1、,2.4 薛定谔方程,2.2 态叠加原理,2.3 测不准关系,第二章 波函数和薛定谔方程,2.1 波函数的统计解释,2.5 几率流密度矢量,2.6 定态薛定谔方程,2.7 一维无限深方势阱,2.8 线性谐振子,2.9 势垒贯穿,2.1 波函数的统计解释,一、波函数,二、波恩的统计解释,三、波函数的归一化,第二章 波函数和薛定谔方程,2.1 波函数的统计解释,一、波函数,量子力学是描述微观粒子运动规律的一种理论。微观粒子具有波粒二象性，粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值。在量子力学中，决定微观粒子运动的基本方程是薛定谔方程。薛定谔方程的解是一些复数值函数，一般用表示，称为波函数。,在经典力学中
2、，通常用质点的坐标和动量的值来描写质点的状态。,量子力学呢？,第二章 波函数和薛定谔方程,用波函数描写体系的量子状态。,德布罗意波：,推广： 如果粒子受到随时间或位置变化的力场的作用，它的动量和能量不再是常量，这时粒子就不能用平面波来描写，而必须用较复杂的波来描写。波函数,经典波：,2.1 波函数的统计解释,第二章 波函数和薛定谔方程,自由粒子波函数,二、波恩的统计解释,微观粒子的运动状态用波函数来描述。波函数无疑反映了微观粒子的波动性，那么其粒子性又是如何反映的了？这导致了波函数的统计解释。,如何理解波和它所描写的粒子之间的关系？,2.1 波函数的统计解释,第二章 波函数和薛定谔方程,波动观
3、点：在单缝衍射的图样中，亮处表示波的强度大（波的振幅平方大）；暗处表示波的强度小（波的振幅平方小） 。,光子观点：光强度大的亮处，表示在相同的时间内到达该处的光子数目多；光强度小的暗处，表示在相同的时间内到达该处的光子数目少。,2.1 波函数的统计解释,第二章 波函数和薛定谔方程,爱因斯坦统计观点：光强度大的地方（到达光子数多的地方），就是光子到达该处的几率大；光强度小的地方（到达光子数少的地方），就是光子到达该处的几率小。,波函数的统计解释：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例。,1. 电子衍射实验所显示的电子的波动性是许多电子在同一实验中的统计结果，或
4、者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。,2. 与粒子相联系的物质波的波函数本身是不能直接被观测到的，因而也没有直观的物理意义，是一个概率幅；但它蕴含着粒子运动的信息，表现在它的模量的平方描述了粒子在某时刻位于空间某处附近出现的几率密度，这就是波恩的统计解释。,2.1 波函数的统计解释,第二章 波函数和薛定谔方程,三、波函数的归一化,由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的几率之和等于1，因而粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度，而不决定于强度的绝对大小。换句话说，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子的状态并不改变。,2.1 波函数的统计解释,第二章
5、 波函数和薛定谔方程,2.1 波函数的统计解释,第二章 波函数和薛定谔方程,设波函数 描写粒子的状态，则在时刻t、在坐标 x 到 x+dx、y 到 y+dy、z 到 z+dz的无限小区域找到粒子的几率,几率密度,寻找C, 使波函数归一,2.1 波函数的统计解释,第二章 波函数和薛定谔方程,归一化波函数,归一化条件,归一化,归一化常数,2. 并非所有的波函数都可以按下式归一化：,2.1 波函数的统计解释,第二章 波函数和薛定谔方程,1. 归一化波函数可以含有任意相因子 。,波函数的统计解释要求,为有限。否则归一化常数等于零，归一化失去意义。,2.2 态叠加原理,一、态叠加原理,二、波函数按平面波
