2018-2019学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入同步学案（打包5套）新人教A版选修1-2.zip

13.1.1 数系的扩充和复数的概念学习目标 1.了解数系的扩充过程与引入复数的必要性.2.理解复数的有关概念及其代数形式.3.掌握实数、虚数、纯虚数之间的关系及复数相等的充要条件.4.利用两个复数相等的充要条件解决实际问题．知识点一 对虚数单位的理解在实数集中，有些方程是无解的，例如 x2＋1＝0，为此，人们引进一个新数 i，并且规定：(1)它的平方等于－1，即 i2＝－1；(2)实数可以与它进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．知识点二 复数的概念与分类思考 为解决方程 x2＝2 在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程 x2＋1＝0 在实数系中无根的问题呢？答案 设想引入新数 i，使 i 是方程 x2＋1＝0 的根，即 i·i＝－1，方程 x2＋1＝0 有解，同时得到一些新数．梳理 (1)复数①定义：把集合 C＝{ a＋ bi|a， b∈R}中的数，即形如 a＋ bi(a， b∈R)的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位． a 叫做复数的实部， b 叫做复数的虚部．②表示方法：复数通常用字母 z 表示，即 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．(2)复数集①定义：全体复数所成的集合叫做复数集．②表示：通常用大写字母 C 表示．知识点三 两个复数相等的充要条件思考 由 42 能否推出 4＋i2＋i?答案 不能．当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小．梳理 在复数集 C＝{ a＋ bi|a， b∈R}中任取两个数 a＋ bi， c＋ di (a， b， c， d∈R)，我们规定： a＋ bi 与 c＋ di 相等的充要条件是 a＝ c 且 b＝ d.知识点四 复数的分类2(1)复数( a＋ bi， a， b∈R)Error!(2)集合表示：1．若 a， b 为实数，则 z＝ a＋ bi 为虚数．( × )2．复数 z＝ bi 是纯虚数．( × )3．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0，那么这两个复数相等．( √ )类型一 数系的扩充与复数的概念例 1 (1)在 2＋ ， i,0,8＋5i，(1－ )i,0.618 这几个数中，纯虚数的个数为( )727 3A．0 B．1C．2 D．3(2)给出下列四个命题：①若 z∈C，则 z2≥0；②2i－1 的虚部是 2i；③复数 3－4i 的实部与复数 4－3i 的虚部相等；④若 a∈R，则( a＋1)i 是纯虚数．其中真命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3考点 复数的概念题点 复数的概念及分类答案 (1)C (2)A解析 (1) i，(1－ )i 为纯虚数；2＋ ，0,0.618 是实数；8＋5i 是虚数．27 3 7(2)对于①，当 z∈R 时， z2≥0 成立，否则不一定成立，如 z＝i， z2＝－10；③ z 的虚部为 i.A．1 B．2C．3 D．0考点 复数的概念题点 复数的概念及分类答案 A解析 易知①正确，②③错误，故选 A.2．下列各数中，纯虚数的个数是( )2－ ， i，i 2,5i＋8，i 2＋1＋3i,0.618＋ ai(a∈R)．717A．0 B．1C．2 D．3考点 复数的概念题点 复数的概念及分类答案 C解析 由纯虚数的定义知， i，i 2＋1＋3i＝3i 是纯虚数．173．复数 z1＝sin2 θ ＋icos θ ， z2＝cos θ ＋i sinθ (θ ∈R)，若 z1＝ z2，则 θ 等于( )3A． kπ( k∈Z) B．2 kπ＋ (k∈Z)π 36C．2 kπ± (k∈Z) D．2 kπ＋ (k∈Z)π 2 π 6考点 复数相等题点 复数相等的条件答案 D解析 由复数相等的充要条件可知，Error!∴cos θ ＝ ，sin θ ＝ ，32 12∴ θ ＝ ＋2 kπ， k∈Z，故选 D.π 64．3i 2＋7i 的实部为________，虚部为________．考点 复数的概念题点 求复数的实部与虚部答案 －3 7解析 3i 2＋7i＝－3＋7i，实部为－3，虚部为 7.5．已知复数 z＝ m＋( m2－1)i( m∈R)满足 z0 且 a≠ b D． a≤0考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 D解析 复数 z 为实数的充要条件是 a＋| a|＝0，即| a|＝－ a，得 a≤0，故选 D.86．若复数( a2－3 a＋2)＋( a－1)i 是纯虚数，则实数 a 的值为( )A．1 B．2C．1 或 2 D．－1考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 B解析 因为复数( a2－3 a＋2)＋( a－1)i 是纯虚数，所以Error! 解得 a＝2.7．已知关于 x 的方程 x2＋( m＋2i) x＋2＋2i＝0( m∈R)有实数根 n，且 z＝ m＋ ni，则复数 z等于( )A．3＋i B．