2018-2019学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入课件（打包5套）苏教版选修1-2.zip

3.1 数系的扩充第 3章 数系的扩充与复数的引入学习目标1.了解引进虚数单位 i的必要性，了解数集的扩充过程 .2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念 .3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件 .问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学思考 为解决方程 x2＝ 2在有理数范围内无解的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程 x2＋ 1＝ 0在实数系中无根的问题呢？知识点一 复数的概念及代数表示答案 设想引入新数 i，使 i是方程 x2＋ 1＝ 0的根，即 i·i＝－ 1，则方程 x2＋ 1＝ 0有解，同时得到一些新数 .梳理 (1)虚数单位 i引入一个新数 i，叫做 ，并规定：① i2＝ .② 可以与 i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立 .(2)复数的概念形如 的数叫做复数 . 所组成的集合叫做复数集，记作 C.(3)复数的代数形式复数通常用字母 z表示，即 z＝ ，其中 a与 b分别叫做复数 z的与 .虚数单位－ 1实数a＋ bi(a， b∈ R) 全体复数a＋ bi(a， b∈ R)实部 虚部1.复数 (a＋ bi， a， b∈ R)2.集合表示：知识点二 复数的分类思考 1 由 42能否推出 4＋ i2＋ i?知识点三 两个复数相等的充要条件答案 不能 .当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小 .思考 2 两个复数能不能判断相等或不等呢？答案 能 .梳理 在复数集 C＝ {a＋ bi|a， b∈ R}中任取两个数 a＋ bi， c＋ di (a， b， c， d∈ R)，我们规定： a＋ bi与 c＋ di相等的充要条件是 .a＝ c且 b＝ d[思考辨析 判断正误 ]1.复数 z＝ 3i－ ，则它的实部是 3，虚部是－ .( )2.实部为零的复数一定是纯虚数 .( )3.若复数 z＝ m＋ ni，则 m， n一定是复数 z的实部和虚部 .( )4.若两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0，那么这两个复数相等 .( )×××√题型探究类型一 复数的概念例 1 (1)给出下列命题：① 若 z∈ C，则 z2≥0；② 2i－ 1虚部是 2i；③ 2i的实部是 0；④ 若实数 a与 ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；⑤ 实数集的补集是虚数集 .其中真命题的序号为 ________.解析 令 z＝ i∈ C，则 i2＝－ 10，故 ① 不正确；② 中 2i－ 1的虚部应是 2，故 ② 不正确；④ 当 a＝ 0时， ai＝ 0为实数，故 ④ 不正确；∴ 只有 ③⑤ 正确 .③⑤答案解析(2)已知复数 z＝ a2－ (2－ b)i的实部和虚部分别是 2和 3，则实数 a， b的值分别是 ________.答案解析反思与感悟 (1)复数的代数形式：若 z＝ a＋ bi，只有当 a， b∈ R时， a才是 z的实部， b才是 z的虚部，且注意虚部不是 bi，而是 b.(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分 .(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照 “先特殊，后一般，先否定，后肯定 ”的方法进行解答 .跟踪训练 1 下列命题：① 1＋ i2＝ 0；② 若 a∈ R，则 (a＋ 1)i为纯虚数；③ 若 x2＋ y2＝ 0，则 x＝ y＝ 0；④ 两个虚数不能比较大小 .