1、1教学内容概要高中数学备课组 教师： 年级：高三日期 上课时间学生：主课题：函数的概念、定义域、值域的求法教学目标：1、掌握函数的概念；2、掌握函数定义域、值域及最值的求法；3、掌握解析式的求解方法；教学重点：1、 函数三要素；2、 定义域、值域的求法以及函数解析式的求解方法；教学难点：1、抽象函数定义域的求法； 2、函数值域及最值的求法；3、函数解析式的求解；家庭作业1、完成拓展内容2、复习知识点2教学内容【知识精讲】一、函数的概念1、函数的定义：设 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 ，使对于集合AB、 f中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称Axfx为从集
2、合 到集合 的一个函数。记作： 。其中， 叫做自:f,yAx变量， 的取值范围 叫做函数的定义域；与 的值相对应的 值叫做函数值，函数值的xAx集合 叫做函数的值域。f2、函数的三要素分别指函数的 定义域 、 值域 、 对应法则 ；当两个函数的 定义域 、 对应法则 分别相同时，那么这两个函数是同一函数。3、函数的表示方法一般有 解析法 、 列表法 、 图像法 当图像满足和 的图像最多只有一个交点时 才可作为函数图像。,xaR分段函数：在用解析法表示函数的时候，往往在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而用几个式子来表示的函数即分段函数。分段函数是一个函数，而不是几个函数。在解决问题过程中，要
3、处理好整体与局部的关系。4、函数的运算：对于两个函数 ， ，设1Dxfy2Dxgy21把函数 叫做函数 与 的和函数gxf1fxgy把函数 叫做函数 与 的积函数xy26、复合函数：对于两个函数 ， ，若满足 的 的取值范1Dxfy2Dg1Dxg围为 ，设 ，把函数 叫做函数 ，E2Dxfyfy的复合函数， 是复合函数 的自变量，定义域为 ，xgyx叫做内函数， 叫做外函数。f3二、函数定义域的求法求定义域时注意：（1）分式的分母不为零；（2）偶次根式的被开方数非负；（3）对数的真数大于零；（4）零次幂的底数不为零。三、求函数值域的各种方法函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的，其类型依解
4、析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域。以下为总结的常用函数值域的求解方法：（1）直接法：利用常见函数的值域来求一次函数 y=ax+b(a 0)的定义域为 R，值域为 R；反比例函数 的定义域为x|x 0，值域为y|y 0；)0(kxy二次函数 的定义域为 R，)2acbf当 a0 时，值域为 ；y4)(|2当 a0 时，值域为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.ja|（2）配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；),(,)(2nxcbaxf（3）分式转化法（
5、或改为“分离常数法”）（4）换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；（5）三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；（6）基本不等式法：转化成型如： ，利用平均值不等式公式来求值域；)0(kxy4（7）单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j （8）数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（9）根的判别式法：（10）逆求法（反函数法）：通过反解，用 来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等yx式，得出 的取值范围；常用来解，型如：y
6、),(,ndcba【经典例题】题型一 函数的基本概念例 1、试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f（x）= ，g（x）= ；23（2）f（x）= ，g（x）=|;01,x（3）f（x）= ，g（x）=12n21*nN（4）f（x）= ，g（x）= ；x2（5）f（x）=x 22x1，g（t ）= t22t1.剖析：对于两个函数 y=f（x）和 y=g（x） ，当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f（x）和 y=g（x）才表示同一函数.若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然.解：（1）由于 f（x ）= =|x|，g（x）= =x，故它们的值域及对应法则都不相
7、同，所23以它们不是同一函数.（2）由于函数 f（x ）= 的定义域为（，0）（0 ，+ ） ，而 g（x）=|的定义域为 R，所以它们不是同一函数 .;01,x（3）由于当 nN *时，2n1 为奇数，f（x）= =x，g（x）=（ ）12n 12nx2n1 =x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.（4）由于函数 f（x ）= 的定义域为x|x 0，而 g（x）= 的定义域1x2为x |x1 或 x0，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.5（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.评 述 ： （ 1） 第 （ 5） 小 题 易 错 判 断 成 它
8、 们 是 不 同 的 函 数 ， 原 因 是 对 函 数 的 概 念 理 解 不 透 .要 知道 ， 在 函 数 的 定 义 域 及 对 应 法 则 f 不 变 的 条 件 下 ， 自 变 量 变 换 字 母 ， 以 至 变 换 成 其 他 字 母 的表 达 式 ， 这 对 于 函 数 本 身 并 无 影 响 ， 比 如 f（ x） =x2+1， f（ t） =t2+1， f（ u+1） =（ u+1） 2+1 都可视为同一函数.（2）对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数.例 2、设函数 ，则不等式 的解集是（ ）246,0xfx1fxfA. B.
