1、二次函数的存在性问题(面积问题)08 湖北荆州 已知：如图，RtAOB 的两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的正半轴和 y 轴的负半轴上，C 为 OA 上一点且 OCOB，抛物线 y=(x2)(xm)(p-2)(p-m)（m 、p 为常数且 m+22p0 ）经过 A、C 两点（1）用 m、p 分别表示 OA、OC 的长；（2）当 m、p 满足什么关系时，AOB 的面积最大1220.()2)(2)00,0,1()21()()1(2)2()AOBAOBAOyxpxpCPSSmpPpS令 得 ： （整 理 得 ： （当 时 ， .B最 大08 湖北荆州 如图，等腰直角三角形纸片 ABC 中， AC
2、BC4，ACB90，直角边 AC在 x 轴上，B 点在第二象限，A（1，0） ，AB 交 y 轴于 E，将纸片过 E 点折叠使 BE 与EA 所在直线重合，得到折痕 EF（F 在 x 轴上） ，再展开还原沿 EF 剪开得到四边形BCFE，然后把四边形 BCFE 从 E 点开始沿射线 EA 平移，至 B 点到达 A 点停止.设平移时间为 t（s） ，移动速度为每秒 1 个单位长度，平移中四边形 BCFE 与AEF 重叠的面积为 S.（1）求折痕 EF 的长；（2）是否存在某一时刻 t 使平移中直角顶点 C 经过抛物线 的顶点？若存在，243yx求出 t 值；若不存在，请说明理由；（3）直接写出
3、S 与 t 的函数关系式及自变量 t 的取值范围.5.14102ABCEAFRtOEF（ ） 折 叠 后 与 所 在 直 线 重 合又 中（ ， ） ，折 痕BA 交 Y 轴于 P，OBCA xyOC xAC1 F1E1B1BFEy2（ ） 存 在 .设 CP41330CPAO则 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 直 角 顶 点 在 射 线 上 移 动，（ ， ） ， （ ， ）可 求 得 所 在 直 线 解 析 式 为 ： y=-x243()12.1 4521cos45(/xxyyCPBFEABAC 2抛 物 线 :=抛 物 线 的 顶 点 为 （ ， ）代 入 得点 （ ， ） 在 直
4、线 上即 直 角 顶 点 在 移 动 中 经 过 此 抛 物 线 的 顶 点四 边 形 沿 射 线 移 动 速 度 为 每 秒 一 个 单 位 长 度 ，直 角 顶 点 向 水 平 方 向 移 动 速 度 为 长 度 单 位 秒 ）3011 12()Cts 直 角 顶 点 从 （ ， ） 位 置 移 动 到 （ ， ） 时 ， 水 平 移 动 距 离 为（ ） （ 长 度 单 位 ）直 角 顶 点 从 开 始 到 经 过 此 抛 物 线 顶 点 移 动 的 时 间221(02)(3)(3)41824ttstt P08 湖北襄樊 如图,四边形 OABC 是矩形,OA=4,OC=8,将矩形 OAB
5、C 沿直线 AC 折叠,使点 B 落在 D 处,AD 交 OC 于 E.(1) 求 OE 的长;(2) 求过 O、D、C 三点抛物线的解析式;(3) 若 F 为过 O、D、C 三点抛物线的顶点,一动点 P 从 A 点出发,沿射线 AB 以每秒一个单位长度的速度匀速运动,当运动时间 t(秒)为何值时,直线 PF 把FAC 分成面积之比为 1:3 的两部分?解：（1）四边形 OABC 为矩形，CDE=AOE=90，OA=BC=CD又CED=OEA，CDEAOE OE=DE.22(),3(3)OEADE解 得 分（2） EC=8 3=5.如图 4，过点 D 作 DGEC 于 G，DGE CDE 12
