1、廉江市实验学校 20182019 学年度第一学期 12 月月考测试题高二数学试卷（精英班、实验班）分值：150 分 时间：120 分钟 页数：4 页 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 ）1. 抛物线 的焦点到准线的距离是（ ）xy82A. B. C. D.12482下列命题是真命题的是（ ）（1）若 ，则abca（2）若 ，则02xsintx（3）函数 有且仅有一个零点l+g（4）数列 的前 项和 ，则数列 为等差数列na21nSnaA （1） （2） B （2） （3） C （2） （4） D （3） （4）3 ： 或 ； ： ，则（ ）pxyq5xyA 是
2、的充分非必要条件 B 是 的必要非充分条件qpqC 是 的充要条件 D 既不是 的充分条件，也不是 的必要条件q4若两个等差数列 、 的前 项和分别为 、 ,且 ，则 nabnnST745()3nN5ab（ ）A.9 B.8 C.7 D.65已知复数 满足 ，则 的最小值( ), +202+602 =2+2A. B. C.4 D.2 26896已知双曲线 的右焦点和抛物线 的焦点重合，则该该双曲线的焦点到14xyb21yx渐近线的距离等于( )A5 B. C3 D.2 57如图，已知直三棱柱 中， ， ， 则直线 与111 =90=1=2 1直线 所成角的余弦值为 ( )1A B C D255
3、 53 35 558已知 中，角 所对的边分别为 ，若 ， ，则 的面 , ,=2 2+2=4 积的最大值是（ ）A B C D3 132 129设 为坐标原点，动点 在圆 上，过 作 轴的垂线，垂足为 ，点ON:8xyNyM满足 ，则点 的轨迹方程为（ ）P2MPA B C D218xy218xy214xy214xy10若两个正实数 满足 ，且不等式 有解，则实数 的取值范围,xy 2xymm是（ ）A B C D 1,24,1,1,14,11如图，设椭圆 （ ）的右顶点为 ，右焦点为 ， 为椭圆 在2:xyEab0aAFBE第二象限上的点，直线 交椭圆 于点 ，若直线 平分线段 于 ，则椭
4、圆 的离OEBFCM心率是（ ）A B. C D1312231412已知 为抛物线 ： 的焦点，过 的直线 与 相交于 、 两点，线段F24yxFlCAB的垂直平分线交 轴于点 ，垂足为 ，若 ，则 的长为 （ ）ABxME6ABEMA B C D 232二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13 在数列 中， ，则数列 的通项公式为 _； 1=3,+1=4+3 =14. 空间直角坐标系中，在 轴上与点 和点 等距离的点 的坐标为 z)7,1(A)2,53(BC15. 在 ABC 中，已知三个内角为 A， B， C 满足 sin Asin Bsin C654，则 sin
5、 B_16已知 P 是抛物线 y2 4x 上一动点，则点 P 到直线 l：2xy30 和 y 轴的距离之和的最小值是_三、解答题(本大题共 6 小题)17(本小题满分 10 分)已知命题 恒成立；命题 方程 表示双曲线.2:1,xpxm:q221xym（1）若命题 为真命题，求实数 的取值范围；（2）若命题“ ”为真命题， “ ”为假命题，求实数 的取值范围.qp18(本小题满分 12 分)已知数列 是递增的等差数列，且 ， .na246a352a（1）求数列 的通项公式；（2）求数列 的前 n 项和12n19(本小题满分 12 分)在平面四边形 中， ， ， ， .=2=7=714(1)求
6、边的长；(2)若 ，求 的面积.=3 20(本小题满分 12 分)如图，四棱锥 的底面 为平行四边形，平面 平面 ， ,PABCD PABCDPB，点 是线段 上靠近点 的三等分点.45ABEA（）求证: ；（）若 是边长为 的等边三角形，求直线 与平面 所成角的正弦值. P2DE21.(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系中，动点 （ ）到点 的距离与到 轴的距离之差为 1(,)0 (1,0) （1）求点 的轨迹 的方程； （2）若 ，过点 作任意一条直线交曲线 于 ， 两点，试证明： 是一(4,2) (4,0) +个定值22. (本小题满分 12 分)已知椭圆 的离心率为 ，过其右焦点
7、F 且与 x 轴垂直的直线交椭圆 C2:1(0)xyCab12于 P，Q 两点，椭圆 C 的右顶点为 R，且满足 .2PRQ(1)求椭圆 C 的方程；(2)若斜率为 k(其中 )的直线 l 过点 F，且与椭圆交于点 A，B ，弦 AB 的中点为 M，直线0OM 与椭圆交于点 C，D，求四边形 ACBD 面积 的取值范围 .Sy xC O AFB DM廉江市实验学校 20182019 学年度第一学期 12 月月考测试题高二数学试卷（精英班、实验班）答案 1. C2 B3 B【解析】 的逆否命题为：若 显然不正确；pq523xyxy， 则 且而 的逆否命题为:若 ，则 ，是真命题，因此 是 的必要
8、不23且 pq充分条件故选 B4A【解析】 121212 4387192nnn naa Anbb B5 B画出不等式组 表示的区域如图， 最小 值为原点到直线 距+-20-2+602 2+2 +2=0离的平方，即为 ，应选答案 B(|-2|2)2=26 D【解析】 由题意得，双曲线的右焦点的坐标为 ，24,0Fb又抛物线的焦点坐标为 ，所以 ，解得 ，3,0F235所以双曲线的其中一条渐近线的方程为 ，即 ，5yx20y所以双曲线的焦点到渐近线的距离为 ，故选 D.23d7 D【解析】分别以 CA、CC1、CB 为 x 轴、y 轴和 z 轴建立坐标系，CA=CC1=2CB,可设 CB=1,CA