9、 3,1,3,12,C. D.答案 A解析 由已知，函数先增后减再增当 0x， 2)(f31(f令 ,)(xf解得 ,1。当 x， ,6x故 3)(ff ，解得 31x或【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解例 3、 （1）已知函数 那么 的值为 sin,0,()1)xff)65(f（2）函数 fx对于任意实数 满足条件 12ffx，若 5,f则5f_ _ _；解：（1） 2（2）由 1fxf得 14()2fxfxf，6所以 (5)1f，则 15()(2)5ffff。点评：通过对抽象函数的限制条件，变量换元得到函数解析式，考察学生的逻辑思维能力。例 4、设定
10、义在 N 上的函数 f（x）满足，试求 的值.13,20(8)nnff20f解：20022000，f（2002）=f f（200218） =f f（1984） =f1984+13=f（1997）=1997+13=2010.题型二 函数定义域的求法例 5、求下述函数的定义域：（1） 02)3()1lg()xxf；（2） .l2akf解：（1） 02312x，解得函数定义域为 2,3(),12(.（2） 2ak， （先对 a 进行分类讨论，然后对 k 进行分类讨论） ，当 a=0 )(R时，函数定义域为 ),0(；当 0时，得 axk或 ，1）当 ka时，函数定义域为 ),(，2）当 10时，函数
11、定义域为 ),(a，73）当 10ka时，函数定义域为 ),(),(ak；当 时，得 xa或 ，1）当 0ka时，函数定义域为 ),(k，2）当 1时，函数定义域为 ),(a，3）当 0ka时，函数定义域为 ),(),(k。点评：在这里只需要根据解析式有意义，列出不等式，但第（2）小题的解析式中含有参数，要对参数的取值进行讨论，考察学生分类讨论的能力例 6、已知函数 fx定义域为(0 ，2)，求下列函数的定义域：(1) 2()3f；(2)21()logfxy。解：（1）由 0x 22， 得 点评：本例不给出 f(x)的解析式，即由 f(x)的定义域求函数 fg(x)的定义域 头htp:/w.x
12、jkygcom126t:/.j关键在于理解复合函数的意义，用好换元法；求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系，求其定义域，后面还会涉及到题型三 函数解析式的求法8例 7、 （1）已知 31()fxx，求 ()f；（2）已知 lg，求 ；（3）已知 ()fx是一次函数，且满足 3(1)2()17fxfx，求 ；fx（4）已知 满足 2()f，求 。（5） 恒成立，且 ，求 。,xyRxyyx， 0ffx解：（1） 3311()()()f， 3()fx（ 2x或 ） 。（2）令 t（ 1） ，则 21xt， ()lgft， ()lg ()fx。（3）设 0)ab，则 (1
13、)2()32fxfxaxb5217axx， a， 7b， ()f。（4） 12()3fxx ，把中的 换成 ，得 ()ff ， 得 3()6fx， 1()2f（5 ）法一：令 0x法二： 令 ， 答案：y21fx点评：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（4）题用方程组法。题型四 函数值域的求法例 8、求下列函数的值域：9（1） 23yx；（2） 265yx；（3） 12xy；（4） 1；（5） 1；（6） |4|；（7）2xy；（8）2()xy；（9） 1sin2coxy。解：（1） （配方法） 221336， 23yx的值域为 ,)1改题：求函
14、数 2yx， ,x的值域。解：（利用函数的单调性）函数 23y在 1,3x上单调增，当 1x时，原函数有最小值为 4；当 x时，原函数有最大值为 26函数 23y， 1,x的值域为 ,6。（2）求复合函数的值域：设 65x（ 0） ，则原函数可化为 y。又 22(3)4x， 04，故 ,， 265yx的值域为 0,2（3） （法一）反函数法： 12yx的反函数为 13xy，其定义域为 |3xR，原函数 的值域为 |y（法二）分离变量法： 1(2)732xx， 702x， 732x，函数 1y的值域为 |yR。（4）换元法（代数换元法）：设 10tx，则 21t，原函数可化为 2214()5()
15、ytt， 5y，10原函数值域为 (,5注：总结 yaxbcd型值域，变形： 22或 2yaxbcd（5）三角换元法： 2101xx，设 os,0,，则 cosin2si()4y 0,， 5,， 2sin(),1， 2sin()1,24，原函数的值域为 ,（6）数形结合法：23(4)|1|4|51xyxx， 5y，函数值域为 5,)。（7）判别式法： 210x恒成立，函数的定义域为 R。由21xy得： ()()20yxy 当 0即 2时，即 3， 当 2y即 时， xR时方程 2()(1)20yxy恒有实根， 2(1)4()0yA， 5y且 ，原函数的值域为 ,。（8）2 11()1222xx
