1、第 59 题 线性规划中的参数问题I题源探究 黄金母题【例 1】已知实数 ， 满足 ，则使不等式xy10,3xy恒成立的实数 的取值集合是 kxyk（ ）A. B. C. D. 1,21,4,1,2【答案】A【解析】作出不等式组对应的平面区域如图，则由图象知 ，由不0x等式 恒成立，得 ，即 .1kxy1kxy1k设 ，则 的几何意义是区域内的点到定点 的斜率，zz ,D由图象知 的斜率最小，由 得 ，即 ，AD0 3xy1 xy0,A此时 的最小值为 ，即 ，即实数 的取值范围是z01z12kk，故选 A.1,2精彩解读【试题来源】2018 新疆维吾尔自治区高三二模【母题评析】本题考查含参数
2、的线性规划问题，考查考生的作图能力、用图能力【思路方法】解决此类问题的关键是熟悉线性规划问题求解的基本思路II考场精彩真题回放【例 2】 【20 15 高考山东文 6】已知 满足约束条件 ，若,xy02xy的最大值为 4，则 （ zaxya）A。3 B。2 C。 D。23【答案】B【命题意图】本题主要考查简单的线性规划问题，考查考生的作图能力、用图能力【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等【难点中心】解决线性规划问题，要特别注意正向、逆向两【解析】不等式组 在直角坐标系中所表示的平面区域如下02xy图中的阴影部分所示，若 的最大值为 4，则最优解可能为zax
3、y或 ，经检验， 是最优解，此时1,xy2,0xy2,0； 不是最优解.故选 B.a1 类思考方向，求参数的值和范围的问题就是用逆向思维，观察参数变化时目标函数与平面区域的关系，在运动变化中寻找使问题成立的条件解决问题III理论基础解题原理逆向求参数问题,是线性规划中的难点, 其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等【技能方法】不等式中的参数影响平面区域的形状，如果不等式组中的不等式含有参数，这时这个不等式表示的区域的分界线就是一条变动的直线，此时就要根据参数的取值确定这条直线的变化趋势，
4、确定区域的可能形状；如果目标函数中含有参数，则要根据这个目标函数的特点观察参数变化时目标函数与平面区域的关系，在运动变化中寻找使问题成立的条件解决问题【易错指导】当目标函数中含有参数时,要根据临界位置确定参数所满足的条件,含参数的平面区域问题,要结合直线的各种情况进行分析,不能凭直觉解答, 目标函数含参的线性规划问题,要根据 z 的几何意义确定最优解,切忌搞错符号V举一反三触类旁通若目标函数中含有参数,则一般会知 道最值,此时要结合可行域,确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点（即最优解）,将点的坐标代入目标函数求得参数的值考向 1 目标函数中含参数（1 ）目标函数中 的系数为参数x【例
5、1】 【2018 广东湛江市高三上学期期中调研 】已知 满足约束条件 ,若,xy20xy取得最大值的最优解不唯一,则实数 的值为 zyaxa（ ）A 或 B 12或 2 C.1 或 2 D 或 212 1【答案】D【名师点睛】线性规划问题的最优解一般在平面区域的边界顶点处或边界线上,当最优解为边界顶点时,最优解唯一,当最优解不唯一时, 说明目标函数所表示的直线与区域的某一边平行,其最优解为边界线段上的所有的点. （2 ）目标函数中 的系数为参数y【例 2】已知变量 满足约束条件 若目标函数 的最大值为 1,则,x2310,48,xy0zxaya【答案】3【解析】约束条件所满足的区 域如图所示,
6、 目标函数过 B（ 4,1）点是取得最大值, , 14a3【名师点睛】这类问题应根据图形特征确定最优解,进而用代入法求参数的值（3 ）目标函数中 的系数均含参数,xy【例 3】 【2018 安徽江淮十校高三第三次（ 4 月）联考】已知实数 ， 满足不等式组 ，xy201 3xy若直线 把不等式组表示的平面区域分成面积相等的两部分，则 _1ykx k【答案】 3【例 4】设 , 满足约束条件 ,若目标函数 的最小值为 2,则 的最xy21xy )0,(bayxz ab大值为 【答案】 41【解析】不等式组表示的平面区域如图阴影部分,易求得 ,要目标函数)32(,BA的最小值为 2, ,即 , ,
7、当且仅当)0,(bayxz 2ba141)2ba等号成立故 的最大值为 21b41【名师点睛】本题主要考查最优解的求法以及均值不等式的应用应明确若可行域是封闭的多边形,最优解一般在多边形的顶点处取得应用均值不等式时需注意“一正、二定、三相等”, 缺一不可（4 ）目标函数为非线性函数且含有参数【例 5】设不等式组 表示的平面区域为 若圆 不经过01,4xyD221:ryxC0区域 上的点,则 的取值范围是( )DrA B C D5223, 52,3,52,0【答案】D【名师点睛】本题的关键是给出目标函数的实际意义,即圆与可行域无公共点的问题对于目标函数为平方型： ,可看成可行域内的点 与定点 两