6、9,.,5GECE241(,)5O 点为坐标原点，故设过 O、C、D 三点抛物线的解析式为 .2yaxb 解得 25734yx（ 分 ）（3）因为抛物线的对称轴为 x=4， 54.2其 顶 点 坐 标 为 （ ， ）设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，则解得 14.92yx（ 分 ）设直线 EP 交直线 AC 于 H 过 H 作 HM OA 于 M.m（ ， ） ，AMHAOC.HM：OC=AH：AC.134FAHCSMO： ： 或 ： ，： =： 或 ： ： ： 或 ：HM=2 或 6，即 m=2 或 612172944yxyFH18直 线 解 析 式 为 当 时 ， 5直 线 的 解
7、析 式 为 当 时 ， =78517t当 秒 或 秒 时 ， 直 线 FP把 AC分 成面 积 比 为 ： 3的 两 部 分 。 .（ 12分 ）264801().ab3254ba=，80kb，124kb，08 年湖北省武汉 如图 1，抛物线 经过 A（1，0） ，C（3，2）两点，与 轴交于点23yaxbyD，与 轴交于另一点 B。x求此抛物线的解析式；若直线 将四边形 ABCD 面积二等分，求 的值；(0)ykk如图 2，过点 E（1，1）作 EF 轴于点 F，将AEF 绕平面内某点旋转 180后得MNQ（点xM，N，Q 分别与点 A，E，F 对应） ，使点 M，N 在抛物线上，求点 M，
8、N 的坐标 ；23yx ；4kM（3，2） ，N（1，3）O xyEBDA F图 2ACO xyBD图 108 湖南湘西 已知抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，其中点 B 在 x 轴的kxy2)(3正半轴上，C 点在 y 轴的正半轴上，线段 OB、OC 的长（ ）是方程 的两个根.OC0162x（1）求 A、B 、C 三点的坐标；（2）在平面直角坐标系内画出抛物线的大致图象并标明顶点坐标；（3）连 AC、BC，若点 E 是线段 AB 上的一个动点（与 A、B 不重合） ，过 E 作 EFAC 交 BC 于 F，连CE，设 ， 的面积为 S，求 S 与 m 的函数关系式
9、，并写出自变量 m 的取值范围.mF（4）在（3）的基础上说明 S 是否存在最大值，并求出此时点 E 的坐标，判断此时 的形状；若不BC存在，请说明理由.（1）方程 2801612 xx，的 两 根 为OB=2 ，OC=8B（2，0） C（0， 8）函数 )2(3xkxy的 对 称 轴 为A（ ，0）6即 A（ ，0）B（2，0） C（0，8）（2）B 点在 上kxy)(3 2 k函数解析式为 32)(3xy顶点坐标为 ，大致图象及顶点坐标如右)2，（3）AE=m，AB=8， mBE8OC=8， OA=6，据勾股定理得 10ACACEF， 即 ，FA84)8(5mEF过 F 作 FGAB 于
10、G 54sinsiEBC而 ， m8S=S CEB SFEB = mFGBEOC4212121S 与 m 的函数关系式为 ，m 的取值为S480（4） 中 ，S 有最大值420， 当 m=4 时，S 有最大值为 88)(1E 点坐标为：E（ ，0）B（2，0） ， E（ -，0）2CE=CB BCE 为等腰三角形08 江苏淮安 如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数 图像的顶点为 P，与 x 轴交点1)2(xay为 A、B，与 y 轴交点为 C，连结 BP 并延长交 y 轴于点 D。（1）写出点 P 的坐标；（2）连结 AP，如果APB 为等腰直角三角形，求 a 的值及点 C、D 的坐标；（3
11、）在（2）的条件下，连结 BC、AC、AD，点 E（0，b）在线段 CD（端点 C、D 除外）上，将BCD绕点 E 逆时针方向旋转 900，得到一个新三角形。设该三角形与ACD 重叠部分的面积为 S，根据不同情况，分别用含 b 的代数式表示 S，选择其中一种情况给出解答过程，其它情况直接写出结果；判断当 b 为何值时，重叠部分的面积最大？写出最大值。 08 辽宁沈阳 如图所示，在平面直角坐标系中，矩形 的边 在 轴的负半轴上，边 在 轴ABOCxOCy的正半轴上，且 ， ，矩形 绕点 按顺时针方向旋转 后得到矩形 点1AB3O60EFD的对应点为点 ，点 的对应点为点 ，点 的对应点为点 ，E
