1、13.1.1 数系的扩充和复数的概念学习目标 1.了解数系的扩充过程与引入复数的必要性.2.理解复数的有关概念及其代数形式.3.掌握实数、虚数、纯虚数之间的关系及复数相等的充要条件.4.利用两个复数相等的充要条件解决实际问题知识点一 对虚数单位的理解在实数集中，有些方程是无解的，例如 x210，为此，人们引进一个新数 i，并且规定：(1)它的平方等于1，即 i21；(2)实数可以与它进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立知识点二 复数的概念与分类思考 为解决方程 x22 在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程 x210 在实数系中无根的问题呢
2、？答案 设想引入新数 i，使 i 是方程 x210 的根，即 ii1，方程 x210 有解，同时得到一些新数梳理 (1)复数定义：把集合 C a bi|a， bR中的数，即形如 a bi(a， bR)的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位 a 叫做复数的实部， b 叫做复数的虚部表示方法：复数通常用字母 z 表示，即 z a bi(a， bR)，这一表示形式叫做复数的代数形式(2)复数集定义：全体复数所成的集合叫做复数集表示：通常用大写字母 C 表示知识点三 两个复数相等的充要条件思考 由 42 能否推出 4i2i?答案 不能当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小
3、梳理 在复数集 C a bi|a， bR中任取两个数 a bi， c di (a， b， c， dR)，我们规定： a bi 与 c di 相等的充要条件是 a c 且 b d.知识点四 复数的分类2(1)复数( a bi， a， bR)Error!(2)集合表示：1若 a， b 为实数，则 z a bi 为虚数( )2复数 z bi 是纯虚数( )3若两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0，那么这两个复数相等( )类型一 数系的扩充与复数的概念例 1 (1)在 2 ， i,0,85i，(1 )i,0.618 这几个数中，纯虚数的个数为( )727 3A0 B1C2 D3(2)给出下列四个命题
4、：若 zC，则 z20；2i1 的虚部是 2i；复数 34i 的实部与复数 43i 的虚部相等；若 aR，则( a1)i 是纯虚数其中真命题的个数为( )A0 B1C2 D3考点 复数的概念题点 复数的概念及分类答案 (1)C (2)A解析 (1) i，(1 )i 为纯虚数；2 ，0,0.618 是实数；85i 是虚数27 3 7(2)对于，当 zR 时， z20 成立，否则不一定成立，如 zi， z210； z 的虚部为 i.A1 B2C3 D0考点 复数的概念题点 复数的概念及分类答案 A解析 易知正确，错误，故选 A.2下列各数中，纯虚数的个数是( )2 ， i，i 2,5i8，i 21
5、3i,0.618 ai(aR)717A0 B1C2 D3考点 复数的概念题点 复数的概念及分类答案 C解析 由纯虚数的定义知， i，i 213i3i 是纯虚数173复数 z1sin2 icos ， z2cos i sin ( R)，若 z1 z2，则 等于( )3A k( kZ) B2 k (kZ) 36C2 k (kZ) D2 k (kZ) 2 6考点 复数相等题点 复数相等的条件答案 D解析 由复数相等的充要条件可知，Error!cos ，sin ，32 12 2 k， kZ，故选 D. 643i 27i 的实部为_，虚部为_考点 复数的概念题点 求复数的实部与虚部答案 3 7解析 3i
6、27i37i，实部为3，虚部为 7.5已知复数 z m( m21)i( mR)满足 z0 且 a b D a0考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 D解析 复数 z 为实数的充要条件是 a| a|0，即| a| a，得 a0，故选 D.86若复数( a23 a2)( a1)i 是纯虚数，则实数 a 的值为( )A1 B2C1 或 2 D1考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 B解析 因为复数( a23 a2)( a1)i 是纯虚数，所以Error! 解得 a2.7已知关于 x 的方程 x2( m2i) x22i0( mR)有实数根 n，且 z m ni，则复数 z等于( )
7、A3i B3iC3i D3i考点 复数相等题点 利用复数相等解决一元二次方程答案 B解析 由题意知 n2( m2i) n22i0，即Error! 解得Error! z3i.8若( x y)i x1( x， yR)，则 2x y的值为( )A. B2C0D112考点 复数相等题点 复数相等的条件答案 D解析 由复数相等的充要条件知，Error!解得 Error! x y0.2 x y2 01.二、填空题9若 43 a a2i a24 ai，则实数 a 的值为_考点 复数相等题点 复数相等的条件答案 4解析 易知Error!解得 a4.10已知实数 a， x， y 满足 a22 a2 xy( a
