2018-2019学年高中数学 第二章 推理与证明学案（打包7套）苏教版选修1-2.zip

1第 1 课时 归纳推理学习目标 1.了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理.2.了解归纳推理在数学发现中的作用．知识点一 推理1．推理的定义从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．2．推理的组成任何推理都包含前提和结论两个部分，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么．知识点二 归纳推理思考 (1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．(2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体．以上属于什么推理？答案 属于归纳推理．符合归纳推理的定义特征，即由部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理．梳理 (1)归纳推理的定义从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理．(2)归纳推理的思维过程大致如图― → ― →实 验 、 观 察 概 括 、 推 广 猜 测 一 般 性 结 论(3)归纳推理的特点①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑推理和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具．③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．1．由个别到一般的推理为归纳推理．( √ )2．归纳的前提是特殊现象，归纳是立足于观察或实验的基础上的，结论一定正确．( × )2类型一 数列中的归纳推理例 1 已知 f(x)＝ ，设 f1(x)＝ f(x)， fn(x)＝ fn－1 (fn－1 (x))(n1，且 n∈N *)，则 f3(x)x1－ x的表达式为________，猜想 fn(x)(n∈N *)的表达式为________．答案 f3(x)＝ fn(x)＝x1－ 4x x1－ 2n－ 1x解析 ∵ f(x)＝ ，∴ f1(x)＝ .x1－ x x1－ x又∵ fn(x)＝ fn－1 (fn－1 (x))，∴ f2(x)＝ f1(f1(x))＝ ＝ ，x1－ x1－ x1－ x x1－ 2xf3(x)＝ f2(f2(x))＝ ＝ ，x1－ 2x1－ 2× x1－ 2x x1－ 4xf4(x)＝ f3(f3(x))＝ ＝ ，x1－ 4x1－ 4× x1－ 4x x1－ 8xf5(x)＝ f4(f4(x))＝ ＝ ，x1－ 8x1－ 8× x1－ 8x x1－ 16x∴根据前几项可以猜想 fn(x)＝ .x1－ 2n－ 1x引申探究 在本例中，若把“ fn(x)＝ fn－1 (fn－1 (x))”改为“ fn(x)＝ f(fn－1 (x))”，其他条件不变，试猜想 fn(x)(n∈N *)的表达式．解 ∵ f(x)＝ ，∴ f1(x)＝ .x1－ x x1－ x又∵ fn(x)＝ f(fn－1 (x))，∴ f2(x)＝ f(f1(x))＝ ＝ ，x1－ x1－ x1－ x x1－ 2x3f3(x)＝ f(f2(x))＝ ＝ ，x1－ 2x1－ x1－ 2x x1－ 3xf4(x)＝ f(f3(x))＝ ＝ .x1－ 3x1－ x1－ 3x x1－ 4x因此，可以猜想 fn(x)＝ .x1－ nx反思与感悟 在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前 n 项和．(1)通过已知条件求出数列的前几项或前 n 项和．(2)根据数列中的前几项或前 n 项和与对应序号之间的关系求解．(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前 n 项和公式．跟踪训练 1 已知数列{ an}的前 n 项和为 Sn， a1＝－ ，且 Sn＋ ＋2＝ an(n≥2)，计算23 1SnS1， S2， S3， S4，并猜想 Sn的表达式．解 当 n＝1 时， S1＝ a1＝－ ；23当 n＝2 时， ＝－2－ S1＝－ ，所以 S2＝－ ；1S2 43 34当 n＝3 时， ＝－2－ S2＝－ ，所以 S3＝－ ；1S3 54 45当 n＝4 时， ＝－2－ S3＝－ ，所以 S4＝－ .1S4 65 56猜想： Sn＝－ ， n∈N *.n＋ 1n＋ 24类型二 等式与不等式中的归纳推理例 2 (1)观察下列等式：1－ ＝ ，12 121－ ＋ － ＝ ＋ ，12 13 14 13 141－ ＋ － ＋ － ＝ ＋ ＋ ，12 13 14 15 16 14 15 16…，据此规律，第 n 个等式可为_________________________________．答案 1－ ＋ － ＋…＋ － ＝ ＋ ＋…＋12 13 14 12n－ 1 12n 1n＋ 1 1n＋ 2 12n解析 等式左边的特征：第 1 个有 2 项，第 2 个有 4 项，第 3 个有 6 项，且正负交错，故第n 个等式左边有 2n 项且正负交错，应为 1－ ＋ － ＋…＋ － .等式右边的特征：第12 13 14 12n－ 1 12n1 个有 1 项，第 2 个有 2 项，第 3 个有 3 项，故第 n 个等式右边有 n 项，且由前几个等式的规律不难发现，第 n 个等式右边应为 ＋ ＋…＋ .1n＋ 1 1n＋ 2 12n(2)观察下列式子：1＋ 1，等式 x＋ 2； x2＋ 3； x3＋ 4；…，可以推广为1x 2x 3x________________．答案 xn＋ n＋1nx解析 不等式左边是两项的和，第一项是 x， x2， x3，…，右边的数是 2,3,4，…，利用此规律观察所给不等式，都是写成 xn＋ n＋1 的形式，从而归纳出一般性结论： xn＋ n＋1.nx nx(2)观察下列等式，并从中归纳出一般结论．1＝1 2，2＋3＋4＝3 2，3＋4＋5＋6＋7＝5 2，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝7 2，5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝9 2，……解 等号的左端是连续自然数的和，且项数为 2n－1，等号的右端是项数的平方．所以猜想结论： n＋( n＋1)＋…＋(3 n－2)＝(2 n－1) 2(n∈N *)．类型三 图形中的归纳推理例 3 如图，第 n 个图形是由正 n＋2 边形“扩展”而来( n＝1,2,3，…)，则第 n 个图形中顶点的个数为________．