12、FD抛物线 过点 2yaxbcD， ，（1）判断点 是否在 轴上，并说明理由；y（2）求抛物线的函数表达式；（3）在 轴的上方是否存在点 ，点 ，使以点 为顶点的PQOBPQ， ， ，平行四边形的面积是矩形 面积的 2 倍，且点 在抛物线上，若存在，ABOC请求出点 ，点 的坐标；若不存在，请说明理由PQ解：（1）点 在 轴上,理由如下：Ey连接 ，如图所示，在 中， ， ，AORt 1A32A， 1sin230由题意可知： 6 069BOEE点 在 轴上， 点 在 轴上Bxy（2）过点 作 轴于点DMx， 在 中， ，1O30RtDM 123O点 在第一象限， 点 的坐标为 3，由（1）知
13、，点 在 轴的正半轴上2EAEy点 的坐标为 点 的坐标为(0)， (1)，抛物线 经过点 ， yaxbc2c由题意，将 ， 代入 中得(31)， 2D， yaxb解得 所求抛物线表达式为：324ab8953ab 28539yx（3）存在符合条件的点 ，点 理由如下：PQ矩形 的面积 以 为顶点的平行四边形面积为 ABOCBAOBPQ， ， ， 23由题意可知 为此平行四边形一边， 又 边上的高为 23依题意设点 的坐标为 点 在抛物线 上 (2)m， 2859yx859m解得， ， ，1025381(0)P， 2，以 为顶点的四边形是平行四边形，OBPQ， ， ， ， 当点 的坐标为 时，
14、1(0)，点 的坐标分别为 ， ；1(32)， ()，当点 的坐标为 时，点 的坐标分别为 ， 258， 328Q， 4328，yxODECFAByxODECFAB M08 内蒙包头 已知直线 经过点 和点 ，交 y 轴于点 H，交 x 轴于点 F.1kxy)2(，dM)1(，N（1）求 d 的值；（2）将直线 MN 绕点 M 顺时针旋转 45得到直线 ME，点 在直线 ME 上，证明 MEx 轴；3eQ，试求过 M、N、Q 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，连接 NQ，作 的高 NB，点 A 为 MN 上的一个动点，若 BA 将 的NMQ面积分为 12 两部分，且射线 BA 交过
15、 M、N、Q 三点的抛物线于点 C，试求点 C 的坐标.xOy08 四川成都 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，OAB 的顶点的坐标为（10，0） ，顶点 B 在第一象限内，且 =3 ，sin OAB= .AB55（1）若点 C 是点 B 关于 x 轴的对称点，求经过 O、C 、 A 三点的抛物线的函数表达式；（2）在(1)中，抛物线上是否存在一点 P，使以 P、O 、C、A 为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将点 O、点 A 分别变换为点 Q（ -2k ,0） 、点 R（5k，0） （k1 的常数） ，设过 Q、R 两点，且以QR 的垂直平分线为
16、对称轴的抛物线与 y 轴的交点为 N，其顶点为 M，记QNM 的面积为 ，MNSQNR 的面积 ，求 的值.QNRSMNRS解：（1）如图，过点 B 作 BDOA 于点 D. 在 RtABD 中，AB= ,sinOAB= ,355BD=ABsinOAB= =3.3又由勾股定理，得22ADB2(5)6OD=OA-AD=10-6=4.点 B 在第一象限，点 B 的坐标为（4，3） 。 设经过 O(0,0)、C（4，-3） 、A(10,0)三点的抛物线的函数表达式为 y=ax 2+bx(a0).由 经过 O、C、A 三点的抛物线的函数表达式为 1,16805.4aab 215.84yx（2）假设在（
