1、成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教B版 选修2-1,常用逻辑用语,第一章,1.1命题与量词1.1.2量词,第一章,试问：理发师给不给自己理发？如果理发师给自己理发，那以违背了他的约定，如果理发师不给自己理发，那么按照他的约定，应给自己理发原因是理发师的约定中，虽然没有明说该村的一切人(或所有人)，实际上，是指村里的一切人，且包括他自己为什么会出现以上矛盾情况？提示：由于约定为全称命题，包括了理发师本人，他本人也受约定的制约.,1.判断一个语句是命题的方法有哪些？2在自然语言中，与“所有”“存在”等价的说法有哪些？3判断正误：(1)菱形的四条边相等；()(2)正数的平方根不等于
2、0；()(3)至少有一个正整数是偶数(),答案：1.看语句：一般地，陈述句有可能是命题，而祈使句、疑问句、感叹句不是命题(2)明特征：看此语句是否具备命题的特征：能判断真假2与“所有”等价的说法有：“一切”“每一个”“任一个”等，与“存在”等价的说法有“有一个”“至少有一个”“有些”等3(1)(2)(3),一、全称量词与全称命题1全称量词与全称命题的定义短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示含有全称量词的命题，叫做全称命题2全称命题的形式一般地，设p(x)是某集合M的所有元素都具有的性质，那么全称命题就是形如“对M中的所有x，p(x)”的命题用符号简记
3、为xM，p(x),3常见的全称量词“所有”“任意”“都”“全部”“一切”“任何一个”“每一个”“凡是”等是一些常见的全称量词注意：有些全称命题中的全称量词会省略，在判断时应引起注意如“对数函数是单调函数”，即省略了全称量词“所有的”，它可以写为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题,判断下列命题是不是全称命题，并判断其真假(1)负数的平方是正数；(2)每个二次函数的图象都与x轴相交解析(1)是全称命题，省略了全称量词“所有”，是真命题(2)是全称命题，含有全称量词“每个”，是假命题,三、存在量词与存在性命题1存在量词与存在性命题的定义短语“有一个”“有些”“至少有一个”在陈述中
4、表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示含有存在量词的命题，叫做存在性命题2存在性命题的形式一般地，设q(x)是某集合M的有些元素x具有的某种性质，那么存在性命题就是形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，用符号简记为xM，q(x),3常见的存在量词“有一个”“有些”“至少有一个”“某个”“存在”等是一些常见的存在量词注意：(1)同一个全称命题、存在性命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方式，现列表总结如下，在实际应用中可以灵活选择：,(2)并不是所有的“存在”“任意”等词都是量词，这些词只有表示所述事物的数量范围时才是量词例如：有些四边形存在外接圆，其中
5、“存在”一词就不是量词再如：过两平行线有且只有一个平面，“有且只有”不是量词，而量词“任意”被省略了，即“过任意两平行线有且只有一个平面”,试用不同的方式表述存在性命题：“有些三角形不是等腰三角形”解析存在某个三角形，它不是等腰三角形；至少有一个三角形，它不是等腰三角形；对有些三角形，它不是等腰三角形,三、全称命题与存在性命题的真假判断1要判断全称命题“xM，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x，使得p(x)不成立，那么这个全称命题就是假命题2要判断存在性命题“xM，q(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使q(x)成立即可；如
6、果在集合M中，使q(x)成立的元素x不存在，那么这个存在性命题就是假命题3判断全称命题与存在性命题的真假，也要通过生活和数学中的丰富实例，结合相关的数学知识综合判断,判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假(1)不相交的两条直线是平行线；(2)存在正实数x，y，使x2y20.解析(1)全称命题，不相交的两条直线也可能是异面直线，因此，命题是假命题(2)存在性命题，要使x2y20成立，只有xy0，而0不是正实数，因而不存在正实数x，y，使x2y20，因此，命题是假命题,四、利用等价转化求参数范围(1)全称命题反映了命题的恒成立性质，全称命题为真，意味着对于限定集合中的每一个元素都能具有
