1、1压轴小题突破练(3)1如图，过双曲线 1( a0， b0)的左焦点 F( c,0)(c0)，作圆 x2 y2 的x2a2 y2b2 a24切线，切点为 E，延长 FE交双曲线右支于点 P，若 2 ，则双曲线的离心率为( )OP OE OF A. B.10103C. D.102 2答案 C解析 由 2 ，得OP OE OF ( )，可知 E为 PF的中点，OE 12OF OP 令右焦点为 F，则 O为 FF的中点，| PF|2| OE| a，又| PF| PF|2 a，| PF|3 a， E为切点， OE PF， PF PF，| PF|2| PF| 2| FF| 2，10 a24 c2， e
2、.1022在 ABC中， BC7， AC6，cos C .若动点 P满足 (1 ) ( R)，267 AP AB 23AC 则点 P的轨迹与直线 BC， AC所围成的封闭区域的面积为( )A5 B10C2 D46 6答案 A解析 设 ，AD 23AC 所以 (1 ) (1 ) ，AP 23AC AB AD AB 则 B， P， D三点共线，故 P点的轨迹为直线 BD.则点 P的轨迹与直线 BC， AC围成的封闭区域为 BCD及其内部区域因为 sinC2 ，则 S BCD BCCDsinC 7 6 5.1 cos2C57 12 12 13 573已知向量 a， b满足| a|2 |b|0，且关于
3、 x的函数 f(x)2 x33| a|x26 abx72在实数集 R上单调递增，则向量 a， b的夹角的取值范围是( )A. B.0，6 0， 3C. D.0，4 6， 4答案 C解析 求导可得 f( x)6 x26| a|x6 ab，则由函数 f(x)2 x33| a|x26 abx7 在实数集 R上单调递增，可得 f( x)6 x26| a|x6 ab0 在 R上恒成立，即 x2| a|x ab0 恒成立，故判别式 a24 ab0 恒成立，再由| a|2 |b|0，2可得 8|b|28 |b|2cos a， b ，2cos a， b ，22又 a， b0， a， b .0，44设 A， B
4、分别为双曲线 1( a0， b0)的左、右顶点， P是双曲线上不同于 A， B的x2a2 y2b2一点，设直线 AP， BP的斜率分别为 m， n，则 2ln 2ln 取得最小值时，双4ba ab 12mn |m| |n|曲线的离心率为( )A. B.5 6C. D.52 62答案 C解析 设 A( a,0)， B(a,0), P(x0， y0)(x0 a)，点 P在双曲线上，得 1，所以x20a2 y20b2kPAkPB ，即 mn ，y0x0 a y0x0 a y20x20 a2 b2a2 b2a2 2ln| m|2ln| n|4 2ln ，4ba ab 12mn 12mn |mn|设函数
5、 f(x)2ln x (x0), f( x) ，所以 f(x)在区间 上单调递12x 2x 12x2 4x 12x2 (0， 14)减，在区间 上单调递增 f(x)min f ，即 mn ，又基本不等式等号成立(14， ) (14) b2a2 143的条件为当且仅当 a24 b2，所以 e .1 (ba)2 525如图，在边长为 2的正方形 ABCD中， E， F分别为 AD， CD的中点，连接 BF，交 AC， CE于 G， H两点，记 I1 ， I2 ， I3 ，则 I1， I2， I3的大小关系是( )GA GB GF GC HE HF A I10， y0. 2 x2 y2 xy x2
6、y2|CP | 19 1681 427 19 1681 16272 ，19x21681y2 1627 169当且仅当 x2 y2，即 3x4 y，即 3 4 时等号成立即 min .19 1681 |CA | |CB | |CP | 4316在 ABC中， AB6 ， AC6， BAC ，点 D满足 ，点 E在线段 AD上运动，24 BD 23BC 若 ，则 3 取得最小值时，向量 的模为_AE AB AC 13 AE 答案 2 5解析 在 ABC中， AB6 ， AC6， BAC ，可得 BC6.24 AC2 BC2 AB2，即 AC BC.点 D满足 ，BD 23BC CD2.如图建立平面
7、直角坐标系，则 A(0,6)， B(6,0)， D(2,0)，设 k (2 k，6 k)， (6，6) (0，6)(6 ，6 6 )，AE AD AE AB AC 2 k6 ，6 k6 6 ， 2 ，3 3 2 ，13 16 12 2当且仅当 2 时等号成立11810此时 (6 ，18 )，| | 2 .AE AE 36 2 324 2 517已知 a， b， c是三个单位向量，且 ca cb0，则对于任意的正实数 t，的最小值为 ，则 ab_.|c ta1tb| 12答案 或18 78解析 设 a， c夹角为 ，则 a， b夹角为 2 ， 21 t2 2 ac2 ab|c ta1tb| 1t2 (t 1t) 22 cos 2cos2 1( t0)，(t1t) (t 1t)将 2看作关于 t 的二次函数，|c ta1tb| 1t0cos 1， t 2，1t当 t 2 即 t1 时， ，1t |c ta 1tb| 2min 14即 44cos 2cos2 1 ，14解得 cos 或 cos .14 34当 cos 时，cos2 ， ab ，14 78 78当 cos 时，cos2 ， ab ，34 18 18综上， ab 或 .18 78