9、=CC1=2A(2,0,0),B(0,0,1),B1(0,2,1),C1(0,2,0)1=(0,2,1),1=(2,2,1)可得 ,且 ，11=0(2)+22+(1)1=3 |1|=5,|1|=3向量 所成的角(或其补角 )就是直线 BC1 与直线 AB1 夹角，1,1设直线 BC1 与直线 AB1 夹角为 ,则 .=55本题选择 D 选项.8 A【解析】 ， ， =2 2+2=4 =2+222 =2=12，可得=3， =32， =1239 B【解析】设 ，因为 轴，且 ，所以 ，又,PxyMNy12PMN0,2,yNx动点 在圆 上，所以 ，化简，得 ，即点 的轨N2:8C28x218xP迹
10、方程为 ；故选 B.21xy10 C【解析】正实数 x,y 满足 ，12则 ，11224yxxyy当且仅当 取得最小值 2.,x由 有解,可得 ，2xym2m解得 m2 或 m1.本题选择 C 选项 .11 A【解析】如图，设 AC 中点为 M，连接 OM，则 OM 为ABC 的中位线，于是OFMAFB,且 ，12OFAB即 可得 .12ca3cea故选 A.12 D【解析】由已知得 ，设直线 的方程为 ，并与 联立得1,0Fl1xmy24yx，设 ，则24ym202,AxyBE， ， ，又12020 21,Em，解得 ，线段 的垂直平分线121246ABxym21AB为 ，令 ，得 ，从而
11、，ym23,0M246故选 D.13 4-114. )9,0(15 571616. 15【解析】由题意知，抛物线的焦点为 F(1，0)设点 P 到直线 l 的距离为 d，由抛物线的定义可知，点 P 到 y 轴的距离为|PF| 1，所以点 P 到直线 l 的距离与到 y 轴的距离之和 为d|PF|1.易知 d|PF| 的最小值为点 F 到直线 l 的距离，故 d|PF|的最小值为 ，|2 3|22 （ 1）2 5所以 d|PF| 1 的最小值为 1.学5_17 （1 ） ， ，211fx 2xx1,x ，故命题 为真命题时， 4p4m（2）若命题 为真命题，则 ，所以 ，q20m2因为命题 为真
12、命题，则 至少有一个真命题， 为假命题，“p,q“pq则 至少有一个假命题，所以 一个为真命题，一个为假命题., p当命题 为真命题，命题 为假命题时， ，则 ，或 ；4 2m或 2m4当命题 为假命题，命题 为真命题时， ， 舍去pq42综上， ，或 .2m418 （ 1）设 1nad113652da132 1nad（2 ） 的前 项和为1na设 nS12nn23113452n nS412 -得23 1112n nnS11422-n故 1nnS19 （1）在 中，由余弦定理得，2=2+22， =22+7-22 7 714=9 =3（2）在 中，由余弦定理得，又因为 为三角形的内角=2+222
13、 =12 所以 因为 所以 =60 , =30在 中，由正弦定理得， ，即= 3= 330解得 ，=32因为 ，所以 (0,) =60或 120当 时， ，所以 =60 =90=12=332当 时， ，所以 .=120=30,=1230=33420（）作 于 ,连接 ，POABOC平面 平面 ，且 ， 面 . PABCDPABCDAB面 面 POABCD ， , ，OO又 ， 45又 ,由，得 面 ，又 面 ， . PABPPABP（） 是边长为 的等边三角形，PAB2 如图建立空间坐标系，3,1OOC00,0A设面 的法向量为 ，PBnxyz1,3,1,C，令 ，得0nxzBy3x,31n，
14、 11,3,0APEAP ,0CBDA，设 与面 所成角为43,D EP43sinco, 71619nDE直线 与平面 所成角的正弦值 .PBC3721. 【解析】 （1） 到 定点 的距离与到定直线 的距离相等， (1,0) =1 的轨迹 是一个开口向右的抛物线，且 ， =2 的轨迹方程为 2=4（2）设过 的直线 l 的方程为 ，(4,0) =+4联立 整理得 ，2=4, =+4 2416=0设直线 与抛物线的交点为 ， ， (1,1) (2,2)则有 ， ，1+2=412=16又+=121+4+222+4=121+8+222+8=8232162+64=12，因此 是一个定值，为 +122
15、2.(1)由 得 ， ，12ceac|2RPQF即 |RF解得 ，1c223bac则椭圆 4 分:4xyC(2)设直线 ，:(1)lk设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D (x4，y 4)，M (x0，y 0)，不妨令 ，则 ，且3044由 ，得 ，21243xy2211043xy故 ，设直线 OM 的斜率为 t，则 ，则12120xykxyy0yx34tk由 ，得 ，243ytx32 221434()kxt 2344Cyxkk6 分故点 到直线 的距离之和为,CDAB33442|(1)|(1)|CDkxykxyd8 分3344322|(1)(1)|1-=kxykxyk 28641k由 ，得 ，243(1)ykx22(4)8410kxk从而 ， ，21281223于是222212118411|()434kkkxxx因此2212()|3ABkk四边形 ABCD 的面积 S|()CDABd 10 分22221()861134434(3)1kkkk故 S .12 分6