16、yxx，11 12x， 0，12()12x，当且仅当 12x时，即 2x时等号成立。 y，原函数的值域为 1,)2。（9） （法一）方程法：原函数可化为： sincos12xyy， 21sin()1yxy（其中 22co,i） ， 2i(),y， |12|y， 2340y， 403， 原函数的值域为 ,。点评：上面讨论了用初等方法求函数值域的一些常见类型与方法，在现行的中学数学要求中，求值域要求不高，要求较高的是求函数的最大与最小值，在后面的复习中要作详尽的讨论。例 9、已知函数 322()log(1)fxabx(1)若 ()2,fm求 的 值(2)若 上一定存在最大值还是最小值，并,0)5,
17、()0+)xfx在 上 有 最 小 值 问 在 ，求之。解：(1)令 ()2gxf32322 2log(1)log(1)abxaxbx122log10b奇函数()x)(2()0mffm(4f(2) 是奇函数),()gxgx(05(),0)7f gx在 上 有 最 小 值 在 上 有 最 小 值),)7gx在 上 有 最 大 值(0+9f在 ， 上 有 最 大 值例 10、对于定义域为实数集 R 的函数 24()()1xaf为 实 常 数(1)若 _1(),2fa则(2)在(1)的条件下，求函数 的值域()fx(3)若函数 的值域恰为-1,4，求实数 a 的值()fx解：(1) 1432a(2)
18、 33xay函数的定义域为全体实数，由 2430yx0,4yxR当 时 =16(3)041,0yy当 时 ，综上得，函数 的值域为-4,1)fx(3)由 得241ay240ya130,4ayxR当 时 2=16()040,yyay当 时 ，函数 的值域为恰为-1,4()fx13【拓展提高】例 11、设函数 ，2221()logl()log()xf xpx（1）求函数的定义域；（2）问 是否存在最大值与最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明()fx理由。解：（1）由 ，解得 10xp1xp当 时，不等式解集为 ；当 时，不等式解集为 ，1p|1xp 的定义域为 头htp:/w.xjk
19、ygcom126t:/.j()fx(,)（2）原函数即 ，22221()l()l()4pf x当 ，即 时，函数 既无最大值又无最小值；1p3pf当 ，即 时，函数 有最大值 ，但无最小值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2()x2log(1)p例 12、据调查，某地区 100 万从事传统农业的农民，人均收入 3000 元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有 x(x0)万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高 2x%，而进入企业工作的农民的人均收入为 30
20、00a元（a0） 。14（1）在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求 x 的取值范围；（2）在（I）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即 x 多大时） ，能使这 100 万农民的人均年收入达到最大。解：（I）由题意得（100-x）3000（1+2x%）1003000，即 x250x0，解得 0x50， 又x0 0x50； （II）设这 100 万农民的人均年收入为 y 元，则 y= =(100 x)3000(1+2x%)+3000ax100 60x2+3000(a+1)x+300000100= x 25(a+1)2+3000+475(a+
21、1)2 (0x50) 35（i）当 025(a+1)50，即 0 a1，当 x=25(a+1)时，y 最大；（ii）当 25(a+1)50，即 a 1，函数 y 在（0,50 单调递增，当 x=50 时，y 取最大值。答：在 0a1 时，安排 25(a +1)万人进入企业工作，在 a1 时安排 50 万人进入企业工作，才能使这 100 万人的人均年收入最大例 13、北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为 5 元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费 2 元，预计这种纪念章以每枚 20 元的价格销售时该店一年可销售 2000 枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价