6、展开,第二章 波函数和薛定谔方程,2.2 态叠加原理,一、态叠加原理,第二章 波函数和薛定谔方程,态叠加原理：当 是体系的可能状态时，它们的线性迭加 也是体系的一个可能状态；也可以说，当体系处于 时，体系部分地处于态 中。,2.2 态迭加原理,二、波函数按平面波展开,第二章 波函数和薛定谔方程,以一个确定的动量 p 运动的自由粒子的状态用波函数,描写。按照态迭加原理，粒子的状态可表示为,2.2 态迭加原理,第二章 波函数和薛定谔方程,根据傅立叶变化知：任何一个波函数都可以看作是各种不同动量的平面波的迭加。即,2. 一维表达式为,1. 和 是同一个状态的两种不同的描述方式。 是以坐标为变量的波函
7、数， 是以动量为变量的波函数 。,2.2 态迭加原理,第二章 波函数和薛定谔方程,2.3 测不准关系,一、电子单缝衍射实验,二、测不准关系,第二章 波函数和薛定谔方程,一、电子单缝衍射实验,起初：,电子通过狭缝时：,考虑衍射次级有,（一级）,2.3 测不准关系,第二章 波函数和薛定谔方程,二、测不准关系,动力学变量可能取值的范围满足一个关系。如，对于微观粒子不能同时用确定的位置和确定的动量来描述；不能同时用确定的能量和确定的时间来描述。,测不准关系：,2.3 测不准关系,第二章 波函数和薛定谔方程,1. 测不准关系是微观粒子波粒二象性及其统计关系的必然结果，并非测量仪器对粒子的干扰，也不是仪器
8、有误差的缘故。,2. 对宏观粒子，因h很小，所以 ，可视为位置和动量能同时准确测量。,2.3 测不准关系,第二章 波函数和薛定谔方程,测不准关系说明了一个限度，超过这个限度，经典物理学的概念及其规律就不再适用了。这个限度用普朗克常数来表征。当 时，量子力学将回到经典力学，或者说量子效应可以忽略。就像当 时，相对论回到牛顿理论的情况一样。,3. 经典物理学的适用范围：,一粒尘埃,举例：,2.3 测不准关系,第二章 波函数和薛定谔方程,建立描写波函数随时间变化的方程,所建方程应是波函数满足的含有对时间微商的微分方程,方程是线性的,方程的系数不包含状态参量,先建立波函数为已知的自由粒子的薛定谔方程，
9、然后推广到一般情况,2.4 薛定谔方程,第二章 波函数和薛定谔方程,考虑自由粒子（在非相对论情形），总能量,波函数为,它是所要建立的方程的解。,2.4 薛定谔方程,第二章 波函数和薛定谔方程,将上式对时间求一阶导数，得,2.4 薛定谔方程,第二章 波函数和薛定谔方程,将上式对坐标求二阶导数，得,拉普拉斯算符,2.4 薛定谔方程,第二章 波函数和薛定谔方程,2.4 薛定谔方程,第二章 波函数和薛定谔方程,自由粒子波函数所满足的微分方程,薛定谔方程,2.4 薛定谔方程,第二章 波函数和薛定谔方程,下面建立在力场中粒子波函数所满足的微分方程,1. 薛定谔方程揭示了在非相对论情况下微观粒子运动的基本规
10、律。,2. 这种既包含粒子的质量 又包含波动量 的方程无论是从单一的粒子性质，还是从单一的波动性质来看，都是不合逻辑的。但是，如果我们承认既是粒子又是波这个事实，那么这个方程就是联系粒子和波动性质的纽带。,2.4 薛定谔方程,第二章 波函数和薛定谔方程,3. 薛定谔方程的建立过程蕴涵着一种动力学变量的替换关系，即,能量算符,动量算符,劈形算符,对应原理,2.4 薛定谔方程,第二章 波函数和薛定谔方程,4. 多粒子体系的薛定谔方程。,作替换,得到,2.4 薛定谔方程,第二章 波函数和薛定谔方程,5. 薛定谔方程是关于时间一阶导数的线性偏微分方程，因而只需要一个初始条件便足以确定任意时刻的解。,6
11、. 微观粒子的运动状态用波函数来描述，而其运动规律，由薛定谔方程描述。因此，量子力学的核心问题就自然地成为求解薛定谔方程。,2.4 薛定谔方程,第二章 波函数和薛定谔方程,7. 薛定谔方程是建立的，而非从数学上导出的，其正确性由在各种具体情况下从方程得出的结论和实验结果相比较来验证。,讨论几率密度随时间的变化规律,2.5 几率流密度矢量,第二章 波函数和薛定谔方程,几率密度,仅讨论势场为实数的情形,几率流密度矢量,2.5 几率流密度矢量,第二章 波函数和薛定谔方程,2.5 几率流密度矢量,第二章 波函数和薛定谔方程,将上式对任意一个体积 V 求积分得：,与电流连续方程（电荷守恒定律）类比,知,