3－iC．－3－i D．－3＋i考点 复数相等题点 利用复数相等解决一元二次方程答案 B解析 由题意知 n2＋( m＋2i) n＋2＋2i＝0，即Error! 解得Error!∴ z＝3－i.8．若( x＋ y)i＝ x－1( x， y∈R)，则 2x＋ y的值为( )A. B．2C．0D．112考点 复数相等题点 复数相等的条件答案 D解析 由复数相等的充要条件知，Error!解得 Error!∴ x＋ y＝0.∴2 x＋ y＝2 0＝1.二、填空题9．若 4－3 a－ a2i＝ a2＋4 ai，则实数 a 的值为________．考点 复数相等题点 复数相等的条件答案 －4解析 易知Error!解得 a＝－4.10．已知实数 a， x， y 满足 a2＋2 a＋2 xy＋( a＋ x－ y)i＝0，则点( x， y)的轨迹方程是__________．9考点 复数相等题点 复数相等的条件答案 ( x－1) 2＋( y＋1) 2＝2解析 由复数相等的充要条件知，Error!消去 a，得 x2＋ y2－2 x＋2 y＝0，即( x－1) 2＋( y＋1)2＝2.11．设 m∈R， m2＋ m－2＋( m2－1)i 是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则 m＝________.考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 －2解析 由Error!解得 m＝－2.10三、解答题12．当实数 m 为何值时，复数 z＝ ＋( m2－2 m)i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．m2＋ m－ 6m考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数解 (1)当Error!即 m＝2 时，复数 z 是实数．(2)当 m2－2 m≠0 且 m≠0，即 m≠0 且 m≠2 时，复数 z 是虚数．(3)当Error!即 m＝－3 时，复数 z 是纯虚数．13．已知复数 z＝ a2－1－( a2－3 a＋2)i， a∈R.(1)若 z 是纯虚数，求 a 的值；(2)若 z 是虚数，且 z 的实部比虚部大，求 a 的取值范围．考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数解 复数 z＝ a2－1－( a2－3 a＋2)i， a∈R.(1)若 z 是纯虚数，可得 a2－1＝0， a2－3 a＋2≠0，解得 a＝－1.(2)若 z 是虚数，且 z 的实部比虚部大，可得 a2－1－ a2＋3 a－2≠0，解得 a1 或 a 且 a≠2.12所以 a 的取值范围为 ∪(1,2)∪(2，＋∞)．(－ ∞ ，12)四、探究与拓展14．已知 12log(m＋ n)－( m2－3 m)i≥－1，且 m∈R， n∈N *，则 m＋ n＝________.考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 1 或 2解析 由题意得Error!由②，得 m＝0 或 m＝3.当 m＝0 时，由 12log(m＋ n)≥－1，得 0n≤2，∴ n＝1 或 n＝2.当 m＝3 时，由 12l(m＋ n)≥－1，得 0n＋3≤2，11∴－3 n≤－1，即 n 无正整数解．∴ m， n 的值分别为 m＝0， n＝1 或 m＝0， n＝2.故 m＋ n 的值为 1 或 2.15．已知关于 x 的方程 x2＋(1－2i) x＋(3 m－i)＝0 有实根，求实数 m 的值．考点 复数相等题点 由复数相等解决一元二次方程问题解 设 a 为方程的一个实数根，则有 a2＋(1－2i) a＋(3 m－i)＝0，即( a2＋ a＋3 m)－(2 a＋1)i＝0.由复数相等的充要条件得Error!解得Error!故实数 m 的值为 .11213.1.2 复数的几何意义学习目标 1.了解复数 z、复平面内的点 Z、向量 之间的一一对应关系.2.理解并掌握复OZ→ 数的几何意义.3.通过对复数的几何意义的学习，了解“数与形”之间的联系，提高用数形结合思想解决问题的能力．知识点一 复平面的定义思考 1 实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？答案 任何一个复数 z＝ a＋ bi，都和一个有序实数对( a， b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系．思考 2 判断下列命题的真假：①在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；②在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；③在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；④在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数；⑤在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限．答案 ①②③正确，④⑤错误．因为原点在虚轴上，而其表示实数，所以④错．因为非纯虚数包括实数，而实数对应的点在实轴上，所以⑤错．