8、x y)i0，则点( x， y)的轨迹方程是_9考点 复数相等题点 复数相等的条件答案 ( x1) 2( y1) 22解析 由复数相等的充要条件知，Error!消去 a，得 x2 y22 x2 y0，即( x1) 2( y1)22.11设 mR， m2 m2( m21)i 是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则 m_.考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 2解析 由Error!解得 m2.10三、解答题12当实数 m 为何值时，复数 z ( m22 m)i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数m2 m 6m考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数解 (1)当Error!即 m2 时，
9、复数 z 是实数(2)当 m22 m0 且 m0，即 m0 且 m2 时，复数 z 是虚数(3)当Error!即 m3 时，复数 z 是纯虚数13已知复数 z a21( a23 a2)i， aR.(1)若 z 是纯虚数，求 a 的值；(2)若 z 是虚数，且 z 的实部比虚部大，求 a 的取值范围考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数解 复数 z a21( a23 a2)i， aR.(1)若 z 是纯虚数，可得 a210， a23 a20，解得 a1.(2)若 z 是虚数，且 z 的实部比虚部大，可得 a21 a23 a20，解得 a1 或 a 且 a2.12所以 a 的取值范围为 (1,
10、2)(2，)( ，12)四、探究与拓展14已知 12log(m n)( m23 m)i1，且 mR， nN *，则 m n_.考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 1 或 2解析 由题意得Error!由，得 m0 或 m3.当 m0 时，由 12log(m n)1，得 0n2， n1 或 n2.当 m3 时，由 12l(m n)1，得 0n32，113 n1，即 n 无正整数解 m， n 的值分别为 m0， n1 或 m0， n2.故 m n 的值为 1 或 2.15已知关于 x 的方程 x2(12i) x(3 mi)0 有实根，求实数 m 的值考点 复数相等题点 由复数相等解决一元
11、二次方程问题解 设 a 为方程的一个实数根，则有 a2(12i) a(3 mi)0，即( a2 a3 m)(2 a1)i0.由复数相等的充要条件得Error!解得Error!故实数 m 的值为 .11213.1.2 复数的几何意义学习目标 1.了解复数 z、复平面内的点 Z、向量 之间的一一对应关系.2.理解并掌握复OZ 数的几何意义.3.通过对复数的几何意义的学习，了解“数与形”之间的联系，提高用数形结合思想解决问题的能力知识点一 复平面的定义思考 1 实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？答案 任何一个复数 z a bi，都和一个有序实数对( a， b)一一对应，因此，复数
12、集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系思考 2 判断下列命题的真假：在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数；在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限答案 正确，错误因为原点在虚轴上，而其表示实数，所以错因为非纯虚数包括实数，而实数对应的点在实轴上，所以错梳理 如图所示，点 Z 的横坐标为 a，纵坐标为 b，复数 z a bi 可用点 Z(a， b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴实轴上的点都表
13、示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数知识点二 复数的几何意义思考 平面向量能够与复数一一对应的前提是什么？答案 向量的起点是原点梳理 复数 z a bi(a， bR)与复平面内的点 Z(a， b)及以原点为起点，点 Z(a， b)为终点的向量 是一一对应的OZ 2知识点三 复数的模思考 (1)复数的模一定是正数吗？(2)若复数 z 满足| z|1，则在复平面内，复数 z 对应的点 Z 的轨迹是什么？答案 (1)不一定，复数的模是非负数，即| z|0.当 z0 时，| z|0；反之，当| z|0 时，必有 z0.(2)点 Z 的轨迹是以原点为圆心，1 为半径的一个圆梳理 复数 z a bi
14、(a， bR)，对应的向量为 ，则向量 的模 r 叫做复数 z a bi 的OZ OZ 模，记作| z|或| a bi|.由模的定义可知：| z| a bi| r (r0， rR)a2 b21在复平面内，对应于实数的点都在实轴上( )2若| z1| z2|，则 z1 z2.( )类型一 复平面的相关概念例 1 (1)对于复平面，下列说法错误的是( )A实轴上的点都表示实数，表示实数的点都在实轴上B虚轴上的点都表示纯虚数，表示纯虚数的点都在虚轴上C第一象限的点都表示实部为正数的虚数D实部为正数、虚部为负数的虚数对应的点必定在第四象限考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系(2)下列命题为假命