是真命题的为 ________.(填序号 )解析 ② 当 a＝－ 1时， (a＋ 1)i＝ 0，所以 ② 错；③ 当 x＝ i， y＝ 1时， x2＋ y2＝ 0，所以 ③ 错 .①④ 正确 .答案解析①④类型二 复数的分类解答∴ 当 m≠ － 3且 m≠ － 2时，复数 z是虚数 .解答∴ 当 m＝ 3时，复数 z是纯虚数 .(2)纯虚数 .解答∴ 当 m＝－ 2时，复数 z是实数 .引申探究1.若本例条件不变， m为何值时， z为实数 .答案解得 m＝ 3或－ 2.m＝ ________时， z为纯虚数 .3或－ 2解析反思与感悟 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数 .解答即 m－ 1≠0，解得 m＝－ 3.(2)虚数；即 m－ 1≠0，解得 m＝－ 3.解答(3)纯虚数 .解得 m＝ 0或 m＝－ 2.类型三 复数相等例 3 已知 M＝ {1， (m2－ 2m)＋ (m2＋ m－ 2)i}， P＝ {－ 1,1,4i}，若 M∪ P＝P，求实数 m的值 .解 ∵ M＝ {1， (m2－ 2m)＋ (m2＋ m－ 2)i}，P＝ {－ 1,1,4i}，且 M∪ P＝ P，∴ M￿ P，即 (m2－ 2m)＋ (m2＋ m－ 2)i＝－ 1，或 (m2－ 2m)＋ (m2＋ m－ 2)i＝ 4i.∴m ＝ 1或 m＝ 2.解答反思与感悟 (1)一般地，两个复数只能相等或不相等，不能比较大小 .(2)复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据，是复数问题实数化的桥梁纽带 .(3)必须在代数形式下确定实部、虚部后才可应用 .跟踪训练 3 (1)已知 x0是关于 x的方程 x2－ (2i－ 1)x＋ 3m－ i＝ 0(m∈ R)的实根，则 m的值是 ____.答案解析(2)已知 A＝ {1,2， a2－ 3a－ 1＋ (a2－ 5a－ 6)i}， B＝ {－ 1,3}， A∩B＝ {3}，求实数 a的值 .解答解 由题意知， a2－ 3a－ 1＋ (a2－ 5a－ 6)i＝ 3(a∈ R)，所以 a＝－ 1.达标检测1.已知复数 z＝ a＋ (a2－ 1)i是实数，则实数 a的值为 ________.答案1 2 3 4 51或－ 1解析解析 a2－ 1＝ 0， ∴ a＝ ±1.1 2 3 4 52.若 (x2－ 1)＋ (x2＋ 3x＋ 2)i是纯虚数，则实数 x＝ ___.答案1解析解析 因为 (x2－ 1)＋ (x2＋ 3x＋ 2)i是纯虚数，所以 x2－ 1＝ 0且 x2＋ 3x＋ 2≠0，解得 x＝ 1.3.下列几个命题：① 两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；② 两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；③ 1－ ai(a∈ R)是一个复数；④ 虚数的平方不小于 0；⑤ － 1的平方根只有一个，即为－ i；⑥ i是方程 x4－ 1＝ 0的一个根；⑦ i是一个无理数 .其中真命题的序号为 __________.①②③⑥解析 命题 ①②③⑥ 正确， ④⑤⑦ 错误 .答案解析1 2 3 4 5第 1课时 复数的加法、减法、乘法运算第 3章 3.2 复数的四则运算学习目标1.掌握复数代数形式的加减运算 .2.理解复数乘法运算法则，能进行复数的乘法运算 .3.掌握共轭复数的概念及应用 .问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学思考 1 类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？知识点一 复数的加减运算答案 两个复数相加 (减 )就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加 (减 )，即 (a＋ bi)±(c＋ di)＝ (a±c)＋ (b±d)i(a， b， c， d∈ R).