梳理 如图所示，点 Z 的横坐标为 a，纵坐标为 b，复数 z＝ a＋ bi 可用点 Z(a， b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．知识点二 复数的几何意义思考 平面向量能够与复数一一对应的前提是什么？答案 向量的起点是原点．梳理 复数 z＝ a＋ bi(a， b∈R)与复平面内的点 Z(a， b)及以原点为起点，点 Z(a， b)为终点的向量 是一一对应的．OZ→ 2知识点三 复数的模思考 (1)复数的模一定是正数吗？(2)若复数 z 满足| z|＝1，则在复平面内，复数 z 对应的点 Z 的轨迹是什么？答案 (1)不一定，复数的模是非负数，即| z|≥0.当 z＝0 时，| z|＝0；反之，当| z|＝0 时，必有 z＝0.(2)点 Z 的轨迹是以原点为圆心，1 为半径的一个圆．梳理 复数 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，对应的向量为 ，则向量 的模 r 叫做复数 z＝ a＋ bi 的OZ→ OZ→ 模，记作| z|或| a＋ bi|.由模的定义可知：| z|＝| a＋ bi|＝ r＝ (r≥0， r∈R)．a2＋ b21．在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( √ )2．若| z1|＝| z2|，则 z1＝ z2.( × )类型一 复平面的相关概念例 1 (1)对于复平面，下列说法错误的是( )A．实轴上的点都表示实数，表示实数的点都在实轴上B．虚轴上的点都表示纯虚数，表示纯虚数的点都在虚轴上C．第一象限的点都表示实部为正数的虚数D．实部为正数、虚部为负数的虚数对应的点必定在第四象限考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系(2)下列命题为假命题的是( )A．复数的模是非负实数B．复数等于零的充要条件是它的模等于零C．两个复数的模相等是这两个复数相等的必要条件D．复数 z1z2的充要条件是| z1||z2|3考点 复数的模的定义与应用题点 利用定义求复数的模(3)向量 ＝(0，－3)对应的复数是________．OZ→ 考点 复数的几何意义题点 复数与向量的对应关系(4)已知复数 z＝2＋i(i 是虚数单位)，则| z|＝________.考点 复数的模的定义与应用题点 利用定义求复数的模答案 (1)B (2)D (3)－3i (4) 5解析 (1)原点是虚轴上的点，但它表示实数．(2)D 中两个复数不一定能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，故 D 错．(3)易知向量 对应的复数为－3i.OZ→ (4)|z|＝ ＝ .4＋ 1 5反思与感悟 确定复数对应的点在复平面内的位置时，关键是理解好复数与该点的对应关系，复数的实部就是该点的横坐标，复数的虚部就是该点的纵坐标，据此可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程或不等式求解．跟踪训练 1 已知复数 z＝ m－2－(4－ m2)i，且复数 z 在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数 m 的值为( )A．0B．2C．－2D．±2考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 B解析 当点在虚轴上时，实部 m－2＝0，∴ m＝2.类型二 复数的几何意义例 2 实数 x 分别取什么值时，复数 z＝( x2＋ x－6)＋( x2－2 x－15)i 对应的点 Z 在：(1)第三象限；(2)直线 x－ y－3＝0 上．考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系解 因为 x 是实数，所以 x2＋ x－6， x2－2 x－15 也是实数．(1)当实数 x 满足Error!即当－3 ，π 2∴ A － B，且 A∈ ， ∈ ，π 2 (0， π 2) (π 2－ B) (0， π 2)∴sin Asin ，(π 2－ B)即 sinAcosB，∴cos B－sin AcosA，∴sin B－cos A0，∴ z 在复平面内所对应的点位于第二象限．二、填空题8．设 z＝ a＋ bi(a， b∈R)和复平面内的点 Z(a， b)对应，当 b＝________时，点 Z 位于实轴上．考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系11答案 0解析 当 b＝0 时，复数 z＝ a＋ bi＝ a 为实数，其在复平面内对应的点落在实轴上．9．若复数 3－5i,1－i 和－2＋ ai 在复平面内对应的点在同一条直线上，则实数 a 的值为________．考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 5解析 由点(3，－5)，(1，－1)，(－2， a)共线可知 a＝5.10．设复数 z 的模为 17，虚部为－8，则复数 z＝________.考点 复数的模的定义与应用题点 由复数模的定义求复数答案 －15－8i 或 15－8i解析 设复数 z＝ a－8i( a∈R)，∵ ＝17，∴ a2＝225，a2＋ － 82∴ a＝±15，∴ z＝－15－8i 或 15－8i.11．复数 z＝－5－12i 在复平面内对应的点到原点的距离为________．