15、题的是( )A复数的模是非负实数B复数等于零的充要条件是它的模等于零C两个复数的模相等是这两个复数相等的必要条件D复数 z1z2的充要条件是| z1|z2|3考点 复数的模的定义与应用题点 利用定义求复数的模(3)向量 (0，3)对应的复数是_OZ 考点 复数的几何意义题点 复数与向量的对应关系(4)已知复数 z2i(i 是虚数单位)，则| z|_.考点 复数的模的定义与应用题点 利用定义求复数的模答案 (1)B (2)D (3)3i (4) 5解析 (1)原点是虚轴上的点，但它表示实数(2)D 中两个复数不一定能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，故 D 错(3)易知向量 对应的复数为
16、3i.OZ (4)|z| .4 1 5反思与感悟 确定复数对应的点在复平面内的位置时，关键是理解好复数与该点的对应关系，复数的实部就是该点的横坐标，复数的虚部就是该点的纵坐标，据此可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程或不等式求解跟踪训练 1 已知复数 z m2(4 m2)i，且复数 z 在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数 m 的值为( )A0B2C2D2考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 B解析 当点在虚轴上时，实部 m20， m2.类型二 复数的几何意义例 2 实数 x 分别取什么值时，复数 z( x2 x6)( x22 x15)i 对应的点 Z 在：(1)第三象限
17、；(2)直线 x y30 上考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系解 因为 x 是实数，所以 x2 x6， x22 x15 也是实数(1)当实数 x 满足Error!即当3 ， 2 A B，且 A ， ， 2 (0， 2) ( 2 B) (0， 2)sin Asin ，( 2 B)即 sinAcosB，cos Bsin AcosA，sin Bcos A0， z 在复平面内所对应的点位于第二象限二、填空题8设 z a bi(a， bR)和复平面内的点 Z(a， b)对应，当 b_时，点 Z 位于实轴上考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系11答案 0解析 当 b0 时，复数 z a
18、bi a 为实数，其在复平面内对应的点落在实轴上9若复数 35i,1i 和2 ai 在复平面内对应的点在同一条直线上，则实数 a 的值为_考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 5解析 由点(3，5)，(1，1)，(2， a)共线可知 a5.10设复数 z 的模为 17，虚部为8，则复数 z_.考点 复数的模的定义与应用题点 由复数模的定义求复数答案 158i 或 158i解析 设复数 z a8i( aR)， 17， a2225，a2 82 a15， z158i 或 158i.11复数 z512i 在复平面内对应的点到原点的距离为_考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 1
19、3解析 复数 z512i 在复平面内对应的点为(5，12)，所以所求距离 d13.三、解答题12.在复平面内， A， B， C， D， E， F 六个点的位置如图所示(每个小正方形的边长为 1)指出各点表示的复数，并对这些复数进行归类考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系解 由图中所给点的位置可得 A 点对应的复数为 1i， B 点对应的复数为 3i， C 点对应的复数为22i， D 点对应的复数为22i， E 点对应的复数为2i， F 点对应的复数为 2.对复数进行分类可得，虚数有 A 点对应的复数 1i， B 点对应的复数 3i， C 点对应的复数22i， D 点对应的复数22i，
20、E 点对应的复数2i.其中，纯虚数有 B 点对应的复数123i 和 E 点对应的复数2i.实数有 F 点对应的复数 2.13设全集 UC， A z|z|1|1| z|， zC， B z|z|1；(3)|z|2，且 ab.考点 复数的几何意义的综合应用题点 利用几何意义解决轨迹、图形问题13解 (1)在复平面内，满足不等式| a|1 的点的集合所组成的图形是直线 y1 以上及直线 y1 以下的点组成的图形，两者的公共部分即为所求，即以原点为圆心，以 2 为半径的圆被直线 y1 所截得的两个弓形区域，但不包括弦上的点，如图所示(3)方程| z|2 的解集对应的点的集合所组成的图形是以原点为圆心，以