答案 ( n＋2)( n＋3)解析 由已知中的图形我们可以得到：当 n＝1 时，顶点共有 12＝3×4(个)，当 n＝2 时，顶点共有 20＝4×5(个)，当 n＝3 时，顶点共有 30＝5×6(个)，当 n＝4 时，顶点共有 42＝6×7(个)，…，则第 n 个图形共有顶点( n＋2)( n＋3)个．反思与感悟 图形中归纳推理的特点及思路(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系．6(2)从图形结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．7跟踪训练 3 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第 n 个图案中有黑色地面砖的块数是________．答案 5 n＋1解析 观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为 6，公差为5 的等差数列，从而第 n 个图案中黑色地面砖的个数为 6＋( n－1)×5＝5 n＋1.1．观察下列各式：a＋ b＝1， a2＋ b2＝3， a3＋ b3＝4， a4＋ b4＝7， a5＋ b5＝11，…，则 a10＋ b10＝________.考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用答案 123解析 利用归纳法：a＋ b＝1， a2＋ b2＝3， a3＋ b3＝3＋1＝4， a4＋ b4＝4＋3＝7， a5＋ b5＝7＋4＝11， a6＋ b6＝11＋7＝18， a7＋ b7＝18＋11＝29， a8＋ b8＝29＋18＝47， a9＋ b9＝47＋29＝76， a10＋ b10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．2．按照图 1、图 2、图 3 的规律，第 10 个图中圆点的个数为________．答案 40解析 图 1 中的点数为 4＝1×4，图 2 中的点数为 8＝2×4，图 3 中的点数为 12＝3×4，…，所以图 10 中的点数为 10×4＝40.3．已知 a1＝1， a2＝ ， a3＝ ， a4＝ ，则数列{ an}的一个通项公式 an＝________.13 16 110答案 (n∈N *)2nn＋ 1解析 a1＝ ， a2＝ ， a3＝ ， a4＝ ，21×2 22×3 23×4 24×58则 an＝ (n∈N *)．2nn＋ 14．观察( x2)′＝2 x，( x4)′＝4 x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(－ x)＝ f(x)，记 g(x)为 f(x)的导函数，则 g(－ x)＝________.考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用答案 － g(x)解析 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当 f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故 g(－ x)＝－ g(x)．5．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，求第 n 行( n≥3)从左向右数第 3 个数．解 前( n－1)行共有正整数[1＋2＋…＋( n－1)]个，即 个，因此第 n 行第 3 个数是全n2－ n2体正整数中第 个，即为 (n∈N *)．(n2－ n2 ＋ 3) n2－ n＋ 621．归纳推理的一般步骤(1)通过观察某类事物的个别情况，发现某些相同性质．(2)对这些性质进行归纳整理，得到一个合理的结论．(3)猜想这个结论对该类事物都成立．2．归纳推理应注意的问题归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明.一、填空题1．如图所示的是一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排，那么第 36 颗珠子的颜色是________色．9答案 白解析 通过观察发现，每 5 颗珠子为一组，前 3 颗为白色，后 2 颗为黑色，由36＝5×7＋1，得第 36 颗珠子一定为白色．2．根据给出的数塔猜测 123456×9＋7＝________.1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111…答案 1111111解析 由数塔猜测应是各位都是 1 的七位数，即 1111111.3．已知 f(x)＝ ，定义 f1(x)＝ f′( x)， f2(x)＝[ f1(x)]′，…， fn＋1 (x)＝[ fn(x)]′xex， n∈N *.经计算 f1(x)＝ ， f2(x)＝ ， f3(x)＝ ，…，照此规律， fn(x)1－ xex x－ 2ex 3－ xex＝________.答案 (n∈N *)－ 1nx－ nex解析 观察各个式子，发现分母都是 ex，分子依次是－( x－1)，( x－2)，－( x－3)，故fn(x)＝ (n∈N *)．－ 1nx－ nex4．已知 a1＝3， a2＝6，且 an＋2 ＝ an＋1 － an，则 a33＝________.答案 3解析 ∵ a1＝3， a2＝6， a3＝3， a4＝－3， a5＝－6， a6＝－3， a7＝3, a8＝6， a9＝3， a10＝－3， a11＝－6， a12＝－3，∴周期 T＝6，∴ a33＝ a3＝3.5．根据三角恒等变换，可得如下等式：cosθ ＝cos θ ，cos2θ ＝2cos 2θ －1，cos3θ ＝4cos 3θ －3cos θ ，cos4θ ＝8cos 4θ －8cos 2θ ＋1，cos5θ ＝16cos 5θ －20cos 3θ ＋5cos θ .10依此规律，猜想 cos6θ ＝32cos 6θ ＋ mcos4θ ＋ ncos2θ －1，其中 m＋ n＝________.答案 －30解析 由所给一系列式子，得等式右边各系数与常数项之和为 1，即 32＋ m＋ n－1＝1，得m＋ n＝－30.116．已知数列{ an}满足条件( n－1)· an＋1 ＝( n＋1)· an－ n－1，且 a2＝6，设 bn＝ an＋ n(n∈N *)，则数列{ bn}的通项公式 bn＝________.答案 2 n2(n∈N *)解析 a1＝1， a2＝6， a3＝15， a4＝28，b1＝2， b2＝8， b3＝18， b4＝32.我们发现 a1＝1＝1×1； a2＝6＝2×3；a3＝15＝3×5； a4＝28＝4×7；…，猜想 an＝ n×(2n－1)，进而猜想 bn＝2 n2－ n＋ n＝2 n2(n∈N *)．