12、实为几率密度守恒（连续性方程）。,1. 单位时间内体积 V 中增加的几率，等于从体积 V 外部穿过 V 的边界面 S 而流进 V 内的几率。,2.5 几率流密度矢量,第二章 波函数和薛定谔方程,2. 若波函数为实数，则几率流密度矢量为零。,3. 波函数的标准条件：有限性、连续性和单值性。,4. 在整个空间内找到粒子的几率与时间无关（束缚态）。,如波函数在无穷远处为零,2.5 几率流密度矢量,第二章 波函数和薛定谔方程,归一化常数不随时间变化,5. 质量密度,质量流密度,质量守恒定律,2.5 几率流密度矢量,第二章 波函数和薛定谔方程,通常势能 U 仅是空间坐标的函数，与时间 t 无关。此时整个
13、系统能量守恒，常把这种情况称为定态问题。对于定态问题，薛定谔方程可以用分离变量法进行简化，考虑特解,代入薛定谔方程，有,2.6 定态薛定谔方程,第二章 波函数和薛定谔方程,于是,2.6 定态薛定谔方程,第二章 波函数和薛定谔方程,解得,因而,根据德布罗意关系，E 就是体系处于这个波函数所描写的状态时的能量。由此可见，体系处于该态时能量具有确定值。定态,定态波函数,2.6 定态薛定谔方程,第二章 波函数和薛定谔方程,定态薛定谔方程,1. 讨论定态问题，即求出体系可能有的定态波函数 和这些态中的能量 ，实际上归结为解定态薛定谔方程，求出能量的可能值 和波函数 。,2. 在定态中，几率密度和几率流密
14、度都与时间无关。,2.6 定态薛定谔方程,第二章 波函数和薛定谔方程,3. 哈密顿算符。,2.6 定态薛定谔方程,第二章 波函数和薛定谔方程,能量算符：,哈密顿算符：,本征值方程,本征值,本征函数,于是,2.6 定态薛定谔方程,第二章 波函数和薛定谔方程,4. 薛定谔方程的解。,体系的第 n 个定态波函数为,薛定谔方程的解为,式中 cn 是常系数。,2.7 一维无限深方势阱,一、驻波,二、物理模型,三、薛定谔方程的解,第二章 波函数和薛定谔方程,一、驻波,两列振幅、频率、传播速率都相同的相干波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加而成的波，叫做驻波。,2.7 一维无限深方势阱,第二章 波函数和薛定
15、谔方程,1. 驻波的表达式,正向,反向,第二章 波函数和薛定谔方程,2.7 一维无限深方势阱,第二章 波函数和薛定谔方程,2.7 一维无限深方势阱,振幅 随x 而异，与时间无关。,1,0,波腹,波节,第二章 波函数和薛定谔方程,2.7 一维无限深方势阱,相邻两波节之间质点振动同相位，任一波节两侧振动相位相反，在波节处产生 的相位跃变。,例 为波节,第二章 波函数和薛定谔方程,2.7 一维无限深方势阱,3. 驻波是波的干涉的一种特殊情况。,2. 在有限大小介质内传播的波，垂直入射到两种介质的分界面时，波会发生反射，反射回来的波和原来向前传播的波合成的结果，就会形成驻波。,4. 只要测定两相邻波节
16、（或波腹）之间的距离，就可以测定原来两个波的波长。因此常用驻波实验技术来测定波的波长。,第二章 波函数和薛定谔方程,2.7 一维无限深方势阱,二、物理模型,在阱内体系所满足的定态薛定谔方程为,一维无限深方势阱,第二章 波函数和薛定谔方程,2.7 一维无限深方势阱,1. 是固体物理金属中自由电子的简化模型。,2. 数学运算简单，量子力学的基本概念、原理在其中以简洁的形式表示出来。,在阱外体系所满足的定态薛定谔方程为,根据波函数应满足的连续性和有限性条件知,边界条件,第二章 波函数和薛定谔方程,2.7 一维无限深方势阱,三、薛定谔方程的解,在边界条件,下，求解方程,第二章 波函数和薛定谔方程,2.