21、 2 为半径的圆周，满足条件 ab 的点组成的图形是位于直线 y x 下方的半平面，其中不包括直线 y x 上的点，两者的公共部分即为所求，如图所示13.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义学习目标 1.理解并掌握复数代数形式的加减运算法则.2.了解复数代数形式的加法、减法的几何意义，掌握不同数集中加减运算法则的联系与区别.3.在研究复数代数形式的加法、减法的几何意义时，充分利用向量加法、减法的性质知识点一 复数代数形式的加减法思考 1 类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？答案 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即( a bi)(c di)(
22、 ac)( bd)i.思考 2 若复数 z1， z2满足 z1 z20，能否认为 z1z2?答案 不能，如 2ii0，但 2i 与 i 不能比较大小梳理 (1)运算法则设 z1 a bi， z2 c di 是任意两个复数，那么( a bi)( c di)( a c)( b d)i，( a bi)( c di)( a c)( b d)i.(2)加法运算律对任意 z1， z2， z3C，有 z1 z2 z2 z1，( z1 z2) z3 z1( z2 z3)知识点二 复数加减法的几何意义思考 1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？答案 如图，设 ，
23、 分别与复数 a bi， c di 对应，OZ1 OZ2 则 ( a， b)， ( c， d)，OZ1 OZ2 由平面向量的坐标运算，得 ( a c， b d)，OZ1 OZ2 所以 与复数( a c)( b d)i 对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行OZ1 OZ2 2思考 2 怎样作出与复数 z1 z2对应的向量？答案 z1 z2可以看作 z1( z2)因为复数的加法可以按照向量的加法来进行所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与 z1 z2对应的向量(如图)图中 对应复数 z1，OZ1 对应复数 z2，则 对应复数 z1 z2.OZ2 Z2Z1 梳理复数加法的几何意义 复数 z1
24、 z2是以 ， 为邻边的平行四边形的OZ1 OZ2 对角线 所对应的复数OZ 复数减法的几何意义 复数 z1 z2是从向量 的终点指向向量 的终OZ2 OZ1 点的向量 所对应的复数Z2Z1 1两个虚数的和或差可能是实数( )2在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部( )3复数的减法不满足结合律，即( z1 z2) z3 z1( z2 z3)可能不成立( )类型一 复数的加、减法运算例 1 计算：(1) ；(212i) (12 2i)(2)(32i)( 2)i；3(3)(63i)(32i)(34i)(2i)考点 复数的加减运算法则题点 复数加减法的综合应用解 (1)原式
25、 i i.(212) (12 2) 52 52(2)(32i)( 2)i3(2 2)i3 i.3 3 3(3)(63i)(32i)(34i)(2i)633(2)32(4)1i82i.3反思与感悟 (1)复数的加减运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减(2)当一个等式中同时含有| z|与 z 时，一般用待定系数法，设 z x yi(x， yR)跟踪训练 1 (1)若复数 z 满足 zi33i，则 z_.(2)(a bi)(2 a3 bi)3i_( a， bR)(3)已知复数 z 满足| z| z13i，则 z_.考点 复数的加减运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 (1)62i (2) a
26、(4 b3)i (3)43i解析 (1) zi33i， z62i.(2)(a bi)(2 a3 bi)3i( a2 a)( b3 b3)i a(4 b3)i.(3)设 z x yi(x， yR)，| z| ，x2 y2| z| z( x) yi13i，x2 y2Error! 解得Error! z43i.类型二 复数加、减法的几何意义例 2 已知复数 z12i， z212i.(1)求 z1 z2；(2)在复平面内作出 z1 z2的运算结果所对应的向量考点 复数的加减运算法则题点 复数加减法与向量的对应解 (1) z1 z2(2i)(12i)1i.(2)在复平面内作 z1 z2的运算结果所对应的向
27、量，如图中所示的 .OZ 反思与感悟 复数的减法可以用向量来运算，同样可以运用平行四边形法则和三角形法则进行运算跟踪训练 2 已知 z12i， z212i，则复数 z z2 z1在复平面内对应的点位于( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法与点的对应4答案 C解析 z z2 z1(12i)(2i)13i，故复数 z 在复平面内对应的点的坐标为(1，3)，故选 C.类型三 复数加、减法及其几何意义的综合运用例 3 已知复数 z 的模为 2，求复数 1 i z 的模的最大值、最小值3考点 复数加减法的几何意义的应用题点 与加减法几何意义有关的模的