22、格在每枚 20 元的基础上每减少一元则增加销售 400 枚，而每增加一元则减少销售 100 枚，现设每枚纪念章的销售价格为 x 元（x N*） （）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润 y（元）与每枚纪念章的销售价格 x 的函数关系式（并写出这个函数的定义域） ；（）当每枚纪念销售价格 x 为多少元时，该特许专营店一年内利润 y（元）最大，并求出这个最大值（）依题意 204()7,1yx*20,4xN15 40(25)7,1xy*20,4xN此函数的定义域为 *|, （）240(16)8,7094xy *20,4xN当 72x，则当 x时， max3y（元） ；当 04，因为 xN
23、 *，所以当 x23 或 24 时， max270y（元） ； 综合上可得当 16时，该特许专营店获得的利润最大为 32400 元 【巩固练习】1、设 ，函数 f（ x）的定义域为 M，值域为 N，2,02MxNy则 f（x）的图象可以是 （ ） 22-2Aoy x22-2Boy x22-2Coy x 22-2Doy x解析：A 项定义域为2， 0 ，D 项值域不是0，2 ， C 项对任一 x 都有两个 y 与之对应，都不符.故选 B. 答案： B2、设函数 f（x ）= 则使得 f（x）1 的自变量 x 的取值范围为（ ）,14)(2xA.（，20，10 B.（，20，1C.（，21，10
24、D.2，01，10解析：f（x）是分段函数，故 f（x）1 应分段求解.当 x1 时，f（ x）1 （x +1） 21 x2 或 x0，x2 或 0x1.当 x1 时，f（x）1 4 1 3 x10，111x10.16综上所述，x 2 或 0x10. 答案：A3、已知 f（ ）= ，则 f（x）的解析式可取为 （ ）12A. B. C. D.2x22121x解析：令 =t，则 x= ，1t1f（t）= .f（x ）= .2t2答案：C4、已知函数 f（x ）= 3123ax的定义域是 R，则实数 a 的取值范围是（ ）Aa 31B12a0 C12a0 Da 31解：由 a=0 或 ,)3(4,
25、02可得12a0，答案 B。5、函数 y=3- 的值域是（ A）2xA.（-,2 B.1，2 C.1，3 D.2，+）解： 222xy6、函数 的值域是（ C ）2lg3yxA.（-,1 B.0,4 C.（-，lg4 D.lg4,+ ）解： 23,lgtxyt设 则7、函数 y= 的值域是（ B ）12xA.（0,3 B.（0,1） C. ,+) D.（-,2）（2,+）21解： ，2,1xttyt设 则 (21)201xxyy178、函数 的值域是（ D ）0.51y=log(x+x1-） （ ）A.2,+) B.-2,+) C.（-,2 D.（-,-2解： 0.5log11txxyt设 2
26、则9、值域是（0，+）的函数是（ B ）A.y=x2-x+1 B.y=( )1-x C.y= +1 D.y=|log2x2|5x213解：C: D: 1,ttyx设 则 22,log,|0tyty设 则 则 |10、若函数 的值域是 ，那么它的定义域是（ A ）122logly,0A.（0，2） B.（2，4） C.（0，4） D.（0，1）解： .5 .522l(l)log1loglog1xxx11、函数 的最小值是（ B ） 28136()yA.1 B.2 C. D.25613解：14()994()6xyx12、已知 (0)()fx ，则不等式 1()5f的解集是 13、函数 的定义域为
27、A，值域为 B，则 。22log3fA(42,5解：定义域： 0(42,)x值域： 2,log-5tyt设 则 ，14、函数 y= 在 ，3上的最小值是_ _.x712解： 2227()yx21,37tytx设 则1815、函数 y= 的值域为_ _.)1(5,032xx,416、已知函数 的值域为 ，16 ，求函数 及f62gxffx的值域。2hxfx解： ，29(),416tft设 则 g 21,8th(x)17、 （1）若函数 的值域是 ，求 的定义域。53xf,f（2）若函数 在区间 上的最大值为 2，求 的值。2()a0a答案：（1） （2）17,6x518、已知函数 的值域为 。201bcfx1,3（1）求实数 的值；c、（2）判断 在 上的单调性，并给出证明。lgFf,解：（1）2222()01xbcyyxbxcyxbyc因为上式有解，所以 24()01,3所以 2()03bc2b（2）分析：复合函数单调性的判断方法、函数单调性的定义证明。