考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 13解析 复数 z＝－5－12i 在复平面内对应的点为(－5，－12)，所以所求距离 d＝13.三、解答题12.在复平面内， A， B， C， D， E， F 六个点的位置如图所示(每个小正方形的边长为 1)．指出各点表示的复数，并对这些复数进行归类．考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系解 由图中所给点的位置可得 A 点对应的复数为 1＋i， B 点对应的复数为 3i， C 点对应的复数为－2＋2i， D 点对应的复数为－2－2i， E 点对应的复数为－2i， F 点对应的复数为 2.对复数进行分类可得，虚数有 A 点对应的复数 1＋i， B 点对应的复数 3i， C 点对应的复数－2＋2i， D 点对应的复数－2－2i， E 点对应的复数－2i.其中，纯虚数有 B 点对应的复数123i 和 E 点对应的复数－2i.实数有 F 点对应的复数 2.13．设全集 U＝C， A＝{ z|||z|－1|＝1－| z|， z∈C}， B＝{ z||z|1；(3)|z|＝2，且 ab.考点 复数的几何意义的综合应用题点 利用几何意义解决轨迹、图形问题13解 (1)在复平面内，满足不等式| a|1 的点的集合所组成的图形是直线 y＝1 以上及直线 y＝－1 以下的点组成的图形，两者的公共部分即为所求，即以原点为圆心，以 2 为半径的圆被直线 y＝±1 所截得的两个弓形区域，但不包括弦上的点，如图②所示．(3)方程| z|＝2 的解集对应的点的集合所组成的图形是以原点为圆心，以 2 为半径的圆周，满足条件 ab 的点组成的图形是位于直线 y＝ x 下方的半平面，其中不包括直线 y＝ x 上的点，两者的公共部分即为所求，如图③所示．13.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义学习目标 1.理解并掌握复数代数形式的加减运算法则.2.了解复数代数形式的加法、减法的几何意义，掌握不同数集中加减运算法则的联系与区别.3.在研究复数代数形式的加法、减法的几何意义时，充分利用向量加法、减法的性质．知识点一 复数代数形式的加减法思考 1 类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？答案 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即( a＋ bi)±(c＋ di)＝( a±c)＋( b±d)i.思考 2 若复数 z1， z2满足 z1－ z20，能否认为 z1z2?答案 不能，如 2＋i－i0，但 2＋i 与 i 不能比较大小．梳理 (1)运算法则设 z1＝ a＋ bi， z2＝ c＋ di 是任意两个复数，那么( a＋ bi)＋( c＋ di)＝( a＋ c)＋( b＋ d)i，( a＋ bi)－( c＋ di)＝( a－ c)＋( b－ d)i.(2)加法运算律对任意 z1， z2， z3∈C，有 z1＋ z2＝ z2＋ z1，( z1＋ z2)＋ z3＝ z1＋( z2＋ z3)．知识点二 复数加减法的几何意义思考 1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？答案 如图，设 ， 分别与复数 a＋ bi， c＋ di 对应，OZ1→ OZ2→ 则 ＝( a， b)， ＝( c， d)，OZ1→ OZ2→ 由平面向量的坐标运算，得 ＋ ＝( a＋ c， b＋ d)，OZ1→ OZ2→ 所以 ＋ 与复数( a＋ c)＋( b＋ d)i 对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行．OZ1→ OZ2→ 2思考 2 怎样作出与复数 z1－ z2对应的向量？答案 z1－ z2可以看作 z1＋(－ z2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行．所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与 z1－ z2对应的向量(如图)．图中 对应复数 z1，OZ1→ 对应复数 z2，则 对应复数 z1－ z2.OZ2→ Z2Z1― ― ― → 梳理复数加法的几何意义 复数 z1＋ z2是以 ， 为邻边的平行四边形的OZ1→ OZ2→ 对角线 所对应的复数OZ→ 复数减法的几何意义 复数 z1－ z2是从向量 的终点指向向量 的终OZ2→ OZ1→ 点的向量 所对应的复数Z2Z1→ 1．两个虚数的和或差可能是实数．( √ )2．在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．( √ )3．复数的减法不满足结合律，即( z1－ z2)－ z3＝ z1－( z2＋ z3)可能不成立．( × )类型一 复数的加、减法运算例 1 计算：(1) ＋ ；(2－12i) (12－ 2i)(2)(3＋2i)＋( －2)i；3(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．考点 复数的加减运算法则题点 复数加减法的综合应用解 (1)原式＝ － i＝ － i.(2＋12) (12＋ 2) 52 52(2)(3＋2i)＋( －2)i＝3＋(2＋ －2)i＝3＋ i.3 3 3(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i＝8＋2i.3反思与感悟 (1)复数的加减运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)当一个等式中同时含有| z|与 z 时，一般用待定系数法，设 z＝ x＋ yi(x， y∈R)．