28、最值问题解 由已知得，在复平面内复数 z 对应的点 Z 在以原点为圆心，半径为 2 的圆上设 w1 i z， z w1 i，3 3| z| w(1 i)|2，3在复平面内复数 w 对应的点在以(1， )为圆心，半径为 2 的圆上，且该圆过点(0,0)，3故|1 i z|max4，|1 i z|min0.3 3反思与感悟 在复平面内，任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去起点所对应的复数所得的差，即 所对应的复数是 zB zA， 所对应的复数是 zA zB，不可AB BA 把被减数与减数弄错跟踪训练 3 在平行四边形 ABCD 中，点 A， B， C 对应的复数分别为 4i,3
29、4i,35i，则点 D 对应的复数是( )A23i B48iC48i D14i考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法与点的对应答案 C解析 对应的复数为(34i)(4i)(34)(41)i13i.AB 设点 D 对应的复数为 z，则 对应的复数为(35i) z.DC 又 ，13i(35i) z，AB DC z(35i)(13i)(31)(53)i48i.1计算(3i)(2i)的结果为( )A1 BiC52i D1i5考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的运算法则答案 A解析 (3i)(2i)1.2在复平面内，向量 对应的复数是 54i，向量 对应的复数是54i，则 OZ1 OZ2 O
30、Z1 对应的复数是( )OZ2 A108i B108iC0 D108i考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法与向量的对应答案 C解析 (5，4)(5,4)(0,0)，OZ1 OZ2 故 对应的复数为 0.OZ1 OZ2 3已知 z1， z2C，| z1 z2|2 ，| z1|2，| z2|2，则| z1 z2|等于( )2A1B. C2D212 2考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 D解析 由复数加法、减法的几何意义知，在复平面内，以 z1， z2所对应的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以| z1 z2|2 .24若 z1 x1 y1i， z2 x2 y2i(x1，
31、 x2， y1， y2R)，则| z2 z1|_.考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 x2 x12 y2 y12解析 z1 x1 y1i， z2 x2 y2i， z2 z1( x2 x1)( y2 y1)i，| z2 z1| .x2 x12 y2 y125若复数 z1 z234i， z1 z252i，则 2z1_.考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的运算法则答案 82i6解析 两式相加得 2z182i.1复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算2复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则一、选
32、择题1实数 x， y 满足 z1 y xi， z2 yi x，且 z1 z22，则 xy 的值是( )A1 B2C2 D1考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 A解析 z1 z2( y x)( x y)i2，即Error! x y1，则 xy1.2已知复数 z1( a22)3 ai， z2 a( a22)i，若 z1 z2是纯虚数，那么实数 a 的值为( )A1 B2C2 D2 或 1考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 C解析 z1 z2( a2 a2)( a23 a2)i，由题意知Error!解得 a2.3设复数 z 满足关系式 z| z|2i，那么
33、 z 等于( )A i B. i34 34C i D. i34 34考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 D7解析 设 z a bi(a， bR)，则 z| z|( a ) bi2i，a2 b2则Error! 解得Error! z i.344已知 z134i， z212i，则复数 z z1 z2在复平面内对应的点位于( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法与点的对应答案 D解析 z z1 z234i(12i)22i， z 在复平面内对应的点的坐标为(2，2)，位于第四象限5已知复数 z 对应的向量如图所示，则复数 z1 对
34、应的向量是( )考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法与向量的对应答案 A解析 由题图可知 z2i，所以 z11i，故选 A.6已知 zC，且| z1| zi|0，则| zi|的最小值为( )A0B1C. D.22 12考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 C解析 由| z1| zi|知，在复平面内，复数 z 对应的点的轨迹是直线 y x，| zi|表示直线 y x 上的点到点(0，1)的距离，故所求最小值等于点(0，1)到直线 y x 的距离 .227复数 z x yi(x， yR)满足| z4i| z2|，则 2x4 y的最小值为( )8A2B4C4 D82 2考点
