1、第一章 3 平均值不等式,第1课时 平均值不等式,学习目标 1.理解并掌握平均值不等式的特征结构. 2.了解平均值不等式的推广. 3.会用平均值不等式解决相关问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 二元平均值不等式,思考 回顾a2b22ab的证明过程，并说明等号成立的条件.,答案 a2b22ab(ab)20，即a2b22ab， 当且仅当ab时，a2b22ab.,梳理 (1)重要不等式 定理1：对任意实数a，b，有a2b2 2ab(当且仅当ab时取“”号). (2)二元平均值不等式 定理2：对任意两个正数a，b，有_(当且仅当 时取 “”号). 定理2的应用：对两个正
2、实数x，y， ()如果它们的和S是定值，则当且仅当 时，它们的积P取得最 值； ()如果它们的积P是定值，则当且仅当 时，它们的和S取得最 值.,ab,xy,大,xy,小,知识点二 三元平均值不等式,思考 类比二元平均值不等式： (a0，b0)，请写出a，b，cR时，三元平均值不等式.,梳理 (1)定理3：对任意三个正数a，b，c，有a3b3c3 3abc(当且仅当abc时取“”号). (2)定理4：对任意三个正数a，b，c，有 (当且仅当abc时取“”号). (3)平均值不等式的推广,算术平均值,几何平均值,题型探究,A. B. C. D.,类型一 平均值不等式成立的条件,答案,解析,解析
3、在中，lg xR，sin x1,1， 不能确定lg x0，sin x0，因此错误；,当且仅当x0时取等号，故正确；,反思与感悟 平均值不等式成立的条件 (1)各项均为正数. (2)当且仅当各项均相等时，“”才能成立.,跟踪训练1 设a，b为实数，且ab0，下列不等式中一定成立的个数是,A.1 B.2 C.3 D.4,当a，b0时，不成立；,当a1，b2时，不成立. 因此，成立，故选B.,答案,解析,类型二 用平均值不等式证明不等式,当且仅当abc时等号成立.,证明,引申探究,证明,当且仅当abc时取等号.,证明,证明,当且仅当abc时等号成立.,反思与感悟 证明不等式的方法 (1)首先观察所要
4、证的式子结构特点及题目所给条件，看是否满足“一正、二定、三相等”的条件.若满足即可利用平均值不等式证明. (2)若题目不满足该条件，则可灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的基本不等式的式子.,跟踪训练2 (1)已知a，b，cR，求证：a4b4c4a2b2b2c2c2a2；,证明,证明 a4b42a2b2， 同理a4c42a2c2，b4c42b2c2， 将以上三个不等式相加，得 a4b4a4c4b4c42a2b22a2c22b2c2， 即a4b4c4a2b2a2c2b2c2， 当且仅当abc时，等号成立.,当且仅当abc时，等号成立.,证明,类型三 证明不等式的技巧“1”的代换,证明,证明 方
5、法一 a，b，c为正实数，且abc1，,方法二 a，b，cR，且abc1，,当且仅当abc时，等号成立.,引申探究,证明,证明 a2b22ab，,证明 a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac， a2b2b2c2a2c22ab2bc2ac， 即2(a2b2c2)2ab2bc2ac， 2(a2b2c2)a2b2c2a2b2c22ab2bc2ac (abc)21，,证明,证明 a2b22ab， 2(a2b2)(ab)2.,证明,反思与感悟 用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明.,证明 a，b
6、，cR且abc1，,由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘,证明,达标检测,1,2,4,3,5,1.下列不等式中，正确的个数是,答案,解析,A.0 B.1 C.2 D.3,1,2,4,3,5,解析 显然不正确；正确；,不正确，如a1，b4.,1,2,4,3,5,2.下列不等式的证明过程正确的是,答案,解析,1,2,4,3,5,解析 对于A，a，b必须同号； 对于B，cos x不一定大于0； 对于C，由x0，,1,2,4,3,5,当且仅当ab2时，等号成立.,答案,解析,1,2,4,3,5,答案,解析,3,故函数的最小值为3.,1,2,4,3,5,证明 a2b22ab， 2(a2b2)a2b22ab(ab)21，,证明,规律与方法,1.应用平均值不等式证明问题时，如果能熟练掌握一些常见结论，可使应用更加灵活快捷.对于二元平均值不等式有以下结论.,(5)a2b2c2abbcca.,2.对于三元平均值不等式有以下结论.,上式中a，b，c均为正数，等号成立的条件均为abc.,本课结束,