17、1）中的抛物线上存在点 P，使以 P、O、C、A 为顶点的四边形为梯形点 C（4，-3）不是抛物线 的顶点，218yx过点 C 做直线 OA 的平行线与抛物线交于点 P1 。则直线 CP1的函数表达式为 y=-3.对于 ，令 y=-3 x=4 或 x=6. 而点 C（4，-3） ，P 1(6,-3).2584yx214,6,3;.xy在四边形 P1AOC 中，CP 1OA,显然CP 1OA.点 P1（6，-3）是符合要求的点。 若 AP2CO。设直线 CO 的函数表达式为 .k将点 C（4，-3）代入，得 113.4k直线 CO 的函数表达式为 于是可设直线 AP2的函数表达式为yx 13.4
18、yxb将点 A（10，0）代入，得 直线 AP2的函数表达式为5.45.2由 ，即（x-10） （x+6）=0.22315.4608yxx 120,;xy而点 A（10，0） ，P 2（-6，12） 。过点 P2作 P2Ex 轴于点 E，则P 2E=12.在 RtAP 2E 中，由勾股定理，得160.而CO=OB=5.在四边形 P2OCA 中，AP 2CO,但AP 2CO.点 P2（-6，12）是符合要求的点。 若 OP3CA,设直线 CA 的函数表达式为 y=k2x+b2将点 A(10,0)、C(4,-3)代入，得直线 CA 的函数表达式为 直线 OP3的函数表达式为22110,45.kbk
19、15.yx12yx由 即 x(x-14)=0. 而点 O(0,0),P 3（14，7） 。22140,18yxx 120,4,;7.y过点 P3作 P3Ex 轴于点 E，则P 3E=7.在 RtOP 3E 中，由勾股定理，得而CA=AB= .227145.OF35在四边形 P3OCA 中，OP 3CA,但OP 3CA.点 P3（14，7）是符合要求的点。 综上可知，在（1）中的抛物线上存在点 P1(6,-3)、P 2(-6,12)、P 3(14,7),使以 P、O、C、A 为顶点的四边形为梯形。 （3）由题知，抛物线的开口可能向上，也可能向下。当抛物线开口向上时，则此抛物线与 y 轴的副半轴交
20、与点 N。可设抛物线的函数表达式为 （a0） 。(2)5yaxk即 2210yaxk49().如图，过点 M 作 MGx 轴于点 G.Q（-2k，0） 、R（5k，0） 、G( 、N(0，-10ak 2)、M3,02k 2349,ka 2,7,QOkG7,10,.QONG23115.NRSkakA()2NAA222 249174910kakkak349(537).8a :):(:20QNMRSkA当抛物线开口向下时，则此抛物线与 y 轴的正半轴交于点 N，同理，可得 :3:.NQRSA综上所知， 的值为 3：20. 08 四川泸州 如图，已知二次函数 的图像经过三点 A ，B ，C ，它的2y
21、axbc1,03,0,顶点为 M，又正比例函数 的图像于二次函数相交于两点 D、E，且 P 是线段 DE 的中点。k求该二次函数的解析式，并求函数顶点 M 的坐标；已知点 E ，且二次函数的函数值大于正比例函数时，试根据函数图像求出符合条件的自变量 的2,3 x取值范围；当 时，求四边形 PCMB 的面积 的最小值。0ks【参考公式：已知两点 ， ，则线段 DE 的中点坐标为 】1D,xy2E,y12,xy（1）由 ，则得2yaxbc，解得093c23ac故函数解析式是： 。2yx由 知，2314yx点 M（1，4） 。（2）由点 E 在正比例函数 的图像上得，,ykx，故 ，3,2k得由 解
22、得 D 点坐标为（ ） ，23yx39,24由图象可知，当二次函数的函数值大于正比例函数时，自变量 的取值范围是 。x32x（3） 23ykx解得，点 D、E 坐标为 D（ ） 、22416416,kkkAE（ ） ，2416,k A则点 P 坐标为 P（ ）由 ，知点 P 在第一象限。kA02k由点 B ，C ，M （ 1，4） ，得3,0,，则152OS四 边 形 5212332OPCBPCB kkSA A四 边 形整理，配方得 。231946Mk四 边 形故当 时，四边形 PCMB 的面积值最小，最小值是 。12k 1yxDMEPCBA O08 云南双柏 已知：抛物线 yax 2bxc