35、 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 C解析 | z4i| z2|，且 z x yi，| x( y4)i| x2 yi|， x2( y4) 2( x2) 2 y2， x2 y3，2 x4 y2 2 y3 4 y8 y4 y4 ，(14) 2当且仅当 8 y4 y，(14)即 y 时，等号成立34二、填空题8计算：(27i)|34i|512i|i34i_.考点 复数的加减法的运算法则题点 复数加减法的运算法则答案 16i解析 原式27i513i34i(253)(7134)i16i.9如果一个复数与它的模的和为 5 i，那么这个复数是 z_.3考点 复数相等题点 复数相等的条件答案
36、 i115 3解析 设这个复数为 z x yi(x， yR)， x yi 5 i，x2 y2 3Error! Error! z x yi i.115 310已知 z1(3 x y)( y4 x)i， z2(4 y2 x)(5 x3 y)i(x， yR)若 z z1 z2，且z132i，则 z1_， z2_.考点 复数的加减法的运算法则题点 复数加减法的运算法则答案 59i 87i解析 z z1 z2(3 x y)( y4 x)i(4 y2 x)(5 x3 y)i(5 x3 y)( x4 y)i，9又 z132i，所以Error! 解得Error!所以 z1(321)(142)i59i，z2(4
37、22)(5231)i87i.11在平行四边形 OABC 中，各顶点对应的复数分别为zO0， zA2 i， zB2 a3i， zC b ai， a， bR，则 a b_.a2考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法与点的对应答案 4解析 因为 ，OA OC OB 所以 2 i( b ai)2 a3i，a2所以Error! 解得Error! 故 a b4.三、解答题12(1)设 z1 x2i， z23 yi(x， yR)，且 z1 z256i，求 x yi；(2)已知复数 z1( a22)( a4)i， z2 a( a22)i( aR)，且 z1 z2为纯虚数，求实数a 的值考点 复数的加减法运
38、算法则题点 复数加减法的运算法则解 (1) z1 z2 x3(2 y)i，又 z1 z256i，Error! Error! x yi28i.(2) z1 z2( a2 a2)( a4 a22)i( aR)为纯虚数，Error! 解得 a1.13复数 z1 2 mi， z2 m m2i， mR.若 z1 z20，求实数 m 的值3m 1考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的运算法则解 z1 z2( 2 mi)( m m2i)( m)( m22 m)i.3m 1 3m 1 z1 z20， z1 z2为实数且大于 0，Error! 解得 m2.四、探究与拓展14已知 z1 a( a1)i， z
39、23 b( b2)i( a， bR)，若 z1 z24 ，则32 3 310a b_.考点 复数的加减法的运算法则题点 复数加减法的运算法则答案 3解析 z1 z2 a( a1)i3 b( b2)i32 3 ( a1)( b2)i ( a b1)i4 ，(32a 33b) (32a 33b) 3Error! 解得Error! a b3.15设 z 为复数， D 为满足条件| z|1| z|10 的点 Z 所构成图形的边界(1)若复数 z12i(其中 z D)，试证明表示复数 的点在某一个圆上运动，并写出12此圆的复数方程；(2)若满足条件 的点所构成的图形 D与 D 有两个公共点 A， B，
40、OA， OB 的倾|z12| |z 32i|斜角分别为 ， (O 为原点)，求 cos( )的值考点 复数加减法几何意义的应用题点 与加减法几何意义有关的综合应用解 (1)由已知得| z|1|(| z|1)，| z|10，即| z|1，| z|1.又 z12i，12 12i z，12| (12i)| |z| ，12 12 所对应的点在以(1，2)为圆心， 为半径的圆上运动12圆的复数方程为| (12i)| .12(2)设 z x yi(x， yR)，| z|1， x2 y21.由 ，得 x3 y2.|z12| |z 32i|把代入整理得 10y212 y30.设 A(x1， y1)， B(x2
41、， y2)，11则 y1 y2 ， y1y2 .65 310又 x2 y21，设 x1cos ， x2cos ， y1sin ， y2sin ，sin sin y1y2 ，310cos cos x1x2(3 y12)(3 y22)9 y1y26( y1 y2)4 .12cos( ) .4513.2.2 复数代数形式的乘除运算学习目标 1.掌握复数代数形式的四则运算法则，熟练地运用复数的乘法、除法的运算法则.2.理解复数乘法的交换律、结合律、分配律.3.理解并掌握共轭复数的性质及应用知识点一 复数的乘法及运算律思考 请你探究 in(nN *)的取值情况及其规律答案 i n(nN *)的取值只有