7．用火柴棒摆“金鱼” ，如图所示．按照图中所示的规律，第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________．答案 6 n＋2解析 从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多 6 根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为 8 根，故可归纳出第 n 个“金鱼”图需火柴棒的根数为 6n＋2.8．观察下列等式：1＋1＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝2 2×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝2 3×1×3×5，…照此规律，第 n 个等式可为____________________________________________________．答案 ( n＋1)( n＋2)…( n＋ n)＝2 n×1×3×…×(2n－1)解析 观察规律可知，左边为 n 项的积，最小项和最大项依次为( n＋1)，( n＋ n)，右边为连续奇数之积乘以 2n，则第 n 个等式为( n＋1)( n＋2)…( n＋ n)＝2 n×1×3×…×(2n－1)．9．经计算发现下列不等式：＋ 0，且 2 ＝ an＋1.Sn解 (1)由已知可得 a1＝3＝2 2－1，a2＝2 a1＋1＝2×3＋1＝7＝2 3－1，a3＝2 a2＋1＝2×7＋1＝15＝2 4－1，a4＝2 a3＋1＝2×15＋1＝31＝2 5－1.猜想 an＝2 n＋1 －1， n∈N *.(2)由已知可得 a1＝ a，a2＝ ＝ ， a3＝ ＝ ，12－ a1 12－ a 12－ a2 2－ a3－ 2aa4＝ ＝ .12－ a3 3－ 2a4－ 3a猜想 an＝ (n∈N *)．n－ 1－ n－ 2an－ n－ 1a(3)∵2 ＝ an＋1，Sn∴2 ＝ a1＋1，即 2 ＝ a1＋1，S1 a1∴ a1＝1.又 2 ＝ a2＋1，S2∴2 ＝ a2＋1，∴ a －2 a2－3＝0.a1＋ a2 2∵对一切的 n∈N *， an0，∴ a2＝3.同理可求得 a3＝5， a4＝7，猜想出 an＝2 n－1( n∈N *)．1第 2 课时 类比推理学习目标 1.了解类比推理的含义、特征，能利用类比进行简单的推理.2.能正确区别归纳推理与类比推理的不同点，了解合情推理的合理性．知识点一 类比推理思考 科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等．由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在．他们使用了什么样的推理？答案 类比推理．梳理 (1)类比推理的定义根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法．(2)类比推理的思维过程大致如图― → ― →观 察 、 比 较 联 想 、 类 推 猜 测 新 的 结 论(3)特征：由特殊到特殊的推理．知识点二 合情推理思考 1 归纳推理与类比推理有何区别与联系？答案 区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假．思考 2 归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？答案 不一定正确．梳理 (1)合情推理的含义合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．(2)合情推理的过程― → ― → ― →从 具 体 问 题 出 发 观 察 、 分 析 、 比 较 、 联 想 归 纳 、 类 比 提 出 猜 想21．由合情推理得出的结论一定是正确的．( × )2．合情推理必须有前提有结论．( √ )3．类比推理不能猜想．( × )类型一 数列中的类比推理例 1 设等差数列{ an}的前 n 项和为 Sn，则 S4， S8－ S4， S12－ S8， S16－ S12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列{ bn}的前 n 项积为 Tn，则 T4，________，________， 成等比数T16T12列．答案 T8T4 T12T8解析 由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每 4 项的和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每 4 项的积成等比数列．下面证明该结论的正确性：设等比数列{ bn}的公比为 q，首项为 b1，则 T4＝ b q6， T8＝ b q1＋2＋…＋7 ＝ b q28，41 81 81T12＝ b q1＋2＋…＋11 ＝ b q66，12 12T16＝ b q1＋2＋…＋15 ＝ b q120，16 16∴ ＝ b q22， ＝ b q38， ＝ b q54，T8T4 41 T12T8 41 T16T12 41即 2＝ ·T4， 2＝ · ，(T8T4) T12T8 (T12T8) T8T4 T16T12故 T4， ， ， 成等比数列．T8T4T12T8 T16T12反思与感悟 已知等差数列与等比数列有类似的性质，在类比过程中也有一些规律，如下表所示的部分结论(其中 d， q 分别是公差和公比， m， n， p， r∈N *)：等差数列 等比数列定义 an－ an－1 ＝ d(n≥2) an÷an－1 ＝ q(n≥2)通项公式 an＝ a1＋( n－1) d an＝ a1qn－1性质若 m＋ n＝ p＋ r，则am＋ an＝ ap＋ ar若 m＋ n＝ p＋ r，则am·an＝ ap·ar3跟踪训练 1 若数列{ an}(n∈N *)是等差数列，则有数列 bn＝ (n∈N *)也是等a1＋ a2＋ …＋ ann差数列；类比上述性质，相应地：若数列{ cn}(n∈N *)是等比数列，且 cn0，则有数列dn＝______________( n∈N *)也是等比数列．答案 nc1c2c3…cn解析 数列{ an}(n∈N *)是等差数列，则有数列 bn＝ (n∈N *)也是等差数a1＋ a2＋ …＋ ann列．类比猜想：若数列{ cn}(n∈N *)是各项均为正数的等比数列，则当dn＝ (n∈N *)时，数列{ dn}也是等比数列．nc1c2c3…cn类型二 几何中的类比推理例 2 如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C＝90°.设 a， b， c 分别表示三条边的长度，由勾股定理，得 c2＝ a2＋ b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．