7、某种性质，因此，当给出限定集合中的任意特定元素时，都具有此性质例如，由于“a，bR，(ab)(a2abb2)a3b3”为真，因此，当a3，b5时，(35)(91525)3353自然是正确的对于不等式恒成立问题的解题思路往往有两种：若是二次不等式，往往运用二次函数的性质求解；若是可以分离参数转化为af(x)(或af(x)的形式，则转化为af(x)max(或af(x)min)，即转化为函数最值问题来解决,(2)存在性命题常见题型是以满足某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句来表述解答此类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明若推出合理的结
8、论，则存在性得以解决；若导致矛盾，则否定了存在性,判断下列命题是全称命题还是存在性命题(1)指数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；(3)xx|x是无理数，x2是无理数；(4)xx|xZ，log2x0；(5)负数的平方是正数；(6)有的实数是无限不循环小数,全称命题与存在性命题的判断及表述,思路分析题目中，每个小题都给出了一个具体的语句，要判断它们是全称命题还是存在性命题，要考虑由概念去判断解析(1)中含有全称量词“都”，所以是全称命题(2)中含有存在量词“至少有一个”，所以是存在性命题(3)中含有全称量词符号“”，所以是全称命题(4)中含有存在量词符号“”，
9、所以是存在性命题(5)中省略了全称量词“都”，所以是全称命题(6)中含有存在量词“有的”，所以是存在性命题,方法总结判定一个语句是全称命题还是存在性命题时要注意以下三点：(1)首先判断该语句是否是一个命题；(2)对命题属性进行判定时关键是看命题中含有的量词是全称量词还是存在量词；(3)对于不含有量词或省略了量词的命题要根据命题所涉及的实际意义进行判断,用量词符号“”“”表达下列命题：(1)实数都能写成小数形式；(2)凸n边形的外角和等于2；(3)任一个实数乘以1都等于它的相反数；(4)对任意实数x，都有x3x2；(5)对任意角，都有sin2cos21.,解析(1)xR，x能写成小数形式；(2)
10、xx|x是凸n边形，x的外角和等于2；(3)xR，x(1)x；(4)xR，x3x2；(5)|是角，sin2cos21.,判断全称命题与存在性命题的真假,指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是存在性命题，并判断真假(1)若a0，且a1，则对任意实数x，ax0；(2)对任意实数x1，x2，若x1x2，则tanx1tanx2；(3)T0R，使|sin(xT0)|sinx|；(4)x0R，使x10恒成立为真命题；(2)存在x10，x2，x10，故为假命题方法总结(1)全称命题为真，意味着对限定集合中的每一个元素都具有某种性质，不存在任何特例，否则为假；(2)存在性命题为真，意味着对限定集合中只要有一个元
11、素具有某种性质，可以存在不满足某种性质的其他元素如果在给定集合中找不到一个元素具有该性质，则为假命题,判断下列命题的真假：(1)xQ，x22；(2)对于某一个实数x，有x30成立,全称命题与存在性命题的应用,若r(x)：sinxcosxm，s(x)：x2mx10，如果xR，r(x)为假命题且s(x)为真命题，求实数m的取值范围思路分析充分利用存在性命题和全称命题的辩证关系，对命题r(x)：转化为求函数f(x)sinxcosx的值域问题，对命题s(x)：利用二次不等式恒成立问题求得m的取值范围，两个范围取交集即可,已知f(x)x22x5，若存在一个实数x，使不等式mf(x)0成立，求实数m的取值
12、范围解析不等式mf(x)0可化为mf(x)，若存在一个实数x使不等式mf(x)成立，只需mf(x)min，又f(x)(x1)24，f(x)4.m4，故m的取值范围是(4，).,函数与方程思想的应用,若不等式t22at1sinx对一切x，及a1,1都成立，则t的取值范围是_答案t|t2或t0或t2解析因为x，所以sinx1,1，于是由题意可得对一切a1,1不等式t22at11恒成立由t22at11得2tat20.,方法总结重视函数与方程思想的应用函数与方程的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解决有关求值、解方程、解不等式以及讨论参数的取值范围等问题；二是在解题中通过构造函数，把所研究的方程问题或不等式问题转化为讨论函数的有关性质问题本例中通过换元法将相应问题转化为二次函数在闭区间上的值域，一定要注意中间变量的取值范围,若R，使cos2x2sinxa0，则实数a的取值范围是_,