跟踪训练 1 (1)若复数 z 满足 z＋i－3＝3－i，则 z＝________.(2)(a＋ bi)－(2 a－3 bi)－3i＝________( a， b∈R)．(3)已知复数 z 满足| z|＋ z＝1＋3i，则 z＝________.考点 复数的加减运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 (1)6－2i (2)－ a＋(4 b－3)i (3)－4＋3i解析 (1)∵ z＋i－3＝3－i，∴ z＝6－2i.(2)(a＋ bi)－(2 a－3 bi)－3i＝( a－2 a)＋( b＋3 b－3)i＝－ a＋(4 b－3)i.(3)设 z＝ x＋ yi(x， y∈R)，| z|＝ ，x2＋ y2∴| z|＋ z＝( ＋ x)＋ yi＝1＋3i，x2＋ y2∴Error! 解得Error!∴ z＝－4＋3i.类型二 复数加、减法的几何意义例 2 已知复数 z1＝－2＋i， z2＝－1＋2i.(1)求 z1－ z2；(2)在复平面内作出 z1－ z2的运算结果所对应的向量．考点 复数的加减运算法则题点 复数加减法与向量的对应解 (1) z1－ z2＝(－2＋i)－(－1＋2i)＝－1－i.(2)在复平面内作 z1－ z2的运算结果所对应的向量，如图中所示的 .OZ→ 反思与感悟 复数的减法可以用向量来运算，同样可以运用平行四边形法则和三角形法则进行运算．跟踪训练 2 已知 z1＝2＋i， z2＝1－2i，则复数 z＝ z2－ z1在复平面内对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法与点的对应4答案 C解析 z＝ z2－ z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i，故复数 z 在复平面内对应的点的坐标为(－1，－3)，故选 C.类型三 复数加、减法及其几何意义的综合运用例 3 已知复数 z 的模为 2，求复数 1＋ i＋ z 的模的最大值、最小值．3考点 复数加减法的几何意义的应用题点 与加减法几何意义有关的模的最值问题解 由已知得，在复平面内复数 z 对应的点 Z 在以原点为圆心，半径为 2 的圆上．设 w＝1＋ i＋ z，∴ z＝ w－1－ i，3 3∴| z|＝| w－(1＋ i)|＝2，3∴在复平面内复数 w 对应的点在以(1， )为圆心，半径为 2 的圆上，且该圆过点(0,0)，3故|1＋ i＋ z|max＝4，|1＋ i＋ z|min＝0.3 3反思与感悟 在复平面内，任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去起点所对应的复数所得的差，即 所对应的复数是 zB－ zA， 所对应的复数是 zA－ zB，不可AB→ BA→ 把被减数与减数弄错．跟踪训练 3 在平行四边形 ABCD 中，点 A， B， C 对应的复数分别为 4＋i,3＋4i,3－5i，则点 D 对应的复数是( )A．2－3i B．4＋8iC．4－8i D．1＋4i考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法与点的对应答案 C解析 对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i＝－1＋3i.AB→ 设点 D 对应的复数为 z，则 对应的复数为(3－5i)－ z.DC→ 又 ＝ ，∴－1＋3i＝(3－5i)－ z，AB→ DC→ ∴ z＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i＝4－8i.1．计算(3＋i)－(2＋i)的结果为( )A．1 B．－iC．5＋2i D．1－i5考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的运算法则答案 A解析 (3＋i)－(2＋i)＝1.2．在复平面内，向量 对应的复数是 5－4i，向量 对应的复数是－5＋4i，则 ＋OZ1→ OZ2→ OZ1→ 对应的复数是( )OZ2→ A．－10＋8i B．10－8iC．0 D．10＋8i考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法与向量的对应答案 C解析 ＋ ＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，OZ1→ OZ2→ 故 ＋ 对应的复数为 0.OZ1→ OZ2→ 3．已知 z1， z2∈C，| z1＋ z2|＝2 ，| z1|＝2，| z2|＝2，则| z1－ z2|等于( )2A．1B. C．2D．212 2考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 D解析 由复数加法、减法的几何意义知，在复平面内，以 z1， z2所对应的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以| z1－ z2|＝2 .24．若 z1＝ x1＋ y1i， z2＝ x2＋ y2i(x1， x2， y1， y2∈R)，则| z2－ z1|＝________.