8、点连线的距离的平方,即22zxayb,PxyQab；也可看成是以 为圆心, 为半径的圆,转换为圆与可行域有无公共2PQQabz点的问题【例 6】 【2018 河北廊坊市第八高级中学高三模拟试题 】已知函数的两个极值点分别为 ，且 ，若存在点321fxmxnx12,x120,1,x在函数 的图象上，则实数 的取值范围是_,Pnlog4aya【答案】 (或 )13【名师点睛】函数极值点的范围体现了导函数在某些点处函数值的正负，从而得到一个平面区域，利用图像和平面区域的关系得到所求参数的取值范围【例 7】 【2018 北京市建华实验学校零模 】设不等式组 表示的平面区域为 ,若函数310 6xyD的
9、图象上存在区域上的点,则实数 的取值范围是 （ ）log(1)ayxaA . B. C. D. ,33,1,22,【答案】B【跟踪练习】1.【2018 凉山州高中毕业班第二次诊断】若实数 , 满足 ,且使 取到最xy3206 xy3caxy小值的最优解有无穷多个,则实数 的取值是 （ a）A. B. C. 或 D. 或12232323【答案】C【解析】作出可行域,如图, 当直线 平行直线 AB,或平行直线 BC 时, 满足题意,axcy,或 ， 或 ,故选 C.AB2a3kAB3k232.【2018 广东汕头市高三上学期期末】设变量 满足约束条件 ,且yx,012yx的最小值是 ,则实数 ya
10、xz)1(3)(2220a【答案】 【解析】作出不等式组表示的平面区域,如图所示, 由图知,当 经过点 时yaxz)1(3)(22(2,)A取得最小值 ,即 ,解得 2022(1)6()0aa3.【2018 江苏泰州中学高三摸底考试】已知实数 、 满足 若不等式xy20,54,xy恒成立,则实数 的最小值是 22()()axya【答案】95【名师点睛】线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离 的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等, 最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 4.【2018 山
11、西省长治二中、临汾一中、康杰中学、晋城一中高三第一次联考】已知 满足约束条件yx,若 恒成立, 则实数 的取值范围为 .02yx0kyxk【答案】 6k【解析】可行域为一个三角形 ABC 及其内部, 其中 ,直线 过点 B 时(2,0),)(02ABCzxy取最大值 6,而 恒成立等价于02kyx max6ky5 【 2018 北京朝阳区高三一模 】已知实数 满足 若 取得最小值的,x10 ,y(0)zxym最优解有无数多个,则 的值为_m【答案】 1【解析】6 【 2018 湖北七市（州）教研协作体年 3 月高三联考】已知 , 满足约束条件 ,若xy20 xy取得最大值的最优解不唯 一, 则
12、实数 的值为_zaxya【答案】 或21【解析】由题可知若 取得最大值的最优解不唯一则 必平行于可行域的某一边界,zaxyyaxz如图： 要 Z 最大则直线与 y 轴的截距最大即可,当 a0 时, 则直线平行 AB 即可 ,故 a=17.【2018 湖北高三 4 月调研】记不等式组 的解集为 ，若 ,则201, xyD,1xyax实数 的最小值是( )aA. 0 B. 1 C. 2 D. 4【答案】C【名师点睛】线性规划问题有三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）
13、线性规划的实际应用，本题就是 第三类实际应用问题.8 【 2018 湖南张家界高三第三次模拟 】已知变量 ， 满足 ，若方程xy20 4xy有解，则实数 的最小值为（ ）260xykkA. B. C. D. 4529543165【答案】B【解析】由题意，可作出约束条件的区域图，如图所示，由方程 ，得260xyk，由此问题可转化为求区域图内的点到定点 的距离最小时实数 的值，结2239xyk 03C，合图形，点 到直线 的距离 为所求，则有 ，解得C20xy2345d2495k.故选 B. 295k【名师点睛】此题主要考查简单线性规划问题，以及点到直线距离公式的应用、数形结合法的应用等方面知识与
14、运算技能，属于中档题型，也是常考题型.解决此类问题中主要有两个关键环节，一是根据约束条件作出可行域图；二是善于将目标函数进行转化，一般可从斜率、两点间的距离、点到直线的距离等方向去考虑，寻找问题的突破口.考向 2 约束条件中含参数由于约束条件中存在参数,所以可行域无法确定, 此时一般是依据所提供的可行域的 面积或目标函数的最值,来确定含有参数的某不等式所 表示的坐标系中的某区域 ,从而确定参数的值【例 8】 【2018 河南豫北名校联盟高三年级精英对抗赛 】已知实数 满足不等式组 ,xy， 21,0xym若目标函数 的最大值不超过 4,则实数 的取值范围是（ ）2zxymA B C. D(3,
15、)0,33,03,【答案】D【名师点睛】约束条件中含有参数时：（1）要对可行域的各种可能情况作出判断 ,特别注意特殊的线与点；（2）依据可行域的面积或目标函数的最值准确确定可行域；（3 ）求出参数【例 9】 【2018 重庆市（非市直属校）高三第二次质量调研】已知实数 满足 如果目,xy20,1 ym，标函数 的最大值为 ，则实数 （ ）2zxy6mA. B. C. D. 3456【答案】B【解析】由题得不等式组对应的可行域如图所示：【例 10】 【2018 佛山市高三教学质量检测（二） 】已知 ，设 满足约束条件 ，且a0,xy01 3xya的最小值为-4，则 ( )2zxyaA. 1 B.