思考 2 复数的加法满足交换律和结合律吗？答案 满足 .梳理 (1)运算法则设 z1＝ a＋ bi， z2＝ c＋ di(a， b， c， d∈ R)是任意两个复数，那么 (a＋ bi)＋ (c＋ di)＝ ， (a＋ bi)－ (c＋ di)＝ .(2)加法运算律对任意 z1， z2， z3∈ C，有 z1＋ z2＝ ， (z1＋ z2)＋ z3＝ .(a＋ c)＋ (b＋ d)i (a－ c)＋ (b－ d)iz2＋ z1 z1＋ (z2＋ z3)知识点二 复数的乘法运算思考 复数的乘法与实数的乘法有何联系与区别？答案 复数的乘法类似于多项式的乘法，相当于把复数的代数形式看成关于 “i”的多项式，运算过程中要把 i2换成－ 1，然后把实部与虚部分别合并 .梳理 (1)复数的乘法法则设 z1＝ a＋ bi， z2＝ c＋ di(a， b， c， d∈ R)，z1z2＝ (a＋ bi)(c＋ di)＝ ＋ (ad＋ bc)i.(2)乘法运算律对于任意 z1， z2， z3∈ C，有(ac－ bd)交换律 z1z2＝ z2z1结合律 (z1z2)z3＝ z1(z2z3)乘法对加法的分配律 z1(z2＋ z3)＝ z1z2＋ z1z3思考 复数 3＋ 4i与 3－ 4i， a＋ bi与 a－ bi(a， b∈ R)有什么特点？知识点三 共轭复数答案 这两组复数的特点： ① 实部相等， ② 虚部互为相反数 .梳理 (1)把实部 、虚部 的两个复数叫做互为共轭复数 .(2)复数 z＝ a＋ bi(a， b∈ R)的共轭复数记作 ，即 ＝ a－ bi.(3)当复数 z＝ a＋ bi(a， b∈ R)的虚部 b＝ 0时， z＝ ，也就是说，实数的共轭复数仍是 .相等 互为相反数它本身[思考辨析 判断正误 ]1.两个实数的和、差、积仍是实数，两个虚数的和、差、积仍是虚数 .( )2.任意有限个复数的含加、减、乘法的混合运算中，应先进行乘法，再进行加、减法，有括号时先算括号内的 .( )3.两个互为共轭复数的和是实数，差是纯虚数 .( )√××题型探究类型一 复数的加减运算例 1 计算：(1)(3＋ 5i)＋ (3－ 4i)；解 (3＋ 5i)＋ (3－ 4i)＝ (3＋ 3)＋ (5－ 4)i＝ 6＋ i.解答(2)(－ 3＋ 2i)－ (4－ 5i)；解 (－ 3＋ 2i)－ (4－ 5i)＝ (－ 3－ 4)＋ [2－ (－ 5)]i＝－ 7＋ 7i.(3)(5－ 5i)＋ (－ 2－ 2i)－ (3＋ 3i).解 (5－ 5i)＋ (－ 2－ 2i)－ (3＋ 3i)＝ (5－ 2－ 3)＋ [－ 5＋ (－ 2)－ 3]i＝－ 10i.反思与感悟 复数加减运算法则的记忆方法(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减 .(2)把 i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项 .跟踪训练 1 (1)计算： (5－ 6i)＋ (－ 2－ i)－ (3＋ 4i)；解答解 (5－ 6i)＋ (－ 2－ i)－ (3＋ 4i)＝ [(5－ 2)＋ (－ 6－ 1)i]－ (3＋ 4i)＝ (3－ 7i)－ (3＋ 4i)＝ (3－ 3)＋ (－ 7－ 4)i＝－ 11i.(2)已知复数 z满足 z＋ 1－ 3i＝ 5－ 2i，求 z.解 由 z＋ 1－ 3i＝ 5－ 2i，得z＝ (5－ 2i)－ (1－ 3i)＝ (5－ 1)＋ (－ 2＋ 3)i＝ 4＋ i.类型二 复数的乘法解答解 (1－ i)(1＋ i)＋ (－ 1＋ i)＝ 1－ i2－ 1＋ i＝ 1＋ i.例 2 计算：(1)(1－ i)(1＋ i)＋ (－ 1＋ i)；解 (2－ i)(－ 1＋ 5i)(3－ 4i)＋ 2i＝ (－ 2＋ 10i＋ i－ 5i2)(3－ 4i)＋ 2i＝ (－ 2＋ 11i＋ 5)(3－ 4i)＋ 2i＝ (3＋ 11i)(3－ 4i)＋ 2i＝ (9－ 12i＋ 33i－ 44i2)＋ 2i＝ 53＋ 21i＋ 2i＝ 53＋ 23i.