1、1第 10 练 正弦定理、余弦定理及应用明晰考情 1.命题角度：考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，常与三角恒等变换相结合.2.题目难度：单独考查正弦、余弦定理时，难度中档偏下；和三角恒等变换交汇考查时，中档难度考点一 正弦定理、余弦定理方法技巧 (1)分析已知的边角关系，合理设计边角互化(2)结合三角函数公式，三角形内角和定理，大边对大角等求出三角形的基本量1 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.已知 a ， c2，cos A ，则 b 等于( )523A. B. C2D32 3答案 D解析 由余弦定理，得 a2 b2 c22 bccosA，即 5 b22 22
2、 b2 ，23解得 b3 ，故选 D.(b 13舍 去 )2(2018全国)在 ABC 中，cos ， BC1， AC5，则 AB 等于( )C2 55A4 B. C. D22 30 29 5答案 A解析 cos ，C2 55cos C2cos 2 12 21 .C (55) 35在 ABC 中，由余弦定理，得 AB2 AC2 BC22 ACBCcosC5 21 2251 32，(35) AB 4 .故选 A.32 23 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 2bcosB acosC ccosA，则 B_.答案 32解析 方法一 由 2bcosB acosC cco
3、sA 及正弦定理，得 2sinBcosBsin AcosCsin CcosA.2sin BcosBsin( A C)又 A B C， A C B.2sin BcosBsin( B)sin B.又 sinB0，cos B .12又 B(0，)， B . 3方法二 在 ABC 中，由余弦定理，得acosC ccosA a c b，a2 b2 c22ab c2 b2 a22bc条件等式变为 2bcosB b，cos B .12又 0 B， B . 34在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 a23 b23 c22 bcsinA，则3C_.答案 6解析 由余弦定理，得 a
4、2 b2 c22 bccosA，所以 b2 c22 bccosA3 b23 c22 bcsinA，3sinAcos A ，2sin 2，3b2 c2bc (A 6) b2 c2bc cb bc当且仅当 b c 时，等号成立，因此 b c， A ，所以 A ， 6 2 23所以 C . 232 6考点二 与三角形的面积有关的问题要点重组 三角形的面积公式(1)S aha bhb chc(ha， hb， hc分别表示 a， b， c 边上的高)12 12 12(2)S absinC bcsinA casinB.12 12 12(3)S r(a b c)(r 为 ABC 内切圆的半径)1235(20
5、18全国) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.若 ABC 的面积为，则 C 等于( )a2 b2 c24A. B. 2 3C. D. 4 6答案 C解析 S absinC abcosC，12 a2 b2 c24 2abcosC4 12sin Ccos C，即 tanC1.又 C(0，)， C . 46钝角三角形 ABC 的面积是 ， AB1， BC ，则 AC 等于( )12 2A5B. C2D15答案 B解析 S ABBCsinB 1 sinB ，12 12 2 12sin B ， B 或 .22 4 34当 B 时，根据余弦定理有 AC2 AB2 BC22 AB
6、BCcosB1225， AC ，此34 5时 ABC 为钝角三角形，符合题意；当 B 时，根据余弦定理有 AC2 AB2 BC22 ABBCcosB1221， AC1，此时 4AB2 AC2 BC2， ABC 为直角三角形，不符合题意故 AC .57.(2018全 国 ) ABC 的 内 角 A， B， C 的 对 边 分 别 为 a， b， c.已 知 bsin C csin B 4asin Bsin C， b2 c2 a28，则 ABC 的面积为_答案 233解析 bsinC csinB4 asinBsinC，由正弦定理得 sinBsinCsin CsinB4sin AsinBsinC.又
7、 sinBsinC0，sin A .12由余弦定理得 cosA 0，b2 c2 a22bc 82bc 4bc4cos A ， bc ，32 4cosA 833 S ABC bcsinA .12 12 833 12 2338在 ABC 中， A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 bcosC3 acosB ccosB， 2，BA BC 则 ABC 的面积为_答案 2 2解析 因为 bcosC3 acosB ccosB，由正弦定理得 sinBcosC3sin AcosBsin CcosB，即 sinBcosCsin CcosB3sin AcosB，所以 sin(B C)3sin Acos
8、B.又 sin(B C)sin( A)sin A，所以 sinA3sin AcosB，又 sinA0，解得 cosB ，13所以 sinB .1 cos2B1 19 223由 2，可得 cacosB2，解得 ac6.BA BC 所以 S ABC acsinB 6 2 .12 12 223 2考点三 解三角形中的最值(范围)问题方法技巧 由余弦定理中含两边和的平方(如 a2 b22 abcosC c2)且 a2 b22 ab，因此在解三角形中，若涉及已知条件中含边长之间的关系，且与面积有关的最值问题，一般利用 S absinC 型面积公式及基本不等式求解，有时也用到三角函数的有界性129在 AB
