1、一、函数的连续性,函数的增量,函数的连续性与间断点,下页,上页,首页,连续的定义,下页,上页,首页,连续的定义,下页,上页,首页,研究函数,例1,在点x=1,x=2处的连续性;,解:,是连续点,是跳跃间断点,下页,上页,首页,例1,单侧连续,定理,下页,上页,首页,左右连续,例2,解,右连续但不左连续 ,下页,上页,首页,例2,连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例如,下页,上页,首页,连续函数与连续区间,例3,证,下页,上页,首页,例3,二、函数的间断点,下页,上页,首页,1.跳跃间断
2、点,例4,解,下页,上页,首页,例4,2.可去间断点,例5,下页,上页,首页,可去间断点,解,注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.,下页,上页,首页,如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,特点,下页,上页,首页,3.第二类间断点,例6,解,下页,上页,首页,第二类间断点,例7,解,注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.,下页,上页,首页,狄利克雷函数,在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.,仅在x=0处连续, 其余各点处处间断.,下页,上页,首页,狄利克雷函数,在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续.,判断下列间断点类型:,下页,上页,首页,例8,解,下页,上页,首页,例8,三、小结,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,3.间断点的分类与判别;,2.区间上的连续函数;,第一类间断点:可去型,跳跃型.,第二类间断点:无穷型,振荡型.,间断点,(见下图),下页,上页,首页,可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,下页,上页,首页,思考题,下页,上页,首页,思考题,思考题解答,且,下页,上页,首页,思考题解答,但反之不成立.,例,但,下页,上页,首页,练 习 题,下页,上页,首页,练 习 题,下页,上页,首页,练习题答案,下页,上页,首页,练习题答案,下页,上页,首页,