解 如题图，在 Rt△ ABC 中，∠ C＝90°.设 a， b， c 分别表示 3 条边的长度，由勾股定理，得 c2＝ a2＋ b2.类似地，如图所示，在四面体 P－ DEF 中，∠ PDF＝∠ PDE＝∠ EDF＝90°.设 S1， S2， S3和 S分别表示△ PDF，△ PDE，△ EDF 和△ PEF 的面积，相对于直角三角形的两条直角边 a， b 和 1条斜边 c，图中的四面体有 3 个“直角面” S1， S2， S3和 1 个“斜面” S.于是类比勾股定理的结构，我们猜想 S2＝ S ＋ S ＋ S 成立．21 2 23反思与感悟 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论．(2)中学阶段常见的类比知识点：等差数列与等比数列，空间与平面，圆与球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下：平面图形 空间图形点 直线直线 平面边长 面积4面积 体积三角形 四面体线线角 面面角跟踪训练 2 在长方形 ABCD 中，对角线 AC 与两邻边所成的角分别为α ， β ，cos 2α ＋cos 2β ＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．解 在长方形 ABCD 中，cos2α ＋cos 2β ＝ 2＋ 2＝ ＝ ＝1.(ac) (bc) a2＋ b2c2 c2c2于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为 α ， β ， γ ，则cos2α ＋cos 2β ＋cos 2γ ＝1.类型三 合情推理的应用例 3 我们已经学过了等差数列，思考一下有没有等和数列呢？(1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；(2)探索等和数列{ an}的奇数项和偶数项各有什么特点，并加以说明；(3)在等和数列{ an}中，如果 a1＝ a， a2＝ b，求它的前 n 项和 Sn.解 (1)如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列．(2)由(1)知 an＋ an＋1 ＝ an＋1 ＋ an＋2 ，所以 an＋2 ＝ an.所以等和数列的奇数项相等，偶数项也相等．(3)当 n 为奇数时，令 n＝2 k－1， k∈N *，则Sn＝ S2k－1 ＝ S2k－2 ＋ a2k－1 ＝ (a＋ b)＋ a2k－ 22＝ (a＋ b)＋ a＝ a＋ b；n－ 12 n＋ 12 n－ 12当 n 为偶数时，令 n＝2 k， k∈N *，则Sn＝ S2k＝ k(a＋ b)＝ (a＋ b)．n25所以它的前 n 项和 Sn＝Error!反思与感悟 定义类比应用问题是常考查的题型，通过对某种概念的定义及性质的理解，类比出其他相似概念的定义和性质，很好地考查学生类比应用的能力，其解决的关键在于弄清两个概念的相似性和相异性．跟踪训练 3 定义“等积数列”：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积．已知数列{ an}是等积数列，且 a1＝2，公积为 6，求这个数列的前 n 项和 Sn.解 由定义，得 an＝Error!前 n 项和 Sn＝Error!1．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“ mn＝ nm”类比得到“ a·b＝ b·a”；②“( m＋ n)t＝ mt＋ nt”类比得到“( a＋ b)·c＝ a·c＋ b·c”；③“ t≠0， mt＝ nt⇒m＝ n”类比得到“ c≠0， a·c＝ b·c⇒a＝ b”；④“| m·n|＝| m|·|n|”类比得到“| a·b|＝| a|·|b|”．以上类比得到的正确结论的序号是________．答案 ①②2．下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是________．(填序号)①三角形；②梯形；③平行四边形；④矩形．答案 ③解析 因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行．3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1∶2，则它们的面积比为 1∶4，类似地，在空间上，若两个正四面体的棱长的比为 1∶2，则它们的体积比为________．答案 1∶8解析 设两个正四面体的体积分别为 V1， V2，则 V1∶ V2＝ S1h1∶ S2h2＝ S1h1∶ S2h2＝1∶8.13 1364．已知{ bn}为等比数列， b5＝2，则 b1b2b3…b9＝2 9.若{ an}为等差数列， a5＝2，则类似结论为________________．答案 a1＋ a2＋…＋ a9＝2×9解析 等比数列中的积运算类比等差数列中的和运算，从而有 a1＋ a2＋…＋ a9＝2×9.5．三角形的面积为 S＝ (a＋ b＋ c)r， a， b， c 为三角形的边长， r 为三角形内切圆的半径，12利用类比推理可以得到四面体的体积为_____________________________________．答案 (S1＋ S2＋ S3＋ S4)r(S1， S2， S3， S4为四个面的面积， r 为内切球的半径)13解析 △ ABC 的内心为 O，连结 OA， OB， OC，将△ ABC 分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是 r，底边长分别为 a， b， c.类比：设四面体 A－ BCD 的内切球球心为 O，半径为r，连结 OA， OB， OC， OD，将四面体分割为四个以 O 为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为 r，所以 V＝ (S1＋ S2＋ S3＋ S4)r.131．在进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．2．提高所得结论的准确性的常用技巧(1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些．(2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性．(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面.一、填空题1．下列几种推理是类比推理的是________．(填序号)①内错角相等，两直线平行；②由平面三角形的性质，猜想空间四面体的性质；③由数列的前几项，猜想数列的通项公式．