23、与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，其中点B 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，线段 OB、OC 的长（OB OC）是方程x210x160 的两个根，且抛物线的对称轴是直线 x2（1）求 A、B、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）求ABC 的面积；（4）若点 E 是线段 AB 上的一个动点（与点 A、点 B不重合） ，过点 E 作 EF AC 交 BC 于点 F，连接 CE，设 AE 的长为 m，CEF 的面积为 S，求 S 与 m 之间的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围；（5）在（4）的基础上试说明 S 是否存在最大值，若存在，请求出
24、S 的最大值，并求出此时点 E 的坐标，判断此时BCE 的形状；若不存在，请说明理由解：（1）解方程 x210x 160 得 x12，x 28 点 B 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，且 OBOC点 B 的坐标为（2，0） ，点 C 的坐标为（0，8）又抛物线 yax 2bx c 的对称轴是直线 x2由抛物线的对称性可得点 A 的坐标为（6，0）A、B、C 三点的坐标分别是 A（6，0） 、B（2，0） 、C （0，8）（2）点 C（0，8）在抛物线 yax 2bxc 的图象上c8，将 A（ 6，0） 、B（2，0）代入表达式 yax 2 bx8，得Error! 解得Err
25、or!所求抛物线的表达式为 y x2 x8 23 83（3）AB8，OC8S ABC 88=3212（4）依题意，AEm，则 BE8m ，OA6，OC8， AC10EFAC BEFBAC 即 EF EFAC BEAB EF10 8 m8 40 5m4过点 F 作 FG AB，垂足为 G，则 sinFEGsinCAB45 FG 8mFGEF 45 45 40 5m4SS BCE S BFE （8 m）8 （8m） （8m）12 12 （8m） （88m） （8m）m m24m 12 12 12自变量 m 的取值范围是 0m8 （5）存在 理由：S m24m （m4） 28 且 0，12 12 1
26、2当 m4 时，S 有最大值， S 最大值 8m4，点 E 的坐标为（ 2，0）BCE 为等腰三角形 08 浙江丽水 如图，在平面直角坐标系中，已知点 坐标为（2，4） ，直线 与 轴相交于点 ，A2xB连结 ，抛物线 从点 沿 方向平移，与直线 交于点 ，顶点 到 点时停止移动OA2xyOAxPMA（1）求线段 所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点 的横坐标为 ,Mm用 的代数式表示点 的坐标；mP当 为何值时，线段 最短；B（3）当线段 最短时，相应的抛物线上是否存在点 ，使QA的面积与 的面积相等，若存在，请求出点 的坐标；若A不存在，请说明理由 解：（1）设 所在直线的函数解析式为
27、 ，Okxy （2，4） ， , ,4k2 所在直线的函数解析式为 .yx（2）顶点 M 的横坐标为 ，且在线段 上移动，mOA （0 2）.顶点 的坐标为( , ).ym2m抛物线函数解析式为 .2)当 时， （0 2）.x(y4点 的坐标是（2， ）.P24 = = ， 又0 2，当 时，PB 最短.B1)31（3）当线段 最短时，此时抛物线的解析式为 .xy假设在抛物线上存在点 ，使 . 设点 的坐标为（ ， ）.QMAPSQ23x当点 落在直线 的下方时，过 作直线 / ，交 轴于点 ，OCAOyC ， ，P4A ， ， 点的坐标是（0， ）.1C1点 的坐标是（2，3） ，直线 的函