(2)(2－ i)(－ 1＋ 5i)(3－ 4i)＋ 2i.反思与感悟 (1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算 .混合运算的顺序与实数的运算顺序一样 .(2)平方差公式、完全平方公式等在复数范围内仍然成立 .一些常见的结论要熟悉： i2＝－ 1， (1±i)2＝ ±2i.答案跟踪训练 2 若复数 (m2＋ i)(1＋ mi)是实数，则实数 m＝ ____.解析 ∵ (m2＋ i)(1＋ mi)＝ m2－ m＋ (m3＋ 1)i是实数，∴ m3＋ 1＝ 0，则 m＝－ 1.－ 1解析类型三 共轭复数的概念∴x2 ＋ y2＋ 2i(x＋ yi)＝ 4＋ 2i，因此 (x2＋ y2－ 2y)＋ 2xi＝ 4＋ 2i，∴z ＝ 1＋ 3i或 z＝ 1－ i.解答反思与感悟 (1)有关复数 z及其共轭复数的题目，注意共轭复数的性质：① 设 z＝ a＋ bi(a， b∈ R)，则 z· ＝ a2＋ b2.② z∈ R⇔ z＝ .(2)紧紧抓住复数相等的充要条件，把复数问题转化成实数问题是解决本题的关键，正确熟练地进行复数运算是解题的基础 .解答解 设 z＝ a＋ bi(a， b∈ R)，由题意得 (a＋ bi)(a－ bi)－ 3i(a－ bi)＝ 1＋ 3i，即 a2＋ b2－ 3b－ 3ai＝ 1＋ 3i，所以 z＝－ 1或 z＝－ 1＋ 3i.达标检测答案1 2 3 4 5 解析11 2 3 4 52.已知 i是虚数单位，则 (－ 1＋ i)(2－ i)＝ ________.答案－ 1＋ 3i解析解析 (－ 1＋ i)(2－ i)＝－ 2＋ 3i－ i2＝－ 1＋ 3i.3.若复数 z满足 z＋ (2－ 3i)＝－ 1＋ 2i，则 z＋ 2－ 5i＝ ______.－ 1解析 ∵ z＝－ 1＋ 2i－ 2＋ 3i＝－ 3＋ 5i，∴ z＋ 2－ 5i＝－ 3＋ 5i＋ 2－ 5i＝－ 1.答案解析1 2 3 4 5答案1 2 3 4 54.设复数 z1＝ x＋ 2i， z2＝ 3－ yi(x， y∈ R)，若 z1＋ z2＝ 5－ 6i，则 z1－ z2＝________.－ 1＋ 10i解析解析 ∵ z1＋ z2＝ x＋ 2i＋ (3－ yi)＝ (x＋ 3)＋ (2－ y)i，∴ (x＋ 3)＋ (2－ y)i＝ 5－ 6i(x， y∈ R)，由复数相等的定义，得 x＝ 2且 y＝ 8，∴ z1－ z2＝ 2＋ 2i－ (3－ 8i)＝－ 1＋ 10i.1 2 3 4 55.复数 z1＝ a＋ 4i， z2＝－ 3＋ bi，若它们的和 z1＋ z2为实数，差 z1－ z2为纯虚数，则 a， b的值分别为 __________.答案－ 3，－ 4解析解析 ∵ z1＋ z2＝ a－ 3＋ (4＋ b)i为实数，∴ 4＋ b＝ 0，即 b＝－ 4.又 z1－ z2＝ (a＋ 3)＋ (4－ b)i为纯虚数，∴ a＋ 3＝ 0且 4－ b≠0， ∴ a＝－ 3.1.复数的加减运算把复数的代数形式 z＝ a＋ bi(a， b∈ R)看作关于 “i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法运算，只需要 “合并同类项 ”就行，不需要记加法、减法法则 .2.两个复数的和 (差 )是复数，但两个虚数的和 (差 )不一定是虚数，例如 (3－2i)＋ 2i＝ 3.3.复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－ 1，再把实部、虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数 .规律与方法4.理解共轭复数的性质(2)当 a， b∈ R时，有 a2＋ b2＝ (a＋ bi)(a－ bi)，这是虚数问题实数化的一个重要依据 .本课结束第 2课时 复数的乘方与除法运算第 3章 3.2 复数的四则运算学习目标1.进一步熟练掌握复数的乘法运算，了解正整数指数幂的运算律在复数范围内仍成立 .2.