17、7 一维无限深方势阱,引入符号,其通解为,A、B为积分常数，由边界条件确定，即,第二章 波函数和薛定谔方程,2.7 一维无限深方势阱,由此可得,A、B不能同时为零，故有两组解,第二章 波函数和薛定谔方程,2.7 一维无限深方势阱,进一步解得,对于第一组解，为 n 奇数；对于第二组解，为 n 偶数。,故，粒子的能量为,又,量子数,第二章 波函数和薛定谔方程,2.7 一维无限深方势阱,相应的波函数为,合并为,第二章 波函数和薛定谔方程,2.7 一维无限深方势阱,利用归一化条件,可得,即,第二章 波函数和薛定谔方程,2.7 一维无限深方势阱,归一化的波函数为,一维无限深势阱中粒子的定态波函数为,第二
18、章 波函数和薛定谔方程,2.7 一维无限深方势阱,1. n=0给出的波函数 ，无物理意义；n 取负整数给不出新的波函数。,2. 基态能量 ，称为零点能。这与经典粒子最低能量为零（静止）的情况不同。在量子力学中，零点能是微观粒子波动性的表现，“静止的波”是没有任何意义的。这一点也可以从测不准关系得出。,第二章 波函数和薛定谔方程,2.7 一维无限深方势阱,3. 粒子的能级分布是不均匀的，能级愈高，密度愈小。n 很大时，能级可视为是连续的。,第二章 波函数和薛定谔方程,2.7 一维无限深方势阱,4. 一维无限深势阱中粒子的定态波函数,为驻波。其中,第二章 波函数和薛定谔方程,2.7 一维无限深方势
19、阱,一维无限深势阱中粒子的波函数和几率密度,第二章 波函数和薛定谔方程,2.7 一维无限深方势阱,5. 对于无限深势阱，粒子只能在势阱中运动，称为束缚态（无穷远处为零的波函数所描写的状态） 。且波函数具有确定的奇偶性。除端点外，基态（体系能量最低的态）波函数无节点，第一激发态有一个节点，第 k 个激发态（n = k +1）有 k 个节点。,6. 容易得三维无限深势阱的波函数为,第二章 波函数和薛定谔方程,2.7 一维无限深方势阱,第二章 波函数和薛定谔方程,体系的能量为,2.7 一维无限深方势阱,2.8 线性谐振子,一、谐振子,二、物理模型,三、薛定谔方程的解,第二章 波函数和薛定谔方程,一、
20、谐振子,物体运动时，如果离开平衡位置的位移按余弦函数（或正弦函数）的规律随时间变化，这种运动称为简谐振动。简谐振动是最简单、最基本的振动。,简谐运动,复杂振动,合成,分解,2.8 线性谐振子,第二章 波函数和薛定谔方程,谐振子： 作简谐运动的物体。,2.8 线性谐振子,第二章 波函数和薛定谔方程,二、物理模型,取平衡位置为坐标原点，选原点为势能零点，一维线性谐振子的势能为,令,谐振子的自然频率,则,2.8 线性谐振子,第二章 波函数和薛定谔方程,定态薛定谔方程,2.8 线性谐振子,第二章 波函数和薛定谔方程,为简单，引入无量纲变量,则定态薛定谔方程改写为,2.8 线性谐振子,第二章 波函数和薛
21、定谔方程,一般而言，任何一个体系在稳定平衡点附近都可以近似地用线性谐振子来表示。如晶格的振动、分子的振动，等等。,2.8 线性谐振子,第二章 波函数和薛定谔方程,三、薛定谔方程的解,定态薛定谔方程,直接求解很困难，先考察其接近行为。,波函数的标准条件要求当 时， 应为有限，故,2.8 线性谐振子,第二章 波函数和薛定谔方程,令,则,于是,2.8 线性谐振子,第二章 波函数和薛定谔方程,要求：有限,用级数解法，令,则,2.8 线性谐振子,第二章 波函数和薛定谔方程,故,2.8 线性谐振子,第二章 波函数和薛定谔方程,如果级数 H 含无限多项，考察其高次项的系数之比为,而级数,高次项的系数之比,2