28、数解析式为 .12x ，点 落在直线 上.QMAPS2xy = .xx解得 ，即点 （2，3）.12,Q点 与点 重合.此时抛物线上不存在点 ，使 与 的面积相等.MAP当点 落在直线 的上方时，OA作点 关于点 的对称称点 ，过 作直线 / ，交 轴于点 ，PDEOyE ， ， 、 的坐标分别是（0，1） ， （2，5） ，1A1E直线 函数解析式为 .D2xy ，点 落在直线 上.QMPAS = .23xx解得： ， .12代入 ，得 ， .y15y25y此时抛物线上存在点 ，,25,2Q使 与 的面积相等. （2 分）QAP综上所述，抛物线上存在点 ，1, ,使 与 的面积相等.MyBO
29、APM x2DyOABPM x2CE09 湖北黄石 正方形 ABCD在如图所示的平面直角坐标系中， A在 x轴正半轴上， D在 y轴的负半轴上，AB交 y轴正半轴于 E， 交 x轴负半轴于 F， 1OE，抛物线 24yab过 AF、 、 三点（1）求抛物线的解析式；（3 分）（2） Q是抛物线上 F、 间的一点，过 Q点作平行于 x轴的直线交边 于 M，交 BC所在直线于 N，若 32QNAFMSS四 边 形 ，则判断四边形 AM的形状；（3 分）（3）在射线 DB上是否存在动点 P，在射线 CB上是否存在动点 H，使得 PH 且 ，若存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由 （4 分）解：
30、（1）依条件有 (04)， ， (1)E， 由 OEA 知 24AOD (20)， 由 RttF 得 A 3F， 将 、 的坐标代入抛物线方程，得 490ab23ab抛物线的解析式为 4yx 3 分（2）设 QMm， 1(5)|2QAFQMSmyA四 边 形 ， 1(5)|2FNQSmyA 3(5)|()|2yyA设 ab， ，则 ab， 432(1)230， 1a（舍去 3a）此时点 M与点 D重合， QFAM， ， AFQM ，则 AF为等腰梯形 3 分（3）在射线 B上存在一点 P，在射线 CB上存在一点 H使得 PH ，且 成立，证明如下：当点 如图所示位置时，不妨设 ，过点 P作 B
31、C ， PD ， NA ，垂足分别为 N、 、 若 A由 得：ANPQ， RttHAPN 又 90B ANDMCQH PHNADCBMPOyxB EADCFN MQB ADMCQHPNOyxB EADCF图 12-2xCOyABD11APH 2 分当点 在如图所示位置时，过点 作 MBC ， PNA ，垂足分别为 ， 同理可证 Rtt 又 ， 90HPAHPM， 1 分当 在如图所示位置时，过点 作 NB ，垂足为 N， PAB 延长线，垂足为 M同理可证 RttMA 1 分注意：分三种情况讨论，作图正确并给出一种情况证明正确的，同理可证出其他两种情况的给予 4 分；若只给出一种正确证明，其他
32、两种情况未作出说明，可给 2 分，若用四点共圆知识证明且证明过程正确的也没有讨论三种情况的只给 2 分09 湖南益阳阅读材料：如图 12-1，过ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外 侧两条直线之间的距离叫ABC 的“水平宽”(a) ，中间的这条直线在 ABC 内部线段的长度叫ABC 的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法： ，即三角形面 积等于水平宽与 铅垂高乘积的一半.ahSABC21解答下列问题：如图 12-2，抛物线顶点坐标为点 C(1,4),交 x 轴于点 A(3,0)，交 y 轴于点 B.(1)求抛物线和直线 AB 的解析式；(2)点 P 是抛物线(
33、在第一象限内 )上的一个动点，连结 PA，PB，当 P 点运动到顶点 C 时，求CAB 的铅垂高 CD 及 ；CABS(3)是否存在一点 P，使 SPAB = SCAB ，若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由.89解：(1)设抛物线的解析式为： 4)1(21xay把 A（3,0）代入解析式求得所以 3)(21xy设直线 AB 的解析式为： bk2由 求得 B 点的坐标为3),0(把 ， 代入 中)0,3(),(xy解得： 1bk所以 2xy(2)因为 C 点坐标为(,4)所以当 x时，y 14，y 2 2所以 CD4-22(平方单位 )3CABS(3)假设存在符合条件的点 P，设