考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 x2－ x12＋ y2－ y12解析 ∵ z1＝ x1＋ y1i， z2＝ x2＋ y2i，∴ z2－ z1＝( x2－ x1)＋( y2－ y1)i，∴| z2－ z1|＝ .x2－ x12＋ y2－ y125．若复数 z1＋ z2＝3＋4i， z1－ z2＝5－2i，则 2z1＝________.考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的运算法则答案 8＋2i6解析 两式相加得 2z1＝8＋2i.1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．一、选择题1．实数 x， y 满足 z1＝ y＋ xi， z2＝ yi－ x，且 z1－ z2＝2，则 xy 的值是( )A．1 B．2C．－2 D．－1考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 A解析 z1－ z2＝( y＋ x)＋( x－ y)i＝2，即Error! ∴ x＝ y＝1，则 xy＝1.2．已知复数 z1＝( a2－2)－3 ai， z2＝ a＋( a2＋2)i，若 z1＋ z2是纯虚数，那么实数 a 的值为( )A．1 B．2C．－2 D．－2 或 1考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 C解析 z1＋ z2＝( a2＋ a－2)＋( a2－3 a＋2)i，由题意知Error!解得 a＝－2.3．设复数 z 满足关系式 z＋| z|＝2＋i，那么 z 等于( )A．－ ＋i B. －i34 34C．－ －i D. ＋i34 34考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 D7解析 设 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，则 z＋| z|＝( a＋ )＋ bi＝2＋i，a2＋ b2则Error! 解得Error!∴ z＝ ＋i.344．已知 z1＝3－4i， z2＝－1＋2i，则复数 z＝ z1＋ z2在复平面内对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法与点的对应答案 D解析 z＝ z1＋ z2＝3－4i＋(－1＋2i)＝2－2i， z 在复平面内对应的点的坐标为(2，－2)，位于第四象限．5．已知复数 z 对应的向量如图所示，则复数 z＋1 对应的向量是( )考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法与向量的对应答案 A解析 由题图可知 z＝－2＋i，所以 z＋1＝－1＋i，故选 A.6．已知 z∈C，且| z＋1|－| z－i|＝0，则| z＋i|的最小值为( )A．0B．1C. D.22 12考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 C解析 由| z＋1|＝| z－i|知，在复平面内，复数 z 对应的点的轨迹是直线 y＝－ x，∴| z＋i|表示直线 y＝－ x 上的点到点(0，－1)的距离，故所求最小值等于点(0，－1)到直线 y＝－ x 的距离 .227．复数 z＝ x＋ yi(x， y∈R)满足| z－4i|＝| z＋2|，则 2x＋4 y的最小值为( )8A．2B．4C．4 D．82 2考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 C解析 ∵| z－4i|＝| z＋2|，且 z＝ x＋ yi，∴| x＋( y－4)i|＝| x＋2＋ yi|，∴ x2＋( y－4) 2＝( x＋2) 2＋ y2，∴ x＝－2 y＋3，∴2 x＋4 y＝2 －2 y＋3 ＋4 y＝8× y＋4 y≥4 ，(14) 2当且仅当 8× y＝4 y，(14)即 y＝ 时，等号成立．34二、填空题8．计算：(2＋7i)－|－3＋4i|＋|5－12i|i＋3－4i＝________.考点 复数的加减法的运算法则题点 复数加减法的运算法则答案 16i解析 原式＝2＋7i－5＋13i＋3－4i＝(2－5＋3)＋(7＋13－4)i＝16i.9．如果一个复数与它的模的和为 5＋ i，那么这个复数是 z＝________.3考点 复数相等题点 复数相等的条件答案 ＋ i115 3解析 设这个复数为 z＝ x＋ yi(x， y∈R)，∴ x＋ yi＋ ＝5＋ i，x2＋ y2 3∴Error! ∴Error!∴ z＝ x＋ yi＝ ＋ i.115 310．已知 z1＝(3 x＋ y)＋( y－4 x)i， z2＝(4 y－2 x)－(5 x＋3 y)i(x， y∈R)．若 z＝ z1－ z2，且z＝13－2i，则 z1＝________， z2＝________.考点 复数的加减法的运算法则题点 复数加减法的运算法则答案 5－9i －8－7i解析 z＝ z1－ z2＝[(3 x＋ y)＋( y－4 x)i]－[(4 y－2 x)－(5 x＋3 y)i]＝(5 x－3 y)＋( x＋4 y)i，9又 z＝13－2i，所以Error! 解得Error!所以 z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，z2＝(－4－2×2)－(5×2－3×1)i＝－8－7i.11．