理解复数商的定义，能够进行复数除法运算 .3.了解 i的幂的周期性 .问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学思考 计算 i5， i6， i7， i8的值，你能推测 in(n∈ N*)的值有什么规律吗？知识点一 复数的乘方与 in(n∈ N*)的周期性答案 i5＝ i， i6＝－ 1， i7＝－ i， i8＝ 1，推测 i4n＋ 1＝ i， i4n＋ 2＝－ 1，i4n＋ 3＝－ i， i4n＝ 1(n∈ N*).梳理 (1)复数范围内正整数指数幂的运算性质对任意复数 z， z1， z2和 m， n∈ N*，有① zm·zn＝ .② (zm)n＝ .③ (z1·z2)n＝ .(2)虚数单位 i的乘方： in(n∈ N*)的周期性i4n＝ ___， i4n＋ 1＝ ___， i4n＋ 2＝ ， i4n＋ 3＝ .zm＋ nzmn1 i － 1 － i知识点二 复数的除法思考 如何规定两复数 z1＝ a＋ bi， z2＝ c＋ di(a， b， c， d∈ R， c＋ di≠0)相除？[思考辨析 判断正误 ]1.两个复数的积与商一定是虚数 .( )2.复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减 .( )√×题型探究类型一 i的运算特征例 1 计算下列各式的值 .(1)1＋ i＋ i2＋ … ＋ i2 015＋ i2 016；解答＝ (2i)1 007＋ (－ 2i)1 007＝ 21 007i3－ 21 007i3＝ 0.反思与感悟 (1)虚数单位 i的性质① i4n＝ 1， i4n＋ 1＝ i， i4n＋ 2＝－ 1， i4n＋ 3＝－ i(n∈ N*).② i4n＋ i4n＋ 1＋ i4n＋ 2＋ i4n＋ 3＝ 0(n∈ N*).(2)复数的乘方运算，要充分使用 (1＋ i)2＝ 2i， (1－ i)2＝－ 2i， ＝－ i及乘方运算律简化运算 .解答＝ i2＋ (4i)4－ i25＝－ 1＋ 256－ i＝ 255－ i.类型二 复数的除法运算1＋ i答案解析解答反思与感悟 复数除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，若分母为纯虚数，则只需同乘以 i.答案解析－ 1类型三 复数四则运算的综合应用例 3 计算：解答解答反思与感悟 (1)进行复数四则混合运算时，要先算乘方，再算乘除，最后计算加减 .(2)复数乘法、除法运算中注意一些结论的应用解答达标检测答案1 2 3 4 5 解析01 2 3 4 5 答案解析由题意知 2－ 2b－ (b＋ 4)＝ 0，则 z100＋ z50＋ 1＝ (z2)50＋ (z2)25＋ 1＝ i50＋ i25＋ 1＝－ 1＋ i＋ 1＝ i.答案解析1 2 3 4 5i答案1 2 3 4 5 解析化简得 5a2－ 5＝ 3a2＋ 3，所以 a2＝ 4，则 a＝ ±2.－ 21 2 3 4 5 答案解析2i1.熟练掌握乘除法运算法则 .求解运算时要灵活运用 in的周期性 .此外，实数运算中的平方差公式、完全平方公式在复数运算中仍然成立 .2.在进行复数四则运算时，我们既要做到会做、会解，更要做到快速解答 .规律与方法提高计算速度且不易出错 .3.在进行复数运算时，要理解好 i的性质，切记不要出现 “i2＝ 1”， “i4＝－1”等错误 .本课结束3.3 复数的几何意义第 3章 数系的扩充与复数的引入学习目标1.了解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系 .2.掌握实轴、虚轴、模等概念 .3.理解向量加法、减法的几何意义，能用几何意义解决一些简单问题 .问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学思考 实数可用数轴上的点来表示，平面向量可以用坐标表示，类比一下，复数怎样来表示呢？知识点一 复平面答案 任何一个复数 z＝ a＋ bi，都和一个有序实数对 (a， b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系 .