1、综合质量评估(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2014山东高考)设集合 Ax|x1|0，则 n 的最小值为( )32n2A2 B4C6 D8解析：根据算术几何平均不等式可得 n 3 6，故32n2 n2 n2 32n2 3121232选 C.答案：C3设 x0，y0，A ，B ，则 A，B 的大小关系是( )x y1 x y x1 x y1 yAAB BA B解析：通过对式子 B 进行放缩可得 B A，x1 x y1 y x1 x y y1 y x x y1 x y即
2、A2 B| ab|a b|5 时，原不等式可化为 2x210，解得 x 6；当3x5 时，原不等式可化为 810，不成立；当 x1，x 0 时，则 n 与 1 的大小关系为( )(1 x1 x) nx1 xA. n 1 B. n 1(1 x1 x) nx1 x (1 x1 x) nx1 xC. n 1 ，所以 n 1，故选 A.(1 x1 x) nx1 x (1 x1 x) nx1 x答案：A10设 a， b，c0，a 2b 2c 23，则 abbc ca 的最大值为( )A0 B1C3 D.333解析：由排序不等式 a2b 2c 2abbcac ，所以 ab bcca 3.答案：C11用数学
3、归纳法证明“(n 1)(n2)(nn) 2 n13(2n1)(nN *)”时，从nk 到 nk1 时应增添的式子是( )A2k1 B2(2k1)C. D.2k 1k 1 2k 2k 1解析：nk 时，有 f(k)( k1)(k 2) (kk )，nk1 时，有 f(k1) (k2)(k3) (kk )(kk 1)( k k2)，所以 f(k1)f(k )2k 12k 2k 1f(k)2(2k1)答案：B12(2014辽宁高考)已知定义在 0,1上的函数 f(x)满足：f(0)f(1)0；对所有 x，y0,1，且 xy，有| f(x)f (y)|0 时因为(adbc) 20，所以 a2d2b 2
4、c22abcd.所以命题成立三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)若 a2，b3，求 ab 的最小值1a 2b 3解：因为 a2，b3 ，所以 a20 ，b30.所以 ab1a 2b 3(a2)(b3) 51a 2b 33 53583a 2b 3 1a 2b 3(当且仅当 a3，b4 时，等号成立 )所以所求最小值为 8.18(本小题满分 12 分)(2016全国甲卷)已知函数 f(x) ，M 为不等式 f(x)|x 12| |x 12|2 的解集(1)求 M；(2)证明：当 a，bM 时，|ab|1ab|.(1)
5、解：f(x) Error!当 x 时，由 f(x)2 得2x2，解得 x1；12当 x 时，f( x)2；12 12当 x 时，由 f(x)2 得 2x 2，解得 x1.12所以 f(x)2 的解集 Mx |1x1 (2)证明：由(1)知，当 a，bM 时，1a1，1b1，从而(ab) 2(1ab) 2a 2b 2a 2b21(a 21)(1b 2)0.因此|a b|1ab|.19(本小题满分 12 分)(2014福建高考)已知定义在 R 上的函数 f(x)|x1| |x2|的最小值为 a.(1)求 a 的值(2)若 p，q，r 是正实数，且满足 pqra，求证：p 2 q2r 23.(1)解
6、：因为|x 1|x2|(x 1) (x2)|3，当且仅当1x2 时，等号成立，所以 f(x)的最小值等于 3，即 a3.(2)证明：由(1)知 pqr3 ，又因为 p，q，r 是正实数，所以(p 2q 2r 2)(121 21 2)( p1q1r1) 2(pqr) 29，即 p2q 2r 23.20(本小题满分 12 分)(2016全国丙卷)已知函数 f(x)|2 xa| a.(1)当 a2 时，求不等式 f(x)6 的解集；(2)设函数 g(x)|2x1| ，当 xR 时，f(x)g( x)3，求 a 的取值范围解：(1)当 a2 时，f (x)|2x2| 2.解不等式|2x2|26 得1x
7、3.因此 f(x)6 的解集为x |1x3(2)当 xR 时，f(x)g(x )|2xa| a|12x| |2xa12x| a|1a|a，当 x 时等号成立，所以当 xR 时，f(x)g(x) 3 等价于|1 a|a3.12当 a1 时，等价于 1aa3，无解当 a1 时，等价于 a1a3，解得 a2.所以 a 的取值范围是2， )21(本小题满分 12 分)把一条长是 m 的绳子截成三段，各围成一个正方形怎样截能使得这三个正方形的面积的和最小？解：设三段的长度为 x，y ，z.那么，x yzm 是一个定值三个正方形的面积的和为S 2 2 2 (x2y 2z 2)(x4) (y4) (z4)
8、116而 S 和 16Sx 2y 2z 2同时有最小值由柯西不等式(xaybzc )2 (x2y 2z 2)(a2b 2c 2)，使 abc1，可得(xyz) 23(x 2y 2z 2)，因为左边(xyz) 2m 2，是一个定值，所以，在 xy z 时，3( x2y 2z 2)有最小值这就是说，把绳子三等分后，这三段所围成的三个正方形的面积的和最小22(本小题满分 12 分)已知a n是等差数列，其前 n 项和为 Sn，b n是等比数列，且a1b 12，a 4b 427，S 4b 410.(1)求数列a n与b n的通项公式(2)记 Tna nb1a n1 b2 a1bn，nN *，求证：T
9、n12 2a n10b n(nN *)(1)解：设等差数列a n的公差为 d，等比数列 bn的公比为 q.由 a1b 12，得 a423d，b 42q 3，S 486d.由条件，得方程组Error!解得Error!所以 an3n1，b n2 n，nN *.(2)证明：方法一：由(1)得 Tn2a n2 2an1 2 3an2 2 na1， 2Tn2 2an2 3an1 2 na22 n1 a1. 由得，T n2(3n1)32 232 332 n2 n2 2 n2 6n22(3 n1)121 2n 11 2102 n12，即 Tn122a n10b n.方法二：() 当 n1 时，T 112a 1b11216，2a 110b 116，故等式成立()假设当 nk 时等式成立，即 Tk122a k10b k，则当 nk1 时有：Tk1 a k1 b1a kb2a k1 b3a 1bk1a k1 b1q(a kb1a k1 b2a 1bk)a k1 b1qT ka k1 b1q( 2ak10b k12)2a k1 4( ak1 3)10b k1 242a k1 10 bk1 12，即 Tk1 122a k1 10b k1 .因此 nk1 时等式也成立由()和() ，可知对任意 nN *，T n122a n10b n成立