42、i，1，i,1，且具有周期性，具体取值规律为：i4k1 i，i 4k2 1，i 4k3 i，i 4k1， kN.梳理 (1)复数的乘法法则设 z1 a bi， z2 c di 是任意两个复数，那么它们的积(a bi)(c di)( ac bd)( ad bc)i.(2)复数乘法的运算律对于任意 z1， z2， z3C，有交换律 z1z2 z2z1结合律 (z1z2)z3 z1(z2z3)乘法对加法的分配律 z1(z2 z3) z1z2 z1z3知识点二 共轭复数思考 当两个复数互为共轭复数时，它们的乘积是一个怎样的数？与复数的模的关系是什么？答案 当两个复数互为共轭复数时，它们的乘积是一个实数
43、，且有 z | z|2| |2.事实z z上，若 z a bi(a， bR)，那么 z ( a bi)(a bi) a2 b2.z梳理 (1)共轭复数的概念一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数 z 的共轭复数用 表示若 z a bi(a， bR)，z则 a bi.z(2)共轭复数的性质在复平面内，两个共轭复数对应的点关于实轴对称实数的共轭复数是它本身，即 z zR，利用这个性质可证明一个复数为实数z若 z0 且 z 0，则 z 为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数z2a. z | z|2| |2；b.|
44、 z| |；c. z 2 a， z 2 bi(z a bi， a， bR)z z z z z知识点三 复数的除法法则1复数的除法法则设 z1 a bi， z2 c di(a， b， c， dR， c di0)，则 i.z1z2 a bic di ac bdc2 d2 bc adc2 d2复数的除法的实质是分母实数化若分母为 a bi 型，则分子、分母同乘 a bi；若分母为a bi 型，则分子、分母同乘 a bi.2实数的平方根设 aR，当 a0 时， a 的平方根为 0；当 a0 时， a 的平方根是两个实数 ；当 a0(m， n， pR)的解集为(1,2)，则复数 m pi 所对应的点位于
45、复平面内的第_象限考点 复数的乘除法运算法则题点 运算结果与点的对应答案 二解析 mx2 nx p0(m， n， pR)的解集为(1,2)，Error! m0.故复数 m pi 所对应的点位于复平面内的第二象限三、解答题11计算：(1) (4i6)；(12 32i)12(2) .1 i1 2i1 i考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的运算法则解 (1) (4i6)(12 32i) 4i (6) i4i i(6)12 12 32 322i369i97i.(2)1 i1 2i1 i1 i1 2i1 i1 i1 i 2i1 2i2i(12i)2i.12已知 1i 是方程 x2 bx c0 的一个
46、根( b， cR)(1)求 b， c 的值；(2)试证明 1i 也是方程的根考点 复数四则运算的综合运用题点 与混合运算有关的方程问题(1)解 1i 是方程 x2 bx c0 的一个根，(1i) 2 b(1i) c0，即 b c(2 b)i0，Error! 解得Error!(2)证明 由(1)知方程为 x22 x20，(1i) 22(1i)20，1i 也是方程的根13已知复数 z1， z2满足条件| z1|2，| z2|3,3 z12 z26，求 z1和 z2.考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的综合应用解 方法一 设 z1 a bi， z2 c di(a， b， c， dR)| z1|2
47、，| z2|3， a2 b24， c2 d29.由 3z12 z26 得(3 a2 c)(3 b2 d)i6，13Error!由得 a ，由得 b d，6 2c3 23将其代入 a2 b24，得 c2 d26 c.将与 c2 d29 联立，解得 c ， d ，32 332再将 c， d 的值代入，得 a1， b .3Error! 或Error!方法二 由 3z12 z26 得 2z263 z1.| z2|3，|2 z2|6，|63 z1|6，即|2 z1|2.设 z1 x yi(x， yR)，将其代入|2 z1|2 得|2 x yi|2，即(2 x)2 y24.又| z1|2， x2 y24.
48、由得 x1， y .3Error! 或Error!14四、探究与拓展14下面关于复数 z 的结论正确的是( )2 1 i| z|2； z22i； z 的共轭复数为 1i； z 的虚部为1.ABCD考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的综合应用答案 C解析 因为 z 1i，2 1 i 2 1 i 1 i 1 i所以| z| ， z2(1i) 22i， 12 12 2z 的共轭复数为1i， z 的虚部为1，所以正确15设 zC，满足 z R， z 是纯虚数，求 z.1z 14考点 题点 解 设 z x yi(x， yR)，则 z ( x yi)1z 1x yi i.(xxx2 y2) (y yx2 y2) z R， y 0，1z yx2 y2解得 y0 或 x2 y21.又 z yi 是纯虚数，14 (x 14) x 0 且 y0.14 x ， y ，因此复数 z i.14 154 14 154