答案 ②解析 由类比推理的定义，得只有②为类比推理．2． “若直角三角形两直角边的长分别为 a， b，将其补成一个矩形，则根据矩形的对角线长可求得该直角三角形外接圆的半径 r＝ ”．对于“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱a2＋ b22长分别为 a， b， c”，类比上述处理方法，可得该三棱锥的外接球的半径 R＝__________.7答案 a2＋ b2＋ c22解析 由求直角三角形外接圆的半径的方法，通过类比得出求三条侧棱两两垂直的三棱锥外接球的半径的方法为：首先将该三棱锥补全为长方体，而长方体的体对角线长就是三棱锥的外接球的直径，从而得出该三棱锥的外接球的半径 R＝ .a2＋ b2＋ c223．已知扇形的弧长为 l，半径为 r，类比三角形的面积公式 S＝ ，可推知扇形面积底 ×高2公式 S 扇 ＝________.考点 类比推理的应用题点 平面曲线的类比答案 lr2解析 扇形的弧类比三角形的底边，扇形的半径类比三角形的高，则 S 扇 ＝ .lr24．已知 tan ＝ 且 tanx 是以 π 为周期的周期函数．若 a≠0，且 f(x＋ a)＝(x＋π 4) 1＋ tanx1－ tanx，通过类比， f(x)是以________为周期的周期函数．1＋ fx1－ fx答案 4 a(答案不唯一)解析 类比 tan ＝ 与 f(x＋ a)＝ 可知， 与 a 对应．(x＋π 4) 1＋ tanx1－ tanx 1＋ fx1－ fx π 4而 tanx 是以 π＝4× 为周期的周期函数，π 4所以猜想 f(x)应是以 T＝4 a 为周期的周期函数．事实上 f(x＋2 a)＝ ＝ ＝－ .1＋ fx＋ a1－ fx＋ a1＋ 1＋ fx1－ fx1－ 1＋ fx1－ fx 1fx所以 f(x＋4 a)＝－ ＝ f(x)．1fx＋ 2a故此类比猜想正确．5．已知圆的方程是 x2＋ y2＝ r2，则经过圆上一点 M(x0， y0)的切线方程为 x0x＋ y0y＝ r2.类比上述性质，可以得到椭圆 ＋ ＝1( ab0)类比的性质为x2a2 y2b2_________________________________.答案 经过椭圆 ＋ ＝1( ab0)上一点 M(x0， y0)的切线方程为 ＋ ＝1x2a2 y2b2 x0xa2 y0yb28解析 已知圆的性质中，经过圆上一点 M(x0， y0)的切线方程，就是将圆的方程中的一个 x与 y 分别用点 M(x0， y0)的横坐标与纵坐标替换的结果．经类比猜想，即可得椭圆＋ ＝1( ab0)类似的性质为：经过椭圆 ＋ ＝1( ab0)上一点 M(x0， y0)的切线方程x2a2 y2b2 x2a2 y2b2为 ＋ ＝1.x0xa2 y0yb26．类比平面向量基本定理：“如果 e1， e2是平面 α 内两个不共线的向量，那么对于平面α 内任一向量 a，有且只有一对实数 λ 1， λ 2，使得 a＝ λ 1e1＋ λ 2e2.”试写出空间向量基本定理：_______________________________________________________________________________.答案 如果 e1， e2， e3是空间中不共面的向量，那么对空间中的任一向量 a，有且只有一组实数 λ 1， λ 2， λ 3，使得 a＝ λ 1e1＋ λ 2e2＋ λ 3e37．已知正三角形内切圆的半径是高的 ，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是13____________________．答案 正四面体的内切球的半径是高的14解析 原问题的解法为等面积法，即正三角形的面积 S＝ ah＝3× ar⇒r＝ h.12 12 13类比，用等体积法， V＝ Sh＝4× r·S⇒r＝ h.13 13 148．半径为 r 的圆的面积 S(r)＝π r2，周长 C(r)＝2π r，若将 r 看作(0，＋∞)上的变量，则(π r2)′＝2π r①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为 R 的球，若将 R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子②：____________________，②式可以用语言叙述为：_________________________________________________________.答案 ′＝4π R2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数(43π R3)解析 通过给出的两个量之间的关系，类比球的体积公式和球的表面积公式，我们不难发现′＝4π R2，从而使问题解决．(43π R3)9．在平面中△ ABC 的角 C 的内角平分线 CE 分△ ABC 的面积所成的比 ＝ ，将这个S△ AECS△ BEC ACBC结论类比到空间：在三棱锥 A－ BCD 中，平面 DEC 平分二面角 A－ CD－ B 且与 AB 交于 E，则类比的结论为________________．9答案 ＝VA－ CDEVB－ CDE S△ ACDS△ BCD解析 平面中的面积类比到空间为体积，故 类比成 .S△ AECS△ BEC VA－ CDEVB－ CDE平面中的线段长类比到空间为面积，故 类比成 ，ACBC S△ ACDS△ BCD故有 ＝ .VA－ CDEVB－ CDE S△ ACDS△ BCD10．由图 1 有面积关系： ＝ ，则由图 2 有体积关系： ＝________.S△ PABS△ PCD PA·PBPC·PD VP－ ABCVP－ DEF答案 PA·PB·PCPD·PE·PF解析 设点 A， D 到平面 PBC 的距离分别为 h1， h2，则 ＝ 且 VP－ ABC＝ S△ PBC·h1，h1h2 PAPD 13VP－ DEF＝ S△ PEF·h2，13所以 ＝VP－ ABCVP－ DEF PA·PB·PCPD·PE·PF11．下列类比推理中正确的个数是________．①( ab)n＝ anbn与( a＋ b)n类比，则有( a＋ b)n＝ an＋ bn；②log m(xy)＝log mx＋log my 与 sin(a＋ b)类比，则有 sin(a＋ b)＝sin ab；③( a＋ b)2＝ a2＋2 ab＋ b2与( a＋ b)2类比，则有( a＋ b)2＝ a2＋2 a·b＋ b2.答案 1解析 对于①，令 a＝ b＝1， n＝2，则( a＋ b)n＝4， an＋ bn＝2，( a＋ b)n≠ an＋ bn，故①错误；对于②，令 a＝0°， b＝30°，则 sin(a＋ b)＝ ，sin ab＝0，sin( a＋ b)≠sin ab，故②错误；12对于③，由平面向量的知识可知，③显然正确．二、解答题1012．