16、 2 C. 3 D. 4【答案】C【名师点睛】线性规划问题，一般是作出可行域，作出目标函数对应的直线（目标函数中令 ） ，然0z后平移这条直线，最后所过可行域的点就是最优解；把目标函数化为直线方程的点斜式，会发现 增大减小与直线的纵截距增大减小之间的关系，从而可确定直线是向上平移还是向下平移，从而得最优解【例 11】 【2018 福建漳州市高三上学期期末】已知实数 , 满足 若 的最大值为xy20, ,ykzxy,则 的最小值为 _4z【答案】-2【解析】作出可行域,如图所示, 经计算,得 .由图可知,当直线 过点 时, 2,AkByxzB取最大值,即 ,解得 ,当直线 过点 时, 取最小值,
17、即z4kkyxz42Az.min2【跟踪练习】1.【2018 中原名校豫南九校第四次质量考评】已知实数 满足 ,若目标函数 xy， 2503xyk的最小值的 7 倍与 的最大值相等,则实数 的值为（ ）13zxy27zxyA2 B1 C. D12【答案】A【名师点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是：一,准确无误地作出可行域；二,画目标函数所对应的直线时, 要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错；三, 一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.2.【2018 广东郴州市届高三第二次教学质量监测】设关于 的不等式组 表示的平面区,x
18、y210xym域内存在点 ,满足 .则 的取值范围是（ ）0()Pxy02xymA B C. D4(,)31(,)32(,)35(,)3【答案】C【解析】由线性约束条件可画出如图所示的阴影区域,要使区域内存在点 使 成立,0(,)Pxy02y只要点 在直线 下方即可, 即 解得 ,故选 C.(,)Am20xy2m3m3.【2018 湖北省荆州市届高三上学期第一次质量检】若 满足约束条件 ,且,xy0,3yxk的最大值为 4,则实数 的值为 2zxyk【答案】 3【解析】由题意可知,可行域如图所示,可知目标函数 ,经过点 时, 取到最大值,所以2zxy03k23432kz4 【 2018 安徽宿
19、州高三上学期第一次教学质量检测 】在平面直角坐标系中,若不等式组（ 为常数）所表示的平面区域内的面积等于 1,则 的值为_10 xyaa a【答案】1【解析】考向 3 目标函数及约束条件中均含参数【例 12】设 在约束条件 下, 目标函 数 的最大值大于 2,则 的取值范围为,1m1yxmmyxzmA B C D （ ）2,23,1,3【答案】B【解析】把目标函数转化为 ,表示是斜率为 ,截距为 的平行直线系,当截距最大时,mzxy11mz最大,当过点 时, 截距最大 ,解之得 z,1m22【例 13】 【2018 广西柳州市高三 10 月模拟】不等式组 （ ）所表示平面区域的面积0,4,xy
20、k1为 ,则 的最小值等于（ ）S1kA30 B32 C34 D36【答案】B【例 14】 【2018 河北武邑中学高三上学期第五次调研】若实数 满足不等式组 ，若目,xy10 xya标函数 的最大值为 1，则实数 的值是（ ）2zaxyaA. B. 3 C. D. 11【答案】D【解析】将 化为 ，作出可行域（显然 ）和目标函数基准直线 ，当2zaxy2azx0a2ayx直线 向左上方平移时，直线 在 轴上的截距 增大，即 减小，由图象，得y zyy2zz直线 过点 时， 取得最大值，即 ，即 ，解得2zx,1Aa21230a或 （舍）.故选 D.1a3【跟踪练习】1.设 , 满足约束条件
21、且 的最小值为 7,则xy,1xyazxya（A）-5 （B）3 （C）-5 或 3 （D） 5 或-3【答案】B2.【2018 广东惠州市高三第一次调研】设 1m,变量 xy在约束条件 1yxm下,目标函数zxmy的最大值为 2,则 .【答案】 1【解析】作出可行域如图所示,当直线 zxmy经过点 B时, z有最大值,此时点 B的坐标为(,)1m,21z,解之得 12或 （舍去）,所以 12m.3 【 2018 衡水金卷调研卷五 】已知 表示的区域为 ，不等式组210xyab1D表示的区域为 ，其中 ，记 与 的公共区域为 ，且 的0, ,bxcy2D220abc1D2D面积 为 ，圆 内切于区域 的边界，则椭圆 的离心率为S23234xy 2:0xyCab_【答案】 或12长分别为 的菱形及内部，而 ，所以区域 表示对角线长分别为 的菱形及内部，2,bc,abcD2,bc面积 ， 由圆 内切于区域 D 的边界有 ，1=23,S234xy23解得 ，又 ，所以 或 ，故离心率 或2a,bc1,bc,1bc1cea。3e【名师点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质，以及直线与椭圆，直线与圆的位置关系，线性规划的应用等，属于中档题。利用数形结合是解决本题的基本数学思想。
