1、1函数、不等式恒成立问题解法（老师用）恒成立问题的基本类型：类型 1：设 ， （1） 上恒成立 ；（2）)0()(2acbxxf Rxf在0)( 0且a上恒成立 。Rf在0)( 且类型 2：设 )()(2cxxf（1）当 时， 上恒成立 ，0a,0)(f在 0)(20)(2fabfab或或上恒成立,)(xf在 0)(f（2）当 时， 上恒成立0a,0)(xf在 0)(f上恒成立,)(xf在 )(20)(2fabfab或或类型 3：。min)()( xfIxxf恒 成 立对 一 切 max)()( fIxxf恒 成 立对 一 切类型 4：恒成)( )()()()( axinIx gfgfIgf的
2、 图 象 的 上 方 或的 图 象 在恒 成 立对 一 切一、用一次函数的性质对于一次函数 有：,)(nmxbkf 0)(0)(,)(0)( nfmfnfxf 恒 成 立恒 成 立例 1：若不等式 对满足 的所有 都成立，求 x 的范围。122x2解析：我们可以用改变主元的办法，将 m 视为主变元，即将元不等式化为：， ；令 ，则 时， 恒成立，0)1()(2xm)1()()2xf 2m0)(f所以只需 即 ，所以 x 的范围是 。)(f0)1()(2x 31,7(二、利用一元二次函数的判别式2对于一元二次函数 有：),0()(2 Rxacbxaxf （1） 上恒成立 ；Rxf在0)( 且（2
3、） 上恒成立在 且例 2：若不等式 的解集是 R，求 m 的范围。02)1()(2xm解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数 m，所以要讨论 m-1 是否是 0。（1）当 m-1=0 时，元不等式化为 20 恒成立，满足题意；（2） 时，只需 ，所以， 。m0)1(8)(012m)9,1三、利用函数的最值（或值域）（1） 对任意 x 都成立 ；xf)( xfin)(（2） 对任意 x 都成立 。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的” 。max由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例 3：在 ABC 中，已知 恒成立，求实数 m 2|)(|,
4、2cos)4(sin)(2 mBfBBf 且的范围。解析：由， ，1,0(sin,0,1si2co)24(sin)( Bf 3,()f恒成立， ，即 恒成立，|mf)(mBf2)(Bf ,m例 4：（1）求使不等式 恒成立的实数 a 的范围。,0cosinxa解析：由于函 ，显然函数有最大值 ，43,)4i(2si x 2。2a如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：（2）求使不等式 恒成立的实数 a 的范围。)2,0(4,cosinxa解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得的最大值取不到 ，即 a 取 也满足条件，所以 。xycosin
5、 2所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数 a 的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。四：数形结合法对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。3例 5：已知 ，求实数 a 的取值范围。恒 成 立有时当 21)(,)1(,)(,102 xfxaxfa解析：由 ，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个xf )(2， 得函数分别在 x=-1 和 x=1 处相交，则由 得到 a 分别等于 2 和 0.5，并作出122)(及函数 的图象，所以，要想使函数 在区间 中恒成立，只须xxy)21(及 x),(在区间 对
6、应的图象在 在区间 对应图象的上面即可。当y2,21xy)1,(才能保证，而 才可以，所以 。,1a只 有时 0aa时 ， 只 有 2,1()a例 6：若当 P(m,n)为圆 上任意一点时，不等式 恒成立，则 c 的取1)(22yx 0cnm值范围是（ ）A、 B、 121ccC、 D、 12解析：由 ，可以看作是点 P(m,n)在直线 的右侧，而点 P(m,n)在圆0cnm0cyx上，实质相当于是 在直线的右侧并与它相离或相切。1)(22yx )(22yx，故选 D。11|0|2c同步练习1、设 其中 ，如果 时， 恒有意义，求 的取值范4()lg,3xafR(.1)x()fxa围。分析：如
7、果 时， 恒有意义，则可转化为 恒成立，即参数分(.1)x()fx240xa离后 ， 恒成立，接下来可转化为二次函数区间最值求224xxa.1)解。解：如果 时， 恒有意义 ，对 恒成立.(.1)()fx240xa(,1)x恒成立。224xxa.1)令 ， 又 则 对 恒成立，又xt2()gtt(.(,)2t()agt1,)24在 上为减函数， ， 。()gt1,)2max13()()24tga2、设函数是定义在 上的增函数，如果不等式 对于任意(,) 2()()fxfa恒成立，求实数 的取值范围。0,1xa分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为 对于任意21ax恒成立，从而转化为二
8、次函数区间最值求解。,x解： 是增函数 对于任意 恒成立()f2(1)()faxfa0,x对于任意 恒成立21ax0,对于任意 恒成立，令 ， ，所以原0x2()1gxa0,1x问题 ，又 即 min()gxmin(),()20,ga2min,(),4,a易求得 。1a3、 已知当 x R 时，不等式 a+cos2x(4sinco2)设 则f()=six2f()= sixsinx1=-+3 -a+530,t -1,1恒成立。设 f(t)= 2t2-4t+4-a，显然 f(x)在-1，1内单调递减，f(t) min=f(1)=2-a, 2-a0 a1,并且必须也只需 (2)gf故 loga21,
9、a1, 10,若将等号两边分别构造函数即二次函数 y= x2+20x 与一次函数 y=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数的图象在 x 轴上方恒有唯一交点即可。解：令 T1：y 1= x2+20x=（x+10） 2-100, T2：y 2=8x-6a-3,则如图所示，T 1的图象为一抛物线，T 2的图象是一条斜率为定值8，而截距不定的直线，要使 T1和 T2在 x 轴上有唯一交点，则直线必须位于 l1和 l2之间。 （包括 l1但不包括 l2)当直线为 l1时，直线过点（-20，0）此时纵截距为-6a-3=160,a= ;63当直线为 l2时，直线过点（0，0） ，纵截距为-6a-3=0，a=
10、a 的范围为 ， ） 。21217、对于满足|p| 2 的所有实数 p,求使不等式 x2+px+12p+x 恒成立的 x 的取值范围。分析：在不等式中出现了两个变量：x、P,并且是给出了 p 的范围要求 x 的相应范围，直接从 x 的不等式正面出发直接求解较难，若逆向思维把 p 看作自变量，x 看成参变量，则上述-1 o xyxyo12y1=(x-1)2y2=logaxxyl1l2l-20 o6问题即可转化为在-2，2内关于 p 的一次函数函数值大于 0 恒成立求参变量 x 的范围的问题。解：原不等式可化为 (x-1)p+x2-2x+10,令 f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则原问题等价于f(p)0 在 p-2,2上恒成立，故有：方法一： 或 x3.10(2)xf(2)0xf方法二： 即 解得：()0f1342x13x或或x3.oy2-2 xy-2 2 x