已知：等差数列{ an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，有如下的性质：(1)通项 an＝ am＋( n－ m)·d.(2)若 m＋ n＝ p＋ t，且 m， n， p， t∈N *，则 am＋ an＝ ap＋ at.(3)若 m＋ n＝2 p，且 m， n， p∈N *，则 am＋ an＝2 ap.类比上述性质，在等比数列{ bn}中，写出相类似的性质．解 设等比数列{ bn}中，公比为 q，前 n 项和为 Tn.(1)通项 bn＝ bm·qn－ m.(2)若 m＋ n＝ p＋ t，且 m， n， p， t∈N *，则 bm·bn＝ bp·bt.(3)若 m＋ n＝2 p，且 m， n， p∈N *，则 b ＝ bm·bn.2p13．已知命题：若数列{ an}为等差数列，且 am＝ a， an＝ b(m≠ n， m， n∈N *)，则 am＋ n＝.现已知等比数列{ bn}，类比等差数列，写出相似的性质．bn－ amn－ m解 等差数列的通项 an与项数 n 是一次函数关系，等比数列的通项 bn与项数 n 是指数型函数关系．利用类比可得 bm＋ n＝1nma＝ .n－ mbnam三、探究与拓展14．若等差数列{ an}的首项为 a1，公差为 d，前 n 项和为 Sn，则数列 为等差数列，且通{Snn}项为 ＝ a1＋( n－1)· ，类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{ bn}的首Snn d2项为 b1，公比为 q，前 n 项的积为 Tn，则________________________．答案 数列{ }为等比数列，且通项为 ＝ b1( )n－1nTn nTn q解析 Tn＝ b1·b2·…·bn＝ b ·q1＋2＋3＋…＋( n－1) ＝ b ·2，而 ＝ b1· 2nq＝ b1( )n1 n1 nTn qn－1 ，所以数列{ }是首项为 b1，公比为 的等比数列，其通项为 ＝ b1·( )n－1 .nTn q nTn q15.如图，已知 O 是△ ABC 内任意一点，连结 AO， BO， CO 并延长交对边于 A′， B′， C′，则 ＋ ＋ ＝1.OA′AA′ OB′BB′ OC′CC′这是平面几何中的一道题，其证明常采用“面积法”：＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＝1.运用类比猜想，对于空OA′AA′ OB′BB′ OC′CC′ S△ OBCS△ ABC S△ OCAS△ ABC S△ OABS△ ABC S△ ABCS△ ABC11间中的四面体 V－ BCD，存在什么类似结论？并用“体积法”证明．解 如图，设 O 为四面体 V－ BCD 内任意一点，连结 VO， BO， CO， DO 并延长交对面于V′， B′， C′， D′，类似结论为 ＋ ＋ ＋ ＝1.类比平面几何中的“面积法” ，可用“体积法”来OV′VV′ OB′BB′ OC′CC′ OD′DD′证明．因为 ＝ ＝ (其中 h′， h 分别为两个四面体的高)，VO－ BCDVV－ BCD13·S△ BCD·h′13·S△ BCD·h OV′VV′同理 ＝ ， ＝ ， ＝ .VO－ VCDVB－ VCD OB′BB′ VO－ VBDVC－ VBD OC′CC′ VO－ VBCVD－ VBC OD′DD′所以 ＋ ＋ ＋OV′VV′ OB′BB′ OC′CC′ OD′DD′＝ ＋ ＋ ＋ ＝1.VO－ BCDVV－ BCD VO－ VCDVB－ VCD VO－ VBDVC－ VBD VO－ VBCVD－ VBC12.1.2 演绎推理学习目标 1.了解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．知识点一 演绎推理思考 分析下面几个推理，找出它们的共同点．(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；(2)一切奇数都不能被 2 整除，(2 100＋1)是奇数，所以(2 100＋1)不能被 2 整除．答案 问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论．梳理 演绎推理的含义及特点含义 由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法特点(1)演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中；(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系；(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化知识点二 三段论思考 所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？答案 分为三段．梳理 三段论一般模式 常用格式大前提 提供了一个一般性的原理 M 是 P小前提 指出了一个特殊对象 S 是 M结论 揭示了一般原理与特殊对象的内在联系 S 是 P1． “三段论”就是演绎推理．( × )2．演绎推理的结论一定是正确的．( × )3．演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．( × )24．在演绎推理中，大前提描述的是一般性原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般性原理对特殊情况作出的判断．( √ )类型一 演绎推理与三段论例 1 将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；(2)等腰三角形的两底角相等，∠ A，∠ B 是等腰三角形的两底角，则∠ A＝∠ B；(3)通项公式为 an＝2 n＋3 的数列{ an}为等差数列．解 (1)平行四边形的对角线互相平分，(大前提)菱形是平行四边形，(小前提)菱形的对角线互相平分．(结论)(2)等腰三角形的两底角相等，(大前提)∠ A，∠ B 是等腰三角形的两底角，(小前提)∠ A＝∠ B.(结论)(3)在数列{ an}中，如果当 n≥2 时， an－ an－1 为常数，则{ an}为等差数列，(大前提)当通项公式为 an＝2 n＋3 时，若 n≥2，则 an－ an－1 ＝2 n＋3－[2( n－1)＋3]＝2(常数)，(小前提)通项公式为 an＝2 n＋3 的数列{ an}为等差数列．(结论)反思与感悟 用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．跟踪训练 1 将下面的演绎推理写成三段论的形式：(1)所有椭圆的离心率 e 的取值范围为(0,1)，曲线 C： ＋ y2＝1 是椭圆，所以曲线 C 的离x22心率 e 的取值范围为(0,1)．