22、.8 线性谐振子,第二章 波函数和薛定谔方程,必须在某一项中断而变为多项式（不妨设为第n项），即,于是,2.8 线性谐振子,第二章 波函数和薛定谔方程,所以级数 在 时的行为与 相同，这与波函数的有限性相抵触，因而级数,得,将 代入,解得,厄米多项式,2.8 线性谐振子,第二章 波函数和薛定谔方程,波函数,由归一化条件,得,2.8 线性谐振子,第二章 波函数和薛定谔方程,厄米函数,归一化波函数为,2.8 线性谐振子,第二章 波函数和薛定谔方程,1. 谐振子的能量是量子化的，其分立的能级是等间距的，间距为 ，这与普朗克假设是一致的。,2. 谐振子的基态能量 ，称为零点能，其实际上是粒子具有波动性
23、的本质表现。零点能的存在已为光的散射实验所证实。,3. 厄米多项式的性质：,（1）正交性,2.8 线性谐振子,第二章 波函数和薛定谔方程,（2）递推关系,2.8 线性谐振子,第二章 波函数和薛定谔方程,2.8 线性谐振子,第二章 波函数和薛定谔方程,4. 宇称,2.8 线性谐振子,第二章 波函数和薛定谔方程,描述粒子在空间反演下变换性质的相乘性量子数。它只有两个值1和1。如果描述某一粒子的波函数在空间反演变换下改变符号，该粒子具有奇宇称，如果波函数在空间反演下保持不变，该粒子具有偶宇称。,对一维无限深方势阱而言,对一维线性谐振子而言,n 宇称,5. 经典允许的振动区域（以基态为例）：,基态能量
24、,2.8 线性谐振子,第二章 波函数和薛定谔方程,2.8 线性谐振子,第二章 波函数和薛定谔方程,一维线性谐振子波函数（红线是经典谐振子的振动范围）,基态没有节点，第k 激发态有k 个节点,6. 几率分布：,经典力学中，在 x 到 x+dx 之间的区域内找到质点的几率为,厄米多项式,2.8 线性谐振子,第二章 波函数和薛定谔方程,在 x =0 处找到质点的几率最小。,量子力学则不全然，如基态在 x =0 处找到粒子的几率最大。,高斯分布,只有在量子数 n 很大时，量子和经典给出的结果在平均上才相当,2.8 线性谐振子,第二章 波函数和薛定谔方程,2.8 线性谐振子,第二章 波函数和薛定谔方程,
25、线性谐振子的几率密度（红线表示经典谐振子的几率密度）,量子几率分布,经典几率分布,能量量子化,能量取连续值,在某些极限的条件下，量子规律可以转化为经典规律。,对应原理,2.8 线性谐振子,第二章 波函数和薛定谔方程,前面讨论的无限深势阱和线性谐振子问题，体系的势能在无穷远处都是无穷大，波函数在无穷远处为零，即讨论的均为束缚态，其能级是分立的。,量子力学中还有一种情况，体系的势能在无穷远处为有限，粒子可以在无穷远处出现，波函数在无穷远处为有限，此时体系的能量可以取任意值，即组成连续谱。,2.9 势垒贯穿,第二章 波函数和薛定谔方程,粒子被势场散射问题，在这类问题中粒子能量是预先知道的,2.9 势
26、垒贯穿,第二章 波函数和薛定谔方程,考虑在一维势场,具有一定能量E 的粒子从 x 0 的地方入射，粒子在整个空间的运动规律如何？,中运动的粒子。,方形势垒,经典力学,量子力学,2.9 势垒贯穿,第二章 波函数和薛定谔方程,1. 粒子的能量E U0 ，才能运动到图中 x a 的地方。,2. 粒子的能量E U0 ，粒子将被反弹回去。,1. 粒子的能量E U0 ，粒子的运动状态？,2. 粒子的能量E U0 ，粒子的运动状态？,薛定谔方程,2.9 势垒贯穿,第二章 波函数和薛定谔方程,粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为,区域 I 和 III：,区域 II：,2.9 势垒贯穿,第二章 波函数和薛定谔方