9、C 中， | |3，则 ABC 的面积的最大值为( )AC AB AC AB A. B. C. D3213214 212 21答案 B解析 设角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， | |3，即 bccosA3， a3，AC AB AC AB cos A 1 1 ，b2 c2 a22bc 92bc 3cosA2cos A ，0sin A ，25 21550tan A .212 ABC 的面积 S bcsinA tanA ，12 32 32 212 3214故 ABC 面积的最大值为 .321410已知 a， b， c 分别为 ABC 的内角 A， B， C 所对的边，其面积满足
10、S ABC a2，则 的14 cb最大值为( )A. 1 B.2 2C. 1 D. 22 2答案 C解析 根据题意，有 S ABC a2 bcsinA，即 a22 bcsinA应用余弦定理，可得14 12b2 c22 bccosA a22 bcsinA，令 t ，于是 t212 tcosA2 tsinA于是cb2tsinA2 tcosA t21，所以 2 sin t ，从而 t 2 ，当且仅当 A 时，2 (A 4) 1t 1t 2 4“”成立，解得 t 的最大值为 1.211已知 a， b， c 分别是 ABC 内角 A， B， C 的对边，满足cosAsinBsinCcos BsinAsi
11、nC2cos CsinAsinB，则 C 的最大值为_答案 3解析 由正弦定理，得 bccosA accosB2 abcosC，由余弦定理，得bc ac 2 ab ，b2 c2 a22bc c2 a2 b22ac a2 b2 c22ab a2 b22 c2，cos C a2 b2 c22ab a2 b2 12a2 b22ab ，当且仅当 a b 时，取等号a2 b24ab 2ab4ab 1200，tan B0.所以 tan(A B) ，tanA tanB1 tanAtanB 2tanB1 3tan2B 21tanB 3tanB 223 33当且仅当 3tan B，即 tanB 时，tan( A
12、 B)取得最大值，所以此时 B .1tanB 33 61在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，且 a b c， a2 b2 c2，则角 A 的取值范围是( )A. B.( 2， ) ( 4， 2)C. D.( 3， 2) (0， 2)答案 C解析 因为 a2 b2 c2，所以 cosA 0，所以 A 为锐角b2 c2 a22bc又因为 a b c，所以 A 为最大角，所以角 A 的取值范围是 .( 3， 2)2在 ABC 中，三内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，面积为 S，若 S a2( b c)2，则 cosA 等于( )A. B C. D45
13、45 1517 1517答案 D解析 由 S a2( b c)2，得 a2 b2 c22 bc .由余弦定理，可得(14sinA 1)sinA1cos A，结合 sin2Acos 2A1，可得 cosA .14 151773在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，记 S 为 ABC 的面积，若 A60，b1， S ，则 c_，cos B_.334答案 3 5714解析 因为 A60， b1，S bcsinA 1c ，334 12 12 32解得 c3.由余弦定理，可得a ，b2 c2 2bccosA1 9 21312 7所以 cosB .a2 c2 b22ac 7
14、 9 1273 5714解题秘籍 (1)解三角形时要依据三角形的形状及边角大小正确处理多解问题(2)对 已 知 关 系 式 进 行 转 化 时 ， 一 定 要 等 价 变 形 ， 尤 其 注 意 式 子 两 边 不 可 随 意 同 除 以 一 个 式子 1在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 a ， b ， B45，则角 A3 2等于( )A60 B120C90 D60或 120答案 D解析 由正弦定理可知 ，即 2，所以 sinA ，因为 ab，所asinA bsinB 3sinA 2sin45 32以 A45，所以 A60或 A120.故选 D.2在 ABC
15、 中，若 3， b2 a2 ac，则 cosB 的值为( )sinCsinA 52A. B. C. D.13 12 15 14答案 D解析 由题意知， c3 a， b2 a2 ac c22 accosB，52所以 cosB .c2 52ac2ac9a2 52a3a2a3a 1483已知在 ABC 中，( a b c)(sinAsin Bsin C) asinB，其中 A， B， C 为 ABC 的内角， a， b， c 分别为 A， B， C 的对边，则 C 等于( )A. B. C. D. 3 23 34 56答案 B解析 因为( a b c)(sinAsin Bsin C) asinB，所
16、以由正弦定理，可得( a b c)(a b c) ab，整理得 c2 a2 b2 ab，所以 cosC ，12因为 C(0，)，所以 C .故选 B.234在 ABC 中 ， 内 角 A， B， C 的 对 边 分 别 为 a， b， c， 已 知 a 1， 2b c 2acos C， sin 3C ，则 ABC 的面积为( )32A. B.32 34C. 或 D. 或32 34 3 32答案 C解析 因为 2b c2 acosC，3所以由正弦定理可得 2sinB sinC2sin AcosC，3所以 2sin(A C) sinC2sin AcosC.3所以 2cosAsinC sinC，又
