再归纳猜想，最后证明例 1 是否存在常数 a、b、c，使得等式 222234(1)n A)()2cbna对一切自然数成立？并证明你的结论。 解析：假设存在 a,b,c 使上式对 n N 均成立，则当时 上式显然也成立，3,1此时可得 22221()634193abcc解此方程组可得 a3，b11，c10下面用数学归纳法证明等式= 对一切自然数均222214(1)n A)103()2n成立。当 时，命题显然成立。n假设 时，命题成立。k即 ，22222(1)134()310)kk那么当 时，22222(1)()kk(1)30)k)24173(12)()(22 222 kkk。命题也成立。10
3、)()1(312)(2kkk综上所述，存在常数 ,cba使得等式 对一切自222234(1)n A)()2cbna然数均成立。2 没有给出猜想信息，先创造条件的出结论，再证明例 2：数列 满足 ，求数列 的通项公式。na)(2,0nnasns解： ， 由 ，变形整理，得 取正根,0nns)1(,1,12得， 由 及 ，,1)(22a212s得 ，变形整理，得 ，取正根得 。)(22ss 22同理求得 3由此猜想 。ns用数学归纳法证明如下：（1）：当 1 时，上面已求出 1，结论成立。 ns（2） 假设当 时，结论成立。即kk那么当 时，n1111()()22kkkksasS= ,1kkS整理
4、得， ，取正根得 ，故 时，结论成立。 12ks1skn由（1） 、 （2）知，对一切 成立。Nnn,3 赋值、猜想证明例 3：已知 是定义在 上的不恒为零的函数，)(xfR且对任意的 都满足： ，ba, )().(abffaf若 求证： 。)2()2(NnfUfn nU1分析：用归纳的思想方法，通过赋值、计算、猜想证明四步完成。证明：令 )(2,1Nnba当 时， ；n1)f当 时， ;2)(2)(2fff当 时，33f猜想 (2)()nnfNA(*)用数学归纳法证明如下：（1） 当 时， 式成立，(),21)(f（2）假设 时(*)式成立。kn即 ， 当 时，()2kfAnk1 11)()
5、2()22()2kk kk kffff 时，(*)式成立。 n由（1） 、 （2）知，对 成立。所以*,()nnNfA *()().nnUfNA要证明结论成立，只需证明 )(0*1NUn2.2).(1nU数学归纳法的应用近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现成的结论，而且加强了对归纳推理的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性.用数学归纳法证明一个命题主要有两个步骤：（1）证明当 n 取第一个值 时命题成立；0n（2）假设当 时命题成立，证明当 时命题也成立()kN， 1nk此外，还要结合（1）和（2）得出一个总论下面就一道数学归纳法、数列、不等式等知识交汇的高考题进行例
6、析.例 （2005 年湖南卷）自然状态下的鱼类是一种可再生的资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响.用 表示某鱼群在第 n 年年初的nx总量， ，且 不考虑其它因素，设在第 年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与nN10x成正比，死亡量与 成正比，这些比例系数依次为正常数 nx2n abc，（）求 与 的关系式；1nx（）猜测：当且仅当 ， 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？1xabc（不要求证明）（）设 ，为保证对任意 ，都有 ， ，则捕捞强度 的2ac， 1(02)x，0nxNb最大允许值是多少？证明你的结论分析与解：（）从第 年初到第 年初，鱼群的