梳理 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 ， x轴叫做 ，y轴叫做 .实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 .复平面 实轴虚轴知识点二 复数的几何意义1.复数与点、向量间的对应关系Z(a,b)2.复数的模复数 z＝ a＋ bi(a， b∈ R)，对应的向量为 ，则向量 的模叫做复数 z＝a＋ bi的模 (或绝对值 )，记作 或 .由模的定义可知： |z|＝ |a＋ bi|＝.|z| |a＋ bi|思考 1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？知识点三 复数加、减法的几何意义思考 2 怎样作出与复数 z1－ z2对应的向量？答案 z1－ z2可以看作 z1＋ (－ z2).因为复数的加法可以按照向量的加法来进行 .所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与 z1－ z2对应的向量 (如图 ).复数加法的几何意义 复数减法的几何意义 梳理 (1)复数加减法的几何意义(2)设 z1＝ a＋ bi， z2＝ c＋ di(a， b， c， d∈ R)，则 |z1－ z2|＝ ，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的 .距离[思考辨析 判断正误 ]1.原点是实轴和虚轴的交点 .( )2.在复平面内，对应于实数的点都在实轴上 .( )3.在复平面内，虚轴上的点构对应的复数都是纯虚数 .( )4.复数的模一定是正实数 .( )√××√题型探究类型一 复数的几何意义例 1 实数 x分别取什么值时，复数 z＝ (x2＋ x－ 6)＋ (x2－ 2x－ 15)i对应的点 Z在：(1)第三象限；解答即当－ 3x2时，点 Z在第三象限 .解 因为 x是实数，所以 x2＋ x－ 6， x2－ 2x－ 15也是实数 .(2)直线 x－ y－ 3＝ 0上 .解答解 z＝ x2＋ x－ 6＋ (x2－ 2x－ 15)i对应点的坐标为 Z(x2＋ x－ 6， x2－ 2x－15)，当实数 x满足 (x2＋ x－ 6)－ (x2－ 2x－ 15)－ 3＝ 0，即当 x＝－ 2时，点 Z在直线 x－ y－ 3＝ 0上 .引申探究 若本例中的条件不变，其对应的点在：(1)虚轴上；解答解 当实数 x满足 x2＋ x－ 6＝ 0，即当 x＝－ 3或 2时，点 Z在虚轴上 .(2)第四象限 .即当 2x5时，点 Z在第四象限 .反思与感悟 按照复数和复平面内所有点构成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值 .解答即－ 7m3.故当－ 7m3时，复数 z的对应点位于第四象限 .跟踪训练 1 求当实数 m为何值时，复数 z＝ (m2－ 8m＋ 15)＋ (m2＋ 3m－28)i在复平面内的对应点分别满足下列条件：(1)位于第四象限；解答由 ② 得 m＝－ 7或 m＝ 4.因为 m＝－ 7不适合不等式 ① ， m＝ 4适合不等式 ① ，所以 m＝ 4.故当 m＝ 4时，复数 z的对应点位于 x轴的负半轴上 .(2)位于 x轴的负半轴上？类型二 复数模及其几何意义的应用(1)求 |z1|及 |z2|的值；答案解答(2)设 z∈ C，满足 |z2|≤|z|≤|z1|的点 z的集合是什么图形？解 由 (1)知 1≤|z|≤2，因为不等式 |z|≥1的解集是圆 |z|＝ 1上和该圆外部所有点组成的集合，不等式 |z|≤2的解集是圆 |z|＝ 2上和该圆内部所有点组成的集合，所以满足条件 1≤|z|≤2的点 Z的集合是以原点 O为圆心，以 1和 2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示 .反思与感悟 (1)在计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小 .