1、选修 1-1 第二章 2.3 课时作业 20一、选择题1过点(0,1)作直线，使它与抛物线 y24x 仅有一个公共点，这样的直线有( )A1 条 B2 条C3 条 D4 条解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有 3 条：直线 x0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线 x0)，选 C.答案：C 2抛物线 yax 2 与直线 y kxb( k0) 交于 A、B 两点，且此两点的横坐标分别为x1，x 2，直线与 x 轴交点的横坐标是 x3，则恒有( )Ax 3x 1x 2 Bx 1x2x 1x3x 2x3Cx 1 x2x 30 Dx 1x2x 2x3
2、 x3x10解析：联立Error!则 ax2kxb0，则 x1x 2 ，x 1x2 ，x 3 .ka ba bk则 ，ba ka( bk)即 x1x2(x 1x 2)x3，选项 B 正确答案：B 32014湖南省长沙一中期中考试 已知抛物线 x22py( p0)的焦点为 F，过 F 作倾斜角为 30的直线，与抛物线交于 A，B 两点，若 (0,1)，则 ( )|AF|BF| |AF|BF|A B 15 14C D 13 12解析：本题主要考查直线与抛物线的位置关系因为抛物线的焦点为(0， )，直线方p2程为 y x ，与抛物线方程联立得 x2 pxp 20，解方程得 xA p，x B p，33
3、 p2 233 33 3所以 .故选 C.|AF|BF| |xA|xB| 13答案：C 42013大纲全国卷已知抛物线 C：y 28x 与点 M(2,2) ，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点，若 0，则 k( )MA MB A B 12 22C D 22解析：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，平面向量的坐标运算等知识由题意可知抛物线的焦点坐标为(2,0)，则直线方程为 yk(x2) ，与抛物线方程联立，消去 y 化简得 k2x2(4k 28)x4k 20 ，设点 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1x 24 ，x 1x24，所8k2以 y1y 2k(
4、x 1x 2)4k ， y1y2k 2x1x22(x 1x 2)4 16，因为 0，所以8k MA MB (x12)( x22)(y 12)(y 22)0(*)，将上面各个量代入(*) ，化简得 k24k40，所以k2，故选 D.答案：D 二、填空题5已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点为 F(1,0)，直线 l 与抛物线 C 相交于 A，B两点，若 AB 中点为(2,2)，则直线 l 的方程为_解析：由题意知，抛物线 C 的方程为 y24x，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，把 A，B 代入抛物线方程得Error! Error!得(y 1y 2)(y1y 2)4(x 1x 2)
5、又 y1y 24， 1.y1 y2x1 x2 4y1 y2直线 l 的方程为 y2x2，即 yx.答案：yx6直线 yxb 交抛物线 y x2 于 A，B 两点，O 为抛物线的顶点，OAOB，则 b12的值为_解析：由Error!得 x22x 2b0，设直线与抛物线的两交点为 A(x1，y 1)，B(x2，y 2)由根与系数的关系，得 x1x 22，x 1x22b ，于是 y1y2 (x1x2)2b 2，14由 OAOB 知 x1x2y 1y20，故 b22b0，解得 b2 或 b0(不合题意，舍去) 答案：27若直线 y2x 3 与抛物线 y24x 交于 A，B 两点，则线段 AB 的中点坐
6、标是_解析：本题主要考查直线与抛物线相交时的性质和设而不求数学思想的应用设A(x1，y 1)，B (x2，y 2)，联立方程得Error!整理得 4x216x90，由根与系数之间的关系知x1x 24，y 1 y22(x 1x 2)62，所以线段 AB 的中点坐标为 (2,1)答案：(2,1)三、解答题8. 当 a 为何值时，直线 yax1 与抛物线 y28x 只有一个公共点？解：当 a0 时，Error!消去 y，得a2x2(2 a8)x 10，当 (2a8) 24a 20，即 a2 时，直线与抛物线有一个公共点，此时直线与抛物线相切当 a0 时，直线 y1 与抛物线有一个交点，所以，当 a0
7、 或 2 时，直线 yax1 与 y28x 只有一个公共点9. 已知直线 l：y k(x1)与抛物线 y2x 交于 A、B 两点，O 为坐标原点(1)若OAB 的面积为 ，求 k 的值；10(2)求证：以弦 AB 为直径的圆必过原点解：(1)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，原点 O 到直线 AB 的距离为 d，联立得Error!，化简整理得 k2x2(2k 21)xk 20，由题意知 k0，由根与系数的关系得，x1x 2 ，x 1x21.2k2 1k2由弦长公式，得|AB| |x1x 2| ，1 k2 1 k21k4 4k2由点到直线距离公式 d ，|k|1 k2S OAB |AB|d ，12 12 1k2 4 10解得 k .16(2)证明：k OA ，k OB ，y1x1 y2x2k OAkOB .y1y2x1x2y x 1，y x 2，21 2x 1x2(y 1y2)2，k OAkOB ，又Error!，1y1y2得 ky2yk0，y 1y21，即 kOAkOB 1，OAOB ，以弦 AB 为直径的圆必过原点