27、程,先讨论E U0 的情形，为简单起见，令,则薛定谔方程改写为,2.9 势垒贯穿,第二章 波函数和薛定谔方程,其解为,其中A, A, B, B, C, C为复系数。由波函数的连续性条件确定。,向右传播,向左传播,在区域 III 没有向左传播的波，因此,2.9 势垒贯穿,第二章 波函数和薛定谔方程,波函数及其微商在 x=0 和x=a 处连续有,讨论透射波振幅、反射波振幅与入射波振幅之间的关系,2.9 势垒贯穿,第二章 波函数和薛定谔方程,解方程可将反射波的振幅 A 用入射波振幅 A 表示为,代入前两个方程得,联立后两个方程可得,2.9 势垒贯穿,第二章 波函数和薛定谔方程,进一步可将透射波的振幅
28、 C 用入射波振幅 A 表示为,根据几率流密度定义,2.9 势垒贯穿,第二章 波函数和薛定谔方程,可得入射波的几率流密度为,透射波的几率流密度为,反射波的几率流密度为,2.9 势垒贯穿,第二章 波函数和薛定谔方程,透射系数：透射波几率流密度与入射波几率流密度之比,反射系数：反射波几率流密度与入射波几率流密度之比,2.9 势垒贯穿,第二章 波函数和薛定谔方程,（1）D a 区域，另一部分被势垒反射回去。,解得,此即势垒区形成驻波的条件。形成驻波是产生共振透射的原因。,2.9 势垒贯穿,第二章 波函数和薛定谔方程,三个区域的波函数,势垒的共振透射,2.9 势垒贯穿,第二章 波函数和薛定谔方程,现在
29、讨论E U0 的情形，定态薛定谔方程为,令,2.9 势垒贯穿,第二章 波函数和薛定谔方程,此时，透射波振幅可以通过替换得到,替换,2.9 势垒贯穿,第二章 波函数和薛定谔方程,透射系数,（1）如果E U0，则,2.9 势垒贯穿,第二章 波函数和薛定谔方程,式中D0 为常数，其数量级接近1。透射系数随势垒的加宽或加高而减小。在非相对论情况下，粒子不可能穿透无限高势垒。,（2）如果势垒为有限高度，那么即使给定粒子能量比势垒低，粒子波函数在势垒外也不为零，表明粒子可能会贯穿势垒，即相当于“粒子翻墙而过”。我们把粒子的能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为势垒贯穿或隧道效应。,2.9 势垒贯穿,第二
30、章 波函数和薛定谔方程,（3）势垒贯穿是微观粒子的波动性引起的。这个现象在经典物理中是无法理解的，因为粒子的能量等于动能与势能之和，在势垒区域中动能是负值。但是，在量子力学中，动能和势能不能同时测准，在某一位置说粒子的动能是没有意义的，就像对于一个波讨论某位置处的波长是没有意义一样。,（4）势垒贯穿现象只能存在于微观粒子的运动中，而在宏观物体的运动中是不可能实现的。一些伪科学家把这种科学结论搬用到诸如“药片出瓶”等魔术中，显然是不对的。,2.9 势垒贯穿,第二章 波函数和薛定谔方程,（5）对于任意形状的势垒，透射系数为,（6）隧道效应有着广泛的应用，如固体冷电子发射、隧道二极管、扫描隧道显微镜
31、等。,例1 设电子和质量为20 g 的子弹均沿x轴方向以速度 运动，速度可准确测量到万分之一，在同时确定它们的位置时，其不准确量为多大?,解： （1）按不确定关系，电子位置的不准确量为,（2）按不确定关系，子弹位置的不准确量为,第二章 波函数和薛定谔方程,例2 一微观粒子沿 x 方向运动，其波函数为,（1）将波函数归一化；,（2）求出粒子的几率分布函数；,（3）在何处找到粒子的几率最大？,第二章 波函数和薛定谔方程,解： （1）由波函数的归一化条件可知,即,得,故归一化的波函数为,第二章 波函数和薛定谔方程,（2）粒子的几率分布函数为,（3）由,得,故 x = 0 时几率最大。,又,第二章 波函数和薛定谔方程,作业：,21 28,第二章 波函数和薛定谔方程,
