1、第三章 3.2 3.2.3 一、选择题1平面的一条斜线和这个平面所成的角 的范围是( )A0| .D1C1 138若 AB 与平面 成 30角，且 A，则 AB 与 内不过点 A 的所有直线所成角中的最大角_答案 90解析 在平面 内，过 A 点垂直于 AB 在平面内射影的直线与 AB 所成角最大，为90.三、解答题9(2015全国卷理，19)如图，长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，AB 16，BC 10，AA 18，点 E，F 分别在 A1B1，D 1C1 上，A 1ED 1F4.过点 E，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由
2、 )；(2)求直线 AF 与平面 所成角的正弦值解析 (1)交线围成的正方形 EHGF 如图：(2)作 EMAB，垂足为 M，则 AMA 1E4，EMAA 1 8，因为 EHGF 为正方形，所以 EHEF BC10.于是 MH 6，所以 AH10.以 D 为坐标原点，EH2 EM2DA 的方向为 x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，则 A(10,0,0)，H(10,10,0)，E(10,4,8)，F(0,4,8)，FE (10,0,0)，HE (0 ，6,8)设 n(x，y，z) 是平面 EHGF 的法向量，则Error!即Error!所以可取 n(0,4,3)又 AF (
3、 10,4,8)，故 sin |cos n，AF | .|nAF |n|AF | 4515所以直线 AF 与平面 所成角的正弦值为 .4515一、选择题1已知平面 内的角APB60，射线 PC 与 PA、PB 所成角均为 135，则 PC 与平面 所成角的余弦值是( )A B.63 63C. D33 33答案 B解析 由三余弦公式知 cos45coscos30，cos .632如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABCA 1B1C1，CA CC 12CB，则直线BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为 ( )A. B.55 53C. D.255 35答案 A解析 本题考查了空间向量与空间角设 C
4、B1，则 CACC 12，B(0,0,1)，C 1(0,2,0)，A(2,0,0)，B 1(0,2,1)， (0,2 ，1)，BC1 ( 2,2,1)，| | ，| |3， 4 13，AB1 BC1 5 AB1 BC1 AB1 cos ， ，故选 A.BC1 AB1 BC1 AB1 |BC1 |AB1 | 353 553在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 为 CC1 的中点，则直线 A1B 与平面BDE 所成的角为( )A. B.6 3C. D. 2 56答案 B解析 以 D 为原点建立空间直角坐标系，平面 BDE 的法向量 n(1，1,2)，而 (0 ，1,1)，BA1
5、 cos ， 30.1 223 32直线 A1B 与平面 BDE 成 60角4如图，平面 ABCD平面 ABEF，四边形 ABCD 是正方形，四边形 ABEF 是矩形，且 AF AD a，G 是 EF 的中点，则 GB 与平面 AGC 所成角的正弦值为( )12A. B.66 33C. D.63 23答案 C解析 以 A 为坐标原点， AF 为 x 轴，AB 为 y 轴，AD 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设平面 AGC 的法向量为 n( x，y，z) ，则 n 0，n 0，则Error!取 z1，则AG AC x1，y1，即 n(1 ，1,1)， (a，a,0)GB 设 GB 与平面 AG
6、C 所成角为 ，则 sin .|GB n|GB |n| 63二、填空题5正三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱长都相等，则 AC1 与平面 BB1C1C 的夹角的余弦值为_答案 104解析 设三棱柱的棱长为 1，以 B 为原点，建立坐标系如图，则 C1(0,1,1)，A， ，(32，12，0) AC1 ( 32，12，1)又平面 BB1C1C 的一个法向量 n(1,0,0) ，设 AC1 与平面 BB1C1C 的夹角为 .sin|cos n， | ，AC1 |AC1 n|AC1 |n| 64cos .1 sin21046自平面 外一点 P 向平面 引垂线段 PO 及两条斜线段 PA，PB，它们
7、在平面 内的射影长分别为 2cm 和 12cm，且这两条斜线与平面 所成的角相差 45，则垂线段 PO 的长为_答案 4cm 或 6cm解析 设 PA，PB 与 所成角分别为 1， 2，且 1 245，又 tan1 ，tan 2 ， ，a4 或 6.a2 a12 12 a12 a a27正四棱锥 SABCD 中，O 为顶点 S 在底面上的射影，P 为侧棱 SD 的中点，且SOOD，则直线 BC 与平面 PAC 所成的角是_答案 30解析 如图，以 O 为原点建立空直角坐标系 Oxyz.设 ODOSOAOB OC a，则 A(a,0,0)，B(0，a,0) ， C(a,0,0)，P(0， ， )
8、，a2 a2则 (2a,0,0)， (a， ， )， ( a，a,0)，设平面 PAC 的法向量为 n(x ，y，z)，CA AP a2 a2 CB 由Error!可求得 n(0,1,1) ，则 cos ，60，直线 BC 与平面nCB |n|CB | 12 CB PAC 所成的角为 906030.三、解答题8.如图所示，ABCD 是直角梯形，ABC90，SA平面ABCD， SAABBC1，AD ，求 SC 与平面 ABCD 所成的角12解析 解法 1：如图所示，设 n 是平面 的法向量，是平面 ABCD 的法向量，设 与 的夹角为 .AS CS AS ，CS CB BA AS ( ) 1.A
9、S CS AS CB BA AS AS AS | |1，| |AS CS CB BA AS 2 ，|CB |2 |BA |2 |AS |2 3cos .AS CS |AS |CS | 33arccos .33从而 CS 与平面 ABCD 所成的角为 arccos .2 33解法 2：连结 AC，显然SCA 即为 SC 与平面 ABCD 所成的角计算得：AC ，tan SCA ，222故 SC 与平面 ABCD 所成角为 arctan .229在平面四边形 ABCD 中，ABBDCD1，ABBD，CDBD.将ABD 沿 BD折起，使得平面 ABD平面 BCD，如图(1)求证：ABCD；(2)若
10、M 为 AD 中点，求直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值解析 (1)平面 ABD平面 BCD，平面 BCD平面 BCDBD，AB平面 ABD，ABBD，AB平面 BCD，又 CD平面 BCD，ABCD.(2)过点 B 在平面 BCD 内作 BEBD，如图由(1)知 AB平面 BCD，BE平面 BCD，BD平面 BCD，ABBE，ABBD以 B 为坐标原点分别以 ， ， 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角BE BD BA 坐标系依题意得 B(0,0,0)，C (1,1,0)，D(0,1,0) ，A(0,0,1)，M(0 ， )，12 12则 (1,1,0)， (0， )， (0,1，1)，BC BM 12 12 AD 设平面 MBC 的法向量 n(x 0，y 0，z 0)，则Error!即Error!取 z01，得平面 MBC 的一个法向量 n(1 ，1,1)，设直线 AD 与平面 MBC 所成的角为 ，则 sin|cos n， | AD |nAD |n|AD | 63即直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值为 .63