(2)等比数列的公比都不为零，数列{2 n}(n∈N *)是等比数列，所以数列{2 n}的公比不为零．解 (1)大前提：所有椭圆的离心率 e 的取值范围为(0,1)．小前提：曲线 C： ＋ y2＝1 是椭圆．x22结论：曲线 C 的离心率 e 的取值范围为(0,1)．(2)大前提：等比数列的公比都不为零．小前提：数列{2 n}(n∈N *)是等比数列．3结论：数列{2 n}的公比不为零．类型二 演绎推理的应用命题角度 1 证明几何问题例 2 如图， D， E， F 分别是 BC， CA， AB 上的点，∠ BFD＝∠ A， DE∥ BA，求证： ED＝ AF，写出三段论形式的演绎推理．证明 因为同位角相等，两直线平行，(大前提)∠ BFD 与∠ A 是同位角，且∠ BFD＝∠ A，(小前提)所以 FD∥ AE.(结论)因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)DE∥ BA，且 FD∥ AE，(小前提)所以四边形 AFDE 为平行四边形．(结论)因为平行四边形的对边相等，(大前提)ED 和 AF 为平行四边形 AFDE 的对边，(小前提)所以 ED＝ AF.(结论)反思与感悟 (1)用“三段论”证明命题的格式×××××× 大前提 ×××××× 小前提 ×××××× 结论(2)用“三段论”证明命题的步骤①理清证明命题的一般思路．②找出每一个结论得出的原因．③把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．跟踪训练 2 已知：在空间四边形 ABCD 中，点 E， F 分别是 AB， AD 的中点，如图所示，求证： EF∥平面 BCD.证明 因为三角形的中位线平行于底边，(大前提)点 E， F 分别是 AB， AD 的中点，(小前提)4所以 EF∥ BD.(结论)若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行，(大前提)EF⊄平面 BCD， BD⊂平面 BCD， EF∥ BD，(小前提)所以 EF∥平面 BCD.(结论)命题角度 2 证明代数问题例 3 设函数 f(x)＝ ，其中 a 为实数，若 f(x)的定义域为 R，求实数 a 的取值范exx2＋ ax＋ a围．解 若函数对任意实数恒有意义，则函数的定义域为 R，(大前提)∵ f(x)的定义域为 R，(小前提)∴ x2＋ ax＋ a≠0 恒成立．(结论)∴ Δ ＝ a2－4 a0，∴在(－∞，0)和(2－ a，＋∞)上， f′( x)0.∴ f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(2－ a，＋∞)．当 a＝2 时， f′( x)≥0 恒成立，∴ f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．当 20，∴ f(x)的单调增区间为(－∞，2－ a)，(0，＋∞)．综上所述，当 01)，证明：函数 f(x)在(－1，＋∞)上为增函x－ 2x＋ 1数．证明 方法一 (定义法)任取 x1， x2∈(－1，＋∞)，且 x10，且 a1，所以 21，而－10， x2＋10，所以 f(x2)－ f(x1)0，所以 f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．方法二 (导数法)f(x)＝ ax＋ ＝ ax＋1－ .x＋ 1－ 3x＋ 1 3x＋ 1所以 f′( x)＝ axlna＋ .3x＋ 12因为 x－1，所以( x＋1) 20，所以 0.3x＋ 12又因为 a1，所以 lna0， ax0，所以 axlna0，所以 f′( x)0.所以 f(x)＝ ax＋ 在(－1，＋∞)上是增函数.x－ 2x＋ 11．下面几种推理过程是演绎推理的是________．(填序号)①两条直线平行，同旁内角互补，如果∠ A 与∠ B 是两条平行直线的同旁内角，则6∠ A＋∠ B＝180°；②某校高三 1 班有 55 人，2 班有 54 人，3 班有 52 人，由此得高三所有班人数超过 50 人；③在数列{ an}中， a1＝1， an＝ (n≥2)，由此归纳出{ an}的通项公式．12(an－ 1＋ 1an－ 1)答案 ①解析 ①是演绎推理，②③是归纳推理．2．在求函数 y＝ 的定义域时，第一步推理中大前提是当 有意义时， a≥0；小前log2x－ 2 a提是 有意义；结论是__________________________．log2x－ 2考点 “三段论”及其应用题点 三段论的结构答案 y＝ 的定义域是[4，＋∞)log2x－ 2解析 由大前提知 log2x－2≥0，解得 x≥4.3．推理：“①菱形的对角线互相垂直，②正方形是菱形，③所以正方形的对角线互相垂直”中的小前提是________．(填序号)答案 ②4．把“函数 y＝ x2＋ x＋1 的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：_______________________________________________________________________________；小前提：________________________________________________________________________；结论：________________________________________________________________________.答案 二次函数的图象是一条抛物线 函数 y＝ x2＋ x＋1 是二次函数 函数 y＝ x2＋ x＋1 的图象是一条抛物线5．设 m 为实数，利用三段论证明方程 x2－2 mx＋ m－1＝0 有两个相异实根．证明 若一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝0( a≠0)的判别式 Δ ＝ b2－4 ac0，则方程有两个相异实根．(大前提)方程 x2－2 mx＋ m－1＝0 的判别式Δ ＝(－2 m)2－4( m－1)＝4 m2－4 m＋4＝(2 m－1) 2＋30，(小前提)所以方程 x2－2 mx＋ m－1＝0 有两个相异实根．(结论)1．应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．2．合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理．73．合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明.8一、填空题1． 《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足． ”上述推理用的是______________．