在平行四边形 OABC 中，各顶点对应的复数分别为zO＝0， zA＝2＋ i， zB＝－2 a＋3i， zC＝－ b＋ ai， a， b∈R，则 a－ b＝________.a2考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法与点的对应答案 －4解析 因为 ＋ ＝ ，OA→ OC→ OB→ 所以 2＋ i＋(－ b＋ ai)＝－2 a＋3i，a2所以Error! 解得Error! 故 a－ b＝－4.三、解答题12．(1)设 z1＝ x＋2i， z2＝3－ yi(x， y∈R)，且 z1＋ z2＝5－6i，求 x＋ yi；(2)已知复数 z1＝( a2－2)＋( a－4)i， z2＝ a－( a2－2)i( a∈R)，且 z1－ z2为纯虚数，求实数a 的值．考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的运算法则解 (1)∵ z1＋ z2＝ x＋3＋(2－ y)i，又 z1＋ z2＝5－6i，∴Error! ∴Error!∴ x＋ yi＝2＋8i.(2)∵ z1－ z2＝( a2－ a－2)＋( a－4＋ a2－2)i( a∈R)为纯虚数，∴Error! 解得 a＝－1.13．复数 z1＝ －2 mi， z2＝－ m＋ m2i， m∈R.若 z1＋ z20，求实数 m 的值．3m－ 1考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的运算法则解 z1＋ z2＝( －2 mi)＋(－ m＋ m2i)＝( － m)＋( m2－2 m)i.3m－ 1 3m－ 1∵ z1＋ z20，∴ z1＋ z2为实数且大于 0，∴Error! 解得 m＝2.四、探究与拓展14．已知 z1＝ a＋( a＋1)i， z2＝－3 b＋( b＋2)i( a， b∈R)，若 z1－ z2＝4 ，则32 3 310a＋ b＝________.考点 复数的加减法的运算法则题点 复数加减法的运算法则答案 3解析 z1－ z2＝ a＋( a＋1)i－[－3 b＋( b＋2)i]32 3＝ ＋[( a＋1)－( b＋2)]i＝ ＋( a－ b－1)i＝4 ，(32a＋ 33b) (32a＋ 33b) 3∴Error! 解得Error!∴ a＋ b＝3.15．设 z 为复数， D 为满足条件|| z|－1|＋| z|－1＝0 的点 Z 所构成图形的边界．(1)若复数 ω ＝ z＋1－2i(其中 z∈ D)，试证明表示复数 ω 的点在某一个圆上运动，并写出12此圆的复数方程；(2)若满足条件 ＝ 的点所构成的图形 D′与 D 有两个公共点 A， B， OA， OB 的倾|z＋12| |z－ 32i|斜角分别为 α ， β (O 为原点)，求 cos(α ＋ β )的值．考点 复数加减法几何意义的应用题点 与加减法几何意义有关的综合应用解 (1)由已知得|| z|－1|＝－(| z|－1)，∴| z|－1≤0，即| z|≤1，∴| z|＝1.又∵ ω ＝ z＋1－2i，12∴ ω －1＋2i＝ z，12∴| ω －(1－2i)|＝ |z|＝ ，12 12∴ ω 所对应的点在以(1，－2)为圆心， 为半径的圆上运动．12圆的复数方程为| ω －(1－2i)|＝ .12(2)设 z＝ x＋ yi(x， y∈R)，∵| z|＝1，∴ x2＋ y2＝1.①由 ＝ ，得 x＝－3 y＋2.②|z＋12| |z－ 32i|把②代入①整理得 10y2－12 y＋3＝0.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，11则 y1＋ y2＝ ， y1·y2＝ .65 310又 x2＋ y2＝1，设 x1＝cos α ， x2＝cos β ， y1＝sin α ， y2＝sin β ，∴sin α ·sinβ ＝ y1·y2＝ ，310cosα ·cosβ ＝ x1·x2＝(－3 y1＋2)(－3 y2＋2)＝9 y1y2－6( y1＋ y2)＋4＝－ .12∴cos( α ＋ β )＝－ .4513.2.2 复数代数形式的乘除运算学习目标 1.掌握复数代数形式的四则运算法则，熟练地运用复数的乘法、除法的运算法则.2.理解复数乘法的交换律、结合律、分配律.3.理解并掌握共轭复数的性质及应用．知识点一 复数的乘法及运算律思考 请你探究 in(n∈N *)的取值情况及其规律．答案 i n(n∈N *)的取值只有 i，－1，－i,1，且具有周期性，具体取值规律为：i4k＋1 ＝i，i 4k＋2 ＝－1，i 4k＋3 ＝－i，i 4k＝1， k∈N.梳理 (1)复数的乘法法则设 z1＝ a＋ bi， z2＝ c＋ di 是任意两个复数，那么它们的积(a＋ bi)(c＋ di)＝( ac－ bd)＋( ad＋ bc)i.(2)复数乘法的运算律对于任意 z1， z2， z3∈C，有交换律 z1z2＝ z2z1结合律 (z1z2)z3＝ z1(z2z3)乘法对加法的分配律 z1(z2＋ z3)＝ z1z2＋ z1z3知识点二 共轭复数思考 当两个复数互为共轭复数时，它们的乘积是一个怎样的数？与复数的模的关系是什么？答案 当两个复数互为共轭复数时，它们的乘积是一个实数，且有 z· ＝| z|2＝| |2.事实z z上，若 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，那么 z· ＝( a＋ bi)·(a－ bi)＝ a2＋ b2.z梳理 (1)共轭复数的概念一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数． z 的共轭复数用 表示．