1、 -导数与三角函数的结合1.（导数与三角函数结合）已知函数 ，其中 为参数，321()4cos3fxxR，且 .（1）当 时，判断函数 是否有极值；02cos0f（2）要使函数 的极小值大于零，求参数 的取值范围；()fx（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数 ，函数在区间（2a1,a）内都是增函数，求实数 a 的取值范围.【分析】定义域 上的可导函数 在点 处取得极值的充要条件是 ，且D()fx0 0()fx在 两侧异号.()fx0【解析】 （1）当 时， ，则 函数 在cos031()42f,12)(xf ()f（，）内是增函数，故无极值.（2） ,令 ，得 .2()6fxx()0f
2、x12cos，由 及（1）,只考虑 的情况.0cos当 x 变化时， 的符号及 的变化情况如下表：()f()f（，0） 0 cos()2， cos2cs()，()f 0 0 xA极大值 A极小值 A因此，函数 在 处取得极小值 ，且 .()fcos2xcos()2f3cos1()cs242f要使 0,必有 ，可得 ，所以 .cos23104（3）由（2）知，函数 在区间（，0）与 内都是增函数.由题设，()fxcs()，函数 在（2a1,a）内都是增函数，则 a 需满足不等式组()fx，1102cosaa或由（2）,参数 时， ，要使不等式 关于参数（ ， ）310s212cosa恒成立，必有
3、 .14a综上，解得 a0 或 ，所以 a 的取值范围是（，0 ，1）.58 582.已知函数 f(x)axsin x (aR) ，且在0， 上的最大值为 .32 2 32(1)求函数 f(x)的解析式；(2)判断函数 f(x)在(0，)内的零点个数，并加以证明【思路点拨】 (1)分 a0、a0 和 a0 三种情况求函数 f(x)的最大值；(2)先用零点存在性定理判断有无零点，再根据函数的单调性判断零点的个数【规范解答】 (1)由已知得 f(x)a(sin xxcos x)，对于任意 x(0， )，有 sin xxcos x0.2当 a0 时，f(x) ，不合题意32当 a0，x (0， )时
4、，f(x)0，从而 f(x)在(0， )内单调递增，又 f(x)在0， 上的图2 2 2象是连续不断的，故 f(x)在0 ， 上的最大值为 f( )，即 a ，解得 a1.2 2 2 32 32综上所述，函数 f(x)的解析式 f(x)xsin x .32(2)f(x)在(0 ，) 内有且只有两个零点证明如下：由(1)知，f(x)xsin x ，从而有 f(0) 0.32 32 2 32又 f(x)在 0， 上的图象是连续不断的，所以 f(x)在(0 ， )内至少存在一个零点2 2又由(1)知 f(x)在0， 上单调递增，故 f(x)在(0 ， )内有且仅有一个零点2 2当 x ，时，令 g(x)f(x) sin xxcos x.2由 g( ) 10， g()g(m)0，即 f(x)0，从而 f(x)在( ，m) 内单调递增，2 2故当 x ，m时，f (x)f( ) 0，故 f(x)在 ，m上无零点；2 2 32 2当 x(m，)时，有 g(x)0，f()0 ，且 f(x)在m，上的图象是连续不断的，从而 f(x)在(m，)内有且仅有一个零点综上所述，f( x)在(0，)内有且只有两个零点
