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导数与三角函数的结合.docx

上传人:weiwoduzun 文档编号:5245410 上传时间:2019-02-13 格式:DOCX 页数:3 大小:92.41KB
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1、 -导数与三角函数的结合1.(导数与三角函数结合)已知函数 ,其中 为参数,321()4cos3fxxR,且 .(1)当 时,判断函数 是否有极值;02cos0f(2)要使函数 的极小值大于零,求参数 的取值范围;()fx(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数 ,函数在区间(2a1,a)内都是增函数,求实数 a 的取值范围.【分析】定义域 上的可导函数 在点 处取得极值的充要条件是 ,且D()fx0 0()fx在 两侧异号.()fx0【解析】 (1)当 时, ,则 函数 在cos031()42f,12)(xf ()f(,)内是增函数,故无极值.(2) ,令 ,得 .2()6fxx()0f

2、x12cos,由 及(1),只考虑 的情况.0cos当 x 变化时, 的符号及 的变化情况如下表:()f()f(,0) 0 cos()2, cos2cs(),()f 0 0 xA极大值 A极小值 A因此,函数 在 处取得极小值 ,且 .()fcos2xcos()2f3cos1()cs242f要使 0,必有 ,可得 ,所以 .cos23104(3)由(2)知,函数 在区间(,0)与 内都是增函数.由题设,()fxcs(),函数 在(2a1,a)内都是增函数,则 a 需满足不等式组()fx,1102cosaa或由(2),参数 时, ,要使不等式 关于参数( , )310s212cosa恒成立,必有

3、 .14a综上,解得 a0 或 ,所以 a 的取值范围是(,0 ,1).58 582.已知函数 f(x)axsin x (aR) ,且在0, 上的最大值为 .32 2 32(1)求函数 f(x)的解析式;(2)判断函数 f(x)在(0,)内的零点个数,并加以证明【思路点拨】 (1)分 a0、a0 和 a0 三种情况求函数 f(x)的最大值;(2)先用零点存在性定理判断有无零点,再根据函数的单调性判断零点的个数【规范解答】 (1)由已知得 f(x)a(sin xxcos x),对于任意 x(0, ),有 sin xxcos x0.2当 a0 时,f(x) ,不合题意32当 a0,x (0, )时

4、,f(x)0,从而 f(x)在(0, )内单调递增,又 f(x)在0, 上的图2 2 2象是连续不断的,故 f(x)在0 , 上的最大值为 f( ),即 a ,解得 a1.2 2 2 32 32综上所述,函数 f(x)的解析式 f(x)xsin x .32(2)f(x)在(0 ,) 内有且只有两个零点证明如下:由(1)知,f(x)xsin x ,从而有 f(0) 0.32 32 2 32又 f(x)在 0, 上的图象是连续不断的,所以 f(x)在(0 , )内至少存在一个零点2 2又由(1)知 f(x)在0, 上单调递增,故 f(x)在(0 , )内有且仅有一个零点2 2当 x ,时,令 g(x)f(x) sin xxcos x.2由 g( ) 10, g()g(m)0,即 f(x)0,从而 f(x)在( ,m) 内单调递增,2 2故当 x ,m时,f (x)f( ) 0,故 f(x)在 ,m上无零点;2 2 32 2当 x(m,)时,有 g(x)0,f()0 ,且 f(x)在m,上的图象是连续不断的,从而 f(x)在(m,)内有且仅有一个零点综上所述,f( x)在(0,)内有且只有两个零点

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