17、sinC0，3所以 cosA ，32因为 0A180，所以 A30，因为 sinC ，所以 C60或 120.32当 C60时， A30，所以 B90，又 a1，所以 ABC 的面积为 12 ；12 32 32当 C120时， A30，所以 B30，又 a1，所以 ABC 的面积为 11 ，故选 C.12 32 345在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知三个向量 m ， n(a， cos A2)9， p 共线，则 ABC 的形状为( )(b， cos B2) (c， cos C2)A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形答案 A解析 向量 m
18、， n 共线，(a， cosA2) (b， cos B2) acos bcos .B2 A2由正弦定理得 sinAcos sin Bcos .B2 A22sin cos cos 2sin cos cos .A2 A2 B2 B2 B2 A2则 sin sin .A2 B20 ，0 ，A2 2 B2 2 ，即 A B.A2 B2同理可得 B C. ABC 的形状为等边三角形故选 A.6在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.若 ABC 为锐角三角形，且满足sinB(12cos C)2sin AcosCcos AsinC，则下列等式成立的是( )A a2 b B b2 a
19、C A2 B D B2 A答案 A解析 等式右边sin AcosC(sin AcosCcos AsinC)sin AcosCsin( A C)sin AcosCsin B，等式左边sin B2sin BcosC，sin B2sin BcosCsin AcosCsin B.由 cosC0，得 sinA2sin B.根据正弦定理，得 a2 b.7在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 tanB ， ，2 3a2 c2 b2 BC BA 12则 tanB 等于( )A. B. 132 3C2 D2 310答案 D解析 由余弦定理，得 a2 c2 b22 accosB，再
20、由 ，得 accosB ，BC BA 12 12所以 tanB 2 .故选 D.2 3a2 c2 b2 2 3212 38若 G 是 ABC 的重心， a， b， c 分别是 A， B， C 的对边，且 a b c 0，则角GA GB 33 GC A 等于( )A90 B60C45 D30答案 D解析 由重心性质可知 0，GA GB GC 故 ，代入 a b c 0 中，GA GB GC GA GB 33 GC 得 a a b c 0，GB GC GB 33 GC 即( b a) 0.GB (33c a)GC 因为 ， 不共线，所以Error!GB GC 即Error! 故 cosA ，b2
21、c2 a22bc 32因为 0 A180，所以 A30，故选 D.9在 ABC 中， B ， BC 边上的高等于 BC，则 cosA_. 4 13答案 1010解析 设 BC 边上的高为 AD，则 BC3 AD，又 B ，所以 BD AD， DC2 AD. 4所以 AC AD， AB AD.AD2 DC2 5 2由余弦定理，知 cosA .AB2 AC2 BC22ABAC 2AD2 5AD2 9AD222AD5AD 101010已知 a， b， c 分别为 ABC 的三个内角 A， B， C 的对边， a2，且(2 b)(sinAsin B)11( c b)sinC，则 ABC 面积的最大值为
22、_答案 3解析 由正弦定理得(2 b)(a b)( c b)c，即( a b)(a b)( c b)c，即b2 c2 a2 bc，所以 cosA ，因为 A(0，)，所以 A .b2 c2 a22bc 12 3又 b2 c2 a2 bc2 bc4，即 bc4，故 S ABC bcsinA 4 ，当且仅当 b c2 时，等号成立，则 ABC 面积的最大值为 .12 12 32 3 311.如图，在 ABC 中， AB ，点 D 在边 BC 上，2BD2 DC，cos DAC ，cos C ，则 AC_.31010 255答案 5解析 因为 BD2 DC，设 CD x， AD y，则 BD2 x，
23、因为 cos DAC ，cos C ，31010 255所以 sin DAC ，sin C ，在 ACD 中，1010 55由正弦定理可得 ，ADsinC CDsin DAC即 ，即 y x.y55x1010 2又 cos ADBcos( DAC C) ，31010 255 1010 55 22则 ADB . 4在 ABD 中， AB2 BD2 AD22 BDADcos ， 4即 24 x22 x222 x x ，222即 x21，所以 x1，即 BD2， DC1， AD ，2在 ACD 中， AC2 CD2 AD22 CDADcos 5，34得 AC .51212(2018北京)若 ABC 的面积为 (a2 c2 b2)，且 C 为钝角，则 B_； 的取34 ca值范围是_答案 (2，) 3解析 由余弦定理得 cosB ，a2 c2 b22ac a2 c2 b22 accosB.又 S (a2 c2 b2)，34 acsinB 2accosB，12 34tan B ，又 B(0，)，3 B . 3又 C 为钝角， C A ，23 20 A . 6由正弦定理得 .ca sin(23 A)sinA 32cosA 12sinAsinA 12 32 1tanA0tan A ， ，33 1tanA 3 2，ca 12 32 3即 2.ca 的取值范围是(2，)ca