7、繁殖量为 ，被捕捞量为 ，nnanx死亡量为 ，因此 ， 2ncx 21nnnxabcxN()故 ， 1()abc()（）若每年年初鱼群总量保持不变，则 恒等于 ， ，从而由 式得nx1n()恒等于 0， ，所以 ，即 因为 ，所以()nnxabcnN0abcabxc10x猜想：当且仅当 ，且 时，每年年初鱼群的总量保持不变ab1xc（）若 的值使得 ， ，由 ， ，知 ，0n1(3)nnxbxN03nxbnN特别地，有 ，即 103xb13而 ，所以 ，由此猜测 的最大允许值是 11(2)x，b下面证明当 ， 时，都有 ， ，1(0)1b(02)nxN 当 时，结论显然成立n 假设 时结论成
8、立，即 ，则当 时，()kN()k，1nk120kxx又因为 ，2()(1)kk所以 ，故当 时结论也成立1kx，n由 ，可知，对于任意的 ，都有 nN(02)nx，综上所述，为保证对任意 ，都有 ， ，则捕捞强度 的最大允许值1(02)x，Nb是 数学归纳法应用中的四个常见错误数学归纳法是证明与正整数有关的命题的一种常用方法。证明时，它的两个步骤：归纳奠基和归纳递推缺一不可。使用数学归纳法解决问题易出现的四类错误：（1）初始值确定的错误； （2）对项数估算的错误；（3）没有利用归纳递推；（4）关键步骤含糊0n不清。现举例如下：（1） 初始值 估计的错误。归纳奠基是归纳的基础，是数学归纳法的关
9、键之处。 通0n 0n常是 1，但不总是 1。有些同学思维定势，认为 是 1，而不能具体问题具体分析。0n例 1.用数学归纳法证明“ +1 对于 n 的正整数 n 成立”时，第一步证明中的起2n0始值 应取（ ）0nA. 1 B. 2 C. 3 D.5 【答案】 选 D例 2.若 f(n)= ,则 n=1 时 f(n)是*11,()nNA. 1 B. C. D.以上答案均不正确。323【答案】选 C点评：这也是一个常见的错误，解题的关键是因为分母是连续的，由最后一项既其前面的项组成。（2） 对项数估算的错误 用数学归纳法证明恒等式时，由 n=k 递推到 n=k+1 时，左端增加的项有时是一项有
10、时不只是一项，有有时左端的第一个因式也可能变化。举例如下：例 3.用数学归纳法证明不等式 n（n ）过程中，由 n=k 递推1123*N到 n=k+1 时，不等式左端增加的项数是（ ）A. 1 B. -1 C. D. +1k 2k2k解析;当 n=k 时，左端= 11k当 n=k+1，左端= 1111( )2322kkkk括号内的部分是增加的式子，计算可知共 项点评：这类问题的特点是分母从 1 开始在正整数范围内递增，抓住这个关键，再通过 n=k和 n=k+1 左端进行对比，就不会发生错误了。【答案】 选 C例 4.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+n)= 13(2n-1)(nN)时，
11、从2n“n=kn=k+1”两边同乘以一个代数式，它是 （ ）解析：当 n=k 时， = (1)2()kk213()k当 n=k+1 时， = 2(1k通过对比可知，增加了两项（2k+1） （2k+2）减少了一项 k+1。故答案选 D。点评：通过对比 n=k 和 n=k+1 时的变化确定增减项。因为每一项中都有 n，项数会有增有减。（3）没有利用归纳递推数学归纳法中的归纳奠基和归纳递推缺一不可，归纳奠基是递推的基础，归纳递推是递推的依据，二者是一个整体，不能割裂开来。就像多米诺骨牌游戏，第一块不到，后面的块肯定不到，中间的任意一块不到，游戏也不能继续，环环相扣。例 5.用数学归纳法证明 的过程如
12、下：21*1()nN当 n=1 时，左边=1，右边= =1，等式成立。假设当 n=k 时，等式成立，即 21k则当 n=k+1 时， 211k所以，当 n=k+1 时等式成立。由此可知，对任何 ，等式都成立。上述证明的错误是 *nN【答案】没有用上归纳递推。正确的解法是 ，即用上了第二步中的假设。21112kkk点评：步骤不完整是常犯的错误，除忘记用归纳递推外，有时还忘记第一步起始值的确定，或忘记归纳结论，所以一定牢记“两个步骤一个结论” 。（4）关键步骤含糊不清。用数学归纳法证明时有一个技巧，即当 n=k+1 时，代入假设后再写出结论，然后往中间”凑” 。但中间的计算过程必须有，不能省略也不能含糊不清。这一步是数学归纳法的精华所在，阅卷老师关注的重要环节。例题略。