(2)复数的模表示该复数在复平面内对应的点到原点的距离 .解答跟踪训练 2 设 z为复数，且 |z|＝ |z＋ 1|＝ 1，求 |z－ 1|的值 .解 设 z＝ a＋ bi(a， b∈ R).∵ z＋ 1＝ (a＋ 1)＋ bi，且 |z|＝ |z＋ 1|＝ 1，类型三 复数加、减法的几何意义例 3 如图所示，平行四边形 OABC的顶点 O， A， C分别对应的复数为 0，3＋ 2i，－ 2＋ 4i.解答解 因为 A， C对应的复数分别为 3＋ 2i，－ 2＋ 4i，解答反思与感悟 (1)常用技巧① 形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理 .② 数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中 .(2)常见结论：在复平面内， z1， z2对应的点分别为 A， B， z1＋ z2对应的点为 C， O为坐标原点，则① 四边形 OACB为平行四边形 .② 若 |z1＋ z2|＝ |z1－ z2|，则四边形 OACB为矩形 .③ 若 |z1|＝ |z2|，则四边形 OACB为菱形 .④ 若 |z1|＝ |z2|且 |z1＋ z2|＝ |z1－ z2|，则四边形 OACB为正方形 .答案解析答案解析 z2－ z1＝ 1＋ (a－ 1)i，由题意知 a－ 10，即 a1.解析(－ ∞， 1)达标检测答案1 2 3 4 5 解析－ 3i∴Z(0 ，－ 3)，复数 z＝ 0＋ (－ 3)i＝－ 3i.章末复习第 3章 数系的扩充与复数的引入学习目标1.掌握复数的有关概念及复数相等的充要条件 .2.理解复数的几何意义 .3.掌握复数的相关运算 .知识梳理达标检测题型探究内容索引知识梳理1.复数的有关概念(1)复数的概念：形如 a＋ bi(a， b∈ R)的数叫做复数，其中 a， b分别是它的和 .若 b＝ 0，则 a＋ bi为实数，若 ，则 a＋ bi为虚数，若 _____，则 a＋ bi为纯虚数 .(2)复数相等： a＋ bi＝ c＋ di⇔ (a， b， c， d∈ R).(3)共轭复数： a＋ bi与 c＋ di共轭 ⇔ (a， b， c， d∈ R).(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 . 叫做实轴，叫做虚轴 .实轴上的点都表示 ；除了原点外，虚轴上的点都表示；各象限内的点都表示非纯虚数 . (5)复数的模：向量 的模叫做复数 z＝ a＋ bi的模，记作 或 ，即|z|＝ |a＋ bi|＝ (a， b∈ R).实部 虚部 b≠0 a＝ 0且 b≠0a＝ c且 b＝ da＝ c， b＋ d＝ 0x轴y轴 实数纯虚数|z| |a＋ bi|2.复数的几何意义(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任意 z1， z2， z3∈ C，有 z1＋ z2＝ ，(z1＋ z2)＋ z3＝ .3.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设 z1＝ a＋ bi， z2＝ c＋ di(a， b， c， d∈ R)，则① 加法： z1＋ z2＝ (a＋ bi)＋ (c＋ di)＝ ；② 减法： z1－ z2＝ (a＋ bi)－ (c＋ di)＝ ；③ 乘法： z1·z2＝ (a＋ bi)·(c＋ di)＝ ；(a＋ c)＋ (b＋ d)i(a－ c)＋ (b－ d)i(ac－ bd)＋ (ad＋ bc)iz2＋ z1z1＋ (z2＋ z3)题型探究a的值：(1)z是实数；类型一 复数的概念解 由 a2－ a－ 6＝ 0，解得 a＝－ 2或 a＝ 3.由 a2＋ 2a－ 15＝ 0，解得 a＝－ 5或 a＝ 3.由 a2－ 4≠0，解得 a≠±2.由 a2＋ 2a－ 15＝ 0且 a2－ 4≠0，得 a＝－ 5或 a＝ 3，∴ 当 a＝－ 5或 a＝ 3时， z为实数 . 解答(2)z是虚数 .