若 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，z则 ＝ a－ bi.z(2)共轭复数的性质①在复平面内，两个共轭复数对应的点关于实轴对称．②实数的共轭复数是它本身，即 z＝ ⇔z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数．z③若 z≠0 且 z＋ ＝0，则 z 为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数．z2④a. z· ＝| z|2＝| |2；b.| z|＝| |；c. z＋ ＝2 a， z－ ＝2 bi(z＝ a＋ bi， a， b∈R)．z z z z z知识点三 复数的除法法则1．复数的除法法则设 z1＝ a＋ bi， z2＝ c＋ di(a， b， c， d∈R， c＋ di≠0)，则 ＝ ＝ ＋ i.z1z2 a＋ bic＋ di ac＋ bdc2＋ d2 bc－ adc2＋ d2复数的除法的实质是分母实数化．若分母为 a＋ bi 型，则分子、分母同乘 a－ bi；若分母为a－ bi 型，则分子、分母同乘 a＋ bi.2．实数的平方根设 a∈R，当 a＝0 时， a 的平方根为 0；当 a0 时， a 的平方根是两个实数± ；当 a0(m， n， p∈R)的解集为(－1,2)，则复数 m＋ pi 所对应的点位于复平面内的第________象限．考点 复数的乘除法运算法则题点 运算结果与点的对应答案 二解析 ∵ mx2－ nx＋ p0(m， n， p∈R)的解集为(－1,2)，∴Error! ∴ m0.故复数 m＋ pi 所对应的点位于复平面内的第二象限．三、解答题11．计算：(1) (4i－6)；(12＋ 32i)12(2) .1－ i1＋ 2i1＋ i考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的运算法则解 (1) (4i－6)(12＋ 32i)＝ ·4i＋ ·(－6)＋ i·4i＋ i·(－6)12 12 32 32＝2i－3－6－9i＝－9－7i.(2)1－ i1＋ 2i1＋ i＝1－ i1＋ 2i1－ i1＋ i1－ i＝－ 2i1＋ 2i2＝－i(1＋2i)＝2－i.12．已知 1＋i 是方程 x2＋ bx＋ c＝0 的一个根( b， c∈R)．(1)求 b， c 的值；(2)试证明 1－i 也是方程的根．考点 复数四则运算的综合运用题点 与混合运算有关的方程问题(1)解 ∵1＋i 是方程 x2＋ bx＋ c＝0 的一个根，∴(1＋i) 2＋ b(1＋i)＋ c＝0，即 b＋ c＋(2＋ b)i＝0，∴Error! 解得Error!(2)证明 由(1)知方程为 x2－2 x＋2＝0，∴(1－i) 2－2(1－i)＋2＝0，∴1－i 也是方程的根．13．已知复数 z1， z2满足条件| z1|＝2，| z2|＝3,3 z1＋2 z2＝6，求 z1和 z2.考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的综合应用解 方法一 设 z1＝ a＋ bi， z2＝ c＋ di(a， b， c， d∈R)．∵| z1|＝2，| z2|＝3，∴ a2＋ b2＝4， c2＋ d2＝9.由 3z1＋2 z2＝6 得(3 a＋2 c)＋(3 b＋2 d)i＝6，13∴Error!由①得 a＝ ，由②得 b＝－ d，6－ 2c3 23将其代入 a2＋ b2＝4，得 c2＋ d2＝6 c.③将③与 c2＋ d2＝9 联立，解得 c＝ ， d＝± ，32 332再将 c， d 的值代入①②，得 a＝1， b＝∓ .3∴Error! 或Error!方法二 由 3z1＋2 z2＝6 得 2z2＝6－3 z1.∵| z2|＝3，∴|2 z2|＝6，∴|6－3 z1|＝6，即|2－ z1|＝2.设 z1＝ x＋ yi(x， y∈R)，将其代入|2－ z1|＝2 得|2－ x－ yi|＝2，即(2－ x)2＋ y2＝4.①又∵| z1|＝2，∴ x2＋ y2＝4.②由①②得 x＝1， y＝± .3∴Error! 或Error!14四、探究与拓展14．下面关于复数 z＝ 的结论正确的是( )2－ 1＋ i①| z|＝2；② z2＝2i；③ z 的共轭复数为 1＋i；④ z 的虚部为－1.A．①②B．②③C．②④D．③④考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的综合应用答案 C解析 因为 z＝ ＝ ＝－1－i，2－ 1＋ i 2×－ 1－ i－ 1＋ i－ 1－ i所以| z|＝ ＝ ， z2＝(－1－i) 2＝2i，－ 12＋ － 12 2z 的共轭复数为－1＋i， z 的虚部为－1，所以②④正确．15．设 z∈C，满足 z＋ ∈R， z－ 是纯虚数，求 z.1z 14考点 题点 解 设 z＝ x＋ yi(x， y∈R)，则 z＋ ＝( x＋ yi)＋1z 1x＋ yi＝ ＋ i.(x＋xx2＋ y2) (y－ yx2＋ y2)∵ z＋ ∈R，∴ y－ ＝0，1z yx2＋ y2解得 y＝0 或 x2＋ y2＝1.又∵ z－ ＝ ＋ yi 是纯虚数，14 (x－ 14)∴ x－ ＝0 且 y≠0.14∴ x＝ ， y＝± ，因此复数 z＝ ± i.14 154 14 154