34、P 点的横坐标为 x，PAB 的铅垂高为 h，则 xyh 3)(221 由 SPAB = SCAB 得：898912化简得： 解得，042x将 代入 中，23x321xy解得 P 点坐标为 )45,(09 吉林长春 如图，在直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 AD 在 y 轴正半轴上，点 A、C 的坐标分别为（0，1） 、 （2，4） 点 P 从点 A 出发，沿 ABC 以每秒 1 个单位的速度运动，到点 C 停止；点 Q 在 x 轴上，横坐标为点 P 的横、纵坐标之和抛物线 cbxy241经过 A、C 两点过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M，交抛物线于点 R设点 P 的运动时间为 t（秒
35、） ，PQR 的面积为 S（平方单位） （1）求抛物线对应的函数关系式 （2 分）（2）分别求 t=1 和 t=4 时，点 Q 的坐标 （3 分）（3）当 0 5 时，求 S 与 t 之间的函数关系式，并直接写出 S 的最大值 （5 分）t【参考公式：抛物线 的顶点坐标为 ， 】2yaxbc2ba24c（1）由抛物线经过点 A(0， 1)，C (2，4)，得 解得21,4.4cbc,1.c抛物线对应的函数关系式为： 214yx（2）当 时，P 点坐标为(1，1) ，Q 点坐标为(2 ，0) 1t当 时，P 点坐标为(2，3) ，Q 点坐标为(5 ，0) （3）当 2 时， 0t21()4StS
36、 8当 5 时， t(5)21)tS （8 分）13当 时，S 的最大值为 2 （10 分）3t09 辽宁本溪 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 2yaxbc（ 0a）经过 (10)A， ，(30)B， ()C， 三点，其顶点为 D，连接 B，点 P是线段 BD上一个动点（不与 BD、 重合） ，过点P作 y轴的垂线，垂足为 E，连接 （1）求抛物线的解析式，并写出顶点 的坐标；（2）如果 点的坐标为 ()xy， ， 的面积为 s，求 与 x的函数关系式，写出自变量 x的取值范围，并求出 s的最大值；（3）在（2）的条件下，当 s取得最大值时，过点 作 的垂线，垂足为 F，连接 E，把 P
37、F 沿直线 EF折叠，点 的对应点为 P，请直接写出 点坐标，并判断点 P是否在该抛物线上解：（1）设 (1)3yax，把 (0)C， 代入，得 ，2 分抛物线的解析式为： x顶点 D的坐标为 (4)， 5 分（2）设直线 B解析式为： ykb（ 0） ，把 BD、 两点坐标代入，得 30.kb，解得 6， 直线 A解析式为 2yx 7 分211(6)32sPEOx， 8 分 3()x9 分229944s 10 分当 x时， s取得最大值，最大值为 11 分（3）当 取得最大值， 32x， y， 32P， 5 分四边形 PEOF是矩形作点 关于直线 的对称点 ，连接 EF、 法一：过 作 H
38、轴于 ， 交 轴于点 M设 MCm，则 332Pm， ， 在 RtP 中，由勾股定理，223()解得 158 CMPHEA， 901231 2 331 DyC BA P2E xO(E) 1231 2 331DyCBAP2xO FMH由 EHPM ，可得 EHP， 65 6935O 坐标 10， 13 分法二：连接 P，交 CF于点 H，分别过点 P、 作 C的垂线，垂足为 MN、 易证 2MH设 k，则 4kM， 35P， 10由三角形中位线定理， 26845Nkk， 3910C，即 xyPF 坐标 9105， 13 分把 坐标 ， 代入抛物线解析式，不成立，所以 P不在抛物线上 14 分(E) 1231 2 331DyCBAP2xO FMHN M