解 由 a2＋ 2a－ 15≠0且 a2－ 4≠0，得 a≠－ 5且 a≠3且 a≠±2，∴ 当 a≠－ 5且 a≠3且 a≠±2时， z是虚数 .解答引申探究 本例中条件不变，若 z为纯虚数，是否存在这样的实数 a，若存在，求出 a，若不存在，请说明理由 .解 由 a2－ a－ 6＝ 0，且 a2＋ 2a－ 15≠0，且 a2－ 4≠0，得 a无解，∴ 不存在实数 a，使 z为纯虚数 .解答反思与感悟 (1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念 (如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模 )的前提 .(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据 .跟踪训练 1 (1)已知 i是虚数单位，若 (m＋ i)2＝ 3－ 4i，则实数 m的值为____.解析 (m＋ i)2＝ (m2－ 1)＋ 2mi＝ 3－ 4i，－ 2答案解析(2)下列说法：① 复数 z是实数的充要条件是 z＝ ；② 若 (x2－ 4)＋ (x2＋ 3x＋ 2)i是纯虚数，则实数 x＝ ±2；③ 实数集是复数集的真子集 .其中正确说法的个数是 ____.解 设 z＝ a＋ bi， a， b∈ R，则 ＝ a－ bi，z＝ 时，得 b＝ 0， z为实数； z为实数则 b＝ 0，有 z＝ 成立，所以 ① 正确；对于 ② ，若 x＝－ 2，则 x2－ 4＝ 0， x2＋ 3x＋ 2＝ 0，此时 (x2－ 4)＋ (x2＋ 3x＋ 2)i＝ 0，不是纯虚数，故 ② 错误；显然 ③ 正确 .2答案解析(1)求复数 z；类型二 复数的运算解 设 z＝ a＋ bi(a， b∈ R)，∴ z－ 3i＝ a＋ (b－ 3)i为实数，可得 b＝ 3.解答∴a ＝－ 1，即 z＝－ 1＋ 3i.解答反思与感悟 复数的综合运算中会涉及模、共轭及分类等，求 z时要注意是把 z看作一个整体还是设为代数形式应用方程思想 .当 z是实数或纯虚数时注意常见结论的应用 .解 z1＝ z2(2＋ i)，(3＋ i)z1＝ z2(2＋ i)(3＋ i)＝ z2(5＋ 5i)∈ R，解答所以 z2(5＋ 5i)＝ ±50，例 3 (1)已知等腰梯形 OABC的顶点 A， B在复平面上对应的复数分别为 1＋ 2i，－ 2＋ 6i， OA∥ CB，求顶点 C所对应的复数 z.类型三 复数的几何意义解 设 z＝ x＋ yi， x， y∈ R，则顶点 C的坐标为 (x， y).如图，因为 OA∥ BC，所以 kOA＝ kBC， OC＝ BA，解答解答反思与感悟 (1)任意一个复数都对应着一个点和一个向量，因而复数的加减运算可以转化为总的坐标运算或向量运算 .(2)求复数模可以计算它对应的向量的模，也可以计算它对应的点到原点的距离 .解 由题意得 z＝ z2－ z1＝－ cos2θ－ sin2θ＋ (cos 2θ－ 1)i＝－ 1－ 2sin2θ·i.解答跟踪训练 3 已知复平面内点 A， B对应的复数分别是 z1＝ sin2θ＋ i， z2＝－ cos2θ＋ icos 2θ，其中 θ∈ (0， π)，设 对应的复数为 z.(1)求复数 z；解 由 (1)知，点 P的坐标为 (－ 1，－ 2sin2θ).解答达标检测答案解析1 2 3 4 5答案解析1 2 3 4 51－ 3i1 2 3 4 5 解析 答案3.若复数 z满足 (3－ 4i)z＝ |4＋ 3i|，则 z的虚部为 ____.4.若 z是复数，且 (3＋ z)i＝ 1(i为虚数单位 )，则 z＝ ______.－ 3－ i答案解析1 2 3 4 5所以点 D对应的复数为 z＝ 3＋ 3i.答案1 2 3 4 5 解析1.复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化 .2.复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现 .3.利用两个复数相等可以解决求参数值 (或范围 )和复数方程等问题 .规律与方法