1、1四 柱坐标系与球坐标系简介学习目标 1.了解柱坐标系、球坐标系的特征.2.掌握柱坐标系、球坐标系与空间直角坐标系的关系，并掌握坐标间的互化公式.3.能利用柱坐标、球坐标与空间坐标的转化解决相关问题知识点一 柱坐标系思考 要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？答案 空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离梳理 柱坐标系的概念(1)定义：建立空间直角坐标系 Oxyz，设 P 是空间任意一点，它在平面 Oxy 上的射影为 Q，用( ， )( 0,0 0， .点 M 的柱坐标为 . 2 (1， 2， 2)(2)由变换公式Error!x2cos 0， y2sin 2， 2 2故点
2、 N 的直角坐标为(0,2,3)类型二 球坐标与直角坐标的互化3例 2 (1)已知点 P 的球坐标为 ，求它的直角坐标；(4，34， 4)(2)已知点 M 的直角坐标为(2，2，2 )，求它的球坐标2解 (1)由变换公式，得x rsin cos 4sin cos 2.34 4y rsin sin 4sin sin 2.34 4z rcos 4cos 2 .34 2故其直角坐标为(2,2，2 )2(2)由坐标变换公式，可得r 4.x2 y2 z2 22 22 222由 rcos z2 ，2得 cos ， . 22r 22 34又 tan 1， ，yx 54从而知 M 点的球坐标为 .(4，34，
3、 54)反思与感悟 由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为( r， ， )，利用变换公式Error!求出 r， ， 即可；也可以利用 r2 x2 y2 z2，tan ，cos 来求，要特yx zr别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚 和 所在的位置跟踪训练 2 把下列各点的球坐标化为直角坐标(1) ；(2) .(2，34， 54) (6， 3， 6)解 设点的直角坐标为( x， y， z)(1)( r， ， ) ，(2，34， 54)Error!(1，1， )为所求2(2)( r， ， ) ，(6， 3， 6)Error! 为所求(364， 324， 62)类型三 求点的坐标4例 3 已知
4、正四棱柱 ABCD A1B1C1D1，底面 ABCD 边长为 1，高 AA1为 ，建立空间直角坐标6系(如图)， Ax 为极轴，求点 C1的直角坐标，柱坐标及球坐标解 点 C1的直角坐标为(1,1， )，6设 C1的柱坐标为( ， ， )， ，tan 1， ，6 x2 y2 2yx 4所以 C1的柱坐标为 ，(2， 4， 6)设 C1的球坐标为( r， ， )，其中 r0,0 ，0 0，盘旋的角速度为 0，求 t 时刻蚂蚁所在的位置的球坐标解 取圆锥的顶点 O 为坐标原点，建立球坐标系，如图，设 t 时刻蚂蚁在点 M(r， ， )处，由题意得 t ， z vt， ， 3由于 cos cos ，于是 r2 z2 vt，zr 3 12所以 t 时刻蚂蚁所在的位置的球坐标为 M ， t0，)(2vt， 3， t)