答案 演绎推理解析 这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足” ，连续运用五次复式三段论，属演绎推理形式．2． “因为 π 是无限不循环小数，所以 π 是无理数． ”以上推理的大前提是________．答案 无限不循环小数是无理数3．三段论式推理是演绎推理的主要形式， “函数 f(x)＝2 x＋5 的图象是一条直线”这个推理所省略的大前提是________________．答案 一次函数的图象是一条直线4．有一个“三段论”推理是这样的：对于可导函数 f(x)，如果 f′( x0)＝0，那么 x＝ x0是函数 f(x)的极值点．因为函数 f(x)＝ x3在 x＝0 处的导数值 f′(0)＝0，所以 x＝0 是函数f(x)＝ x3的极值点．以上推理中________错误．答案 大前提解析 可导函数在某点处的导数为 0，不一定能得到此点为函数的极值点，因此大前提错误．5． “公差不为零的等差数列{ an}的前 n 项和为关于 n 的没有常数项的二次函数．{ bn}的前 n项和为 Sn＝ n2＋3 n，所以{ bn}为等差数列” ．上述推理中，下列说法正确的序号是________．①大前提错误；②小前提错误；③结论错误；④都正确．答案 ④解析 该推理过程中，大前提、小前提、结论都正确．6． “指数函数 y＝ ax(a1)是增函数， y＝ xα (α 1)是指数函数，所以 y＝ xα (α 1)是增函数”，在以上演绎推理中，下列说法正确的序号是________．①推理完全正确；②大前提不正确；③小前提不正确；④推理形式不正确．答案 ③解析 ∵ y＝ xα (α 1)是幂函数，而不是指数函数，∴小前提错误．7．以下推理过程省略的大前提为________________．9因为 a2＋ b2≥2 ab，所以 2(a2＋ b2)≥ a2＋ b2＋2 ab.答案 若 p≥ q，则 p＋ c≥ q＋ c8．设 是 R 的一个运算， A 是 R 的非空子集．若对于任意 a， b∈ A，有 ab∈ A，则称 A 对运算 封闭．则下列数集对加法、减法、乘法和除法 (除数不等于零)四则运算都封闭的是________．(填序号)①自然数集；②整数集；③有理数集；④无理数集．考点 新定义题点 新定义答案 ③解析 ①错，因为自然数集对减法、除法不封闭；②错，因为整数集对除法不封闭；③对，因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；④错，因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭．9．有一段演绎推理：大前提：整数是自然数；小前提：－3 是整数；结论：－3 是自然数．这个推理显然错误，则错误的原因是________错误．(填“大前提” “小前提” “结论”)答案 大前提10．若不等式 ax2＋2 ax＋20 的解集为∅，则实数 a 的取值范围为 __________．答案 [0,2]解析 ∵不等式 ax2＋2 ax＋20 无解，∴不等式 ax2＋2 ax＋2≥0 的解集为 R.∴当 a＝0 时，2≥0，显然成立，当 a≠0 时，由Error!解得 0a≤2.∴ a 的取值范围为[0,2]．11．若 f(a＋ b)＝ f(a)f(b)(a， b∈N *)，且 f(1)＝2，则 ＋ ＋…＋ ＝________.f2f1 f4f3 f2018f2017答案 2018解析 利用三段论．∵ f(a＋ b)＝ f(a)f(b)(a， b∈N *)，(大前提)∴令 b＝1，则 ＝ f(1)＝2，(小前提)fa＋ 1fa10∴ ＝ ＝…＝ ＝2，(结论)f2f1 f4f3 f2018f2017∴原式＝ 19个 ＝2018.二、解答题12．把下列演绎推理写成三段论的形式．(1)三角函数都是周期函数， y＝tan α 是三角函数，因此 y＝tan α 是周期函数；(2)因为△ ABC 三边的长依次为 3,4,5，所以△ ABC 是直角三角形．解 (1)三角函数都是周期函数，(大前提)y＝tan α 是三角函数，(小前提)y＝tan α 是周期函数．(结论)(2)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形，(大前提)△ ABC 三边的长依次为 3,4,5，且 32＋4 2＝5 2，(小前提)△ ABC 是直角三角形．(结论)13．证明函数 f(x)＝ x3＋ x 在 R 上是增函数，并指出证明过程中运用的“三段论” ．证明 已知函数 f(x)，对于任意 x1， x2∈ D，若 x1＜ x2，均有 f(x1)＜ f(x2)，则 f(x)在区间 D 上是增函数．(大前提)任取 x1， x2∈(－∞，＋∞)，且 x1＜ x2，则 f(x1)－ f(x2)＝( x ＋ x1)－( x ＋ x2)31 32＝ x － x ＋( x1－ x2)＝( x1－ x2)(x ＋ x ＋ x1x2＋1)31 32 21 2＝( x1－ x2) .[(x1＋12x2)2＋ 34x2＋ 1]∵ x1＜ x2，∴ x1－ x2＜0.又∵ 2＋ x ＋1＞0，(x1＋12x2) 342∴ f(x1)－ f(x2)＜0, 即 f(x1)＜ f(x2)，(小前提)∴函数 f(x)＝ x3＋ x 在 R 上是增函数．(结论)三、探究与拓展14．如果函数 f(x)在区间 D 上是凸函数，那么对于区间 D 内的任意 x1， x2，…， xn，都有≤ f .若 y＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么fx1＋ fx2＋ …＋ fxnn (x1＋ x2＋ …＋ xnn )在△ ABC 中，sin A＋sin B＋sin C 的最大值是________．答案 332解析 sin A＋sin B＋sin C≤3sin ＝3sin ＝ .A＋ B＋ C3 π 3 332111215．已知 y＝ f(x)在(0，＋∞)上有意义，单调递增且满足 f(2)＝1， f(xy)＝ f(x)＋ f(y)．(1)求证： f(x2)＝2 f(x)；(2)求 f(1)的值；(3)若 f(x)＋ f(x＋3)≤2，求 x 的取值范围．考点 演绎推理的综合应用题点 演绎推理在函数中的应用(1)证明 因为 f(xy)＝ f(x)＋ f(y)，所以 f(x2)＝ f(x·x)＝ f(x)＋ f(x)＝2 f(x)．(2)解 因为 f(1)＝ f(12)＝2 f(1)，所以 f(1)＝0.(3)解 因为 f(x)＋ f(x＋3)＝ f(x(x＋3))≤2＝2 f(2)＝ f(4)，且函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以Error! 解得 0x≤1.所以 x 的取值范围为(0,1]．