1、教学目标：知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。教学过程：学生探究过程： 1.虚数单位 :(1)它的平方等于-1 ，即 ; (2)实数可以与它进行四则运算，进行i 21i四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立2. 与1 的关系: 就是 1 的一个平方根，即方程 x2=1 的一个根，方程 x2=1 的
2、ii另一个根是3. 的周期性： 4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1ii4.复数的定义：形如 的数叫复数， 叫复数的实部， 叫复数的虚部(,)abiRab全体复数所成的集合叫做复数集，用字母 C 表示* 3. 复数的代数形式: 复数通常用字母 z 表示，即 ，把复数表示成(,)ziRa+bi 的形式，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系：对于复数 ，当且仅当 b=0(,)abi时，复数 a+bi(a、bR)是实数 a；当 b0 时，复数 z=a+bi 叫做虚数；当 a=0 且 b0 时，z=bi 叫做 纯虚数 ；当且仅当 a=b=0 时，z 就
3、是实数 0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果 a，b ，c，dR，那么 a+bi=c+di a=c，b =d 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 7. 复平面、实轴、虚轴：点 Z 的横坐标是 a，纵坐标是 b，复数 z=a+bi(a、bR )可用点 Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数 对于虚轴
4、上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0) ， 它所确定的复数是 z=0+0i=0 表示是实数 .故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数8复数 z1 与 z2 的和的定义： z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.9. 复数 z1 与 z2 的差的定义：z 1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.10. 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1.11. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)讲解新课：乘法运算规则：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设 z1=a+bi，z 2=c+di(a、b
5、、c、dR)是任意两个复数，那么它们的积(a +bi)(c+di)=(acbd)+(bc +ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把 i2 换成1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.2.乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 证明：设 z1=a1+b1i，z 2=a2+b2i，z 3=a3+b3i(a1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3R).z 1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)
6、i.又 a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b 1a2+a1b2=b2a1+a2b1.z 1z2=z2z1.(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3证明：设 z1=a1+b1i，z 2=a2+b2i，z 3=a3+b3i(a1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3R).(z 1z2)z3=( a1+b1i)(a2+b2i)(a 3+b3i)=( a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i( a3+b3i)=(a 1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3+( b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3i=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)
7、+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，同理可证：z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3) +(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3) i，(z 1z2)z3=z1(z2z3).(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.证明：设 z1=a1+b1i，z 2=a2+b2i，z 3=a3+b3i(a1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3R).z 1(z2+z3)=(a1+b1i)(a 2+b2i)+(a3+b3i)=( a1+b1i)(a 2+a3)+(b2+b3)i=a 1(a2+a3)-b1(b2+b3)+
8、b 1(a2+a3)+a1(b2+b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i.z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+ (b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)iz 1(z2+z3)=z1z2+z1z3.例 1 计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1
9、-2i)(3+4i)(-2+i)(11-2i) (-2+i)= -20+15i.例 2 计算：（1 ） (3+4i) (3-4i) ； （2） （ 1+ i)2.解：（1）(3+4i) (3-4i) =32-（4i） 2=9-(-16)=25;(2) （1+ i)2=1+2 i+i2=1+2 i-1=2 i.3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做 共轭虚数通常记复数 的共轭复数为 。zz4. 复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数 x+yi(x,yR)叫复数 a+bi 除以复数 c+di的商，
10、记为：(a+bi) (c+di)或者dicba5.除法运算规则：设复数 a+bi(a，bR)，除以 c+di(c，dR)，其商为 x+yi(x，y R)，即(a+bi)(c+di)=x+ yi(x+yi )(c+di)=(cxdy)+(dx+cy)i.(cxdy)+(dx+ cy)i=a+bi.由复数相等定义可知 .,bcydx解这个方程组，得 .,2dcay于是有:(a+bi )(c+di)= i.22b利用(c+di )(cdi )=c2+d2.于是将 的分母有理化得：ia原式= 2()()abiicbdicai.222()cdiaic(a+bi)(c+di)= .idb22点评：是常规方
11、法，是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数 c+di 与复数 cdi，相当于我们初中学习的 的对偶式23，它们之积为 1 是有理数，而( c+di)(cdi)=c 2+d2 是正实数.所以可以分母实数23化. 把这种方法叫做分母实数化法例 3 计算 ()(34)ii解： 1212i2(12)34864510225iiii例 4 计算 i)(解： i342)1( 213247()34iiii85.i例 5 已知 z 是虚数，且 z+ 是实数，求证： 是纯虚数.11z证明：设 z=a+bi(a、b R 且 b0)，于是z+ =a+bi+ =a+bi+ .1i ib
12、abai )(222z+ R， b =0.2b0，a 2+b2=1. 2)1()1( baiiiz .1022 iabibia b0，a 、b R， 是纯虚数i1巩固练习：1.设 z=3+i,则 等于A.3+i B.3i C. D.103i i1032. 的值是aibiA.0 B.i C.i D.13.已知 z1=2i,z 2=1+3i,则复数 的虚部为521ziA.1 B.1 C.i D.i4.设 (xR ,yR),则 x=_,y=_.iix1231答案：1.D 2.A 3.A 4. , 539课后作业：课本第 112 页 习题 3. 2 A 组 4，5，6 B 组 1，2教学反思：复数的乘
13、法法则是：(a+bi )(c+di)=(acbd)+(bc+ad)i . 复数的代数式相乘，可按多项式类似的办法进行，不必去记公式.复数的除法法则是： i(c+di0).22dabadib两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简 高考题选1 2()ii2. 复数 z=a+bi,a,bR,且 b0,若 是实数，则有序实数对（a,b）可以是 24z.(写出一个有序实数对即可)【答案】： .(2,1)【分析】： 是实数，所2224()4()4()zbaibiababi以 ，取 .ab(,),【高考考点】：本题主要考查复数的基本概念和运算.
14、【易错点】：复数的运算公式不能记错。【高备考提示】：复数的基本概念和运算，是高考每年必考的内容，应熟练掌握。3复数 等于（ D ）21(i)A B C D1i21i24若复数（1+bi）(2+i) 是纯虚数（i 是虚数单位，b 为实数） ，则 b=(A) -2 (B) - (C) (D) 212答案：B；解析：（1+bi ）(2+i)= （2-b ）+(2b+1)i，故 2b+1=0，故选 B；5复数 等于（ C ）i1+A B C D4i4i2i2i6化简 的结果是（ ）24(1)i i2i2i2i7设 是实数，且 是实数，则 （ B ）a1iaaA B C D1238设复数 满足 ，则 （
15、 C ）zizA B C Di2i2i2i9.在复平面内，复数 z= 对应的点位于（ ）i1（A）第一象限 （B ）第二象限 （C）第在象限 （D）第四象限10复数 的值是（ ）31i（A）0 （B）1 （C） （D）1i解析：选 A 2333()0ii i本题考查复数的代数运算11 是虚数单位， （ ）i32i1 i1i1i12已知复数 ， ，则复数 1iz12zA2z13已知 是实系数一元二次方程 的两根，则 的值为 2,ab 0xpq,pq（A）A、 B、 C、 D、4,5pq4,5pq4,54,514复数 的虚部为_ _.32i15若 a 为实数， - I，则 a 等于(B)ia21（A） （B）- （C）2 （D）-22216若 （ 虚数单位） ，则 使的值可能是（D）cosinz1z(A) (B) (C) (D) 643217 是虚数单位， （用 的形式表示， ）i51034i2iabiabR，
