1、第三章 3.2 第 2 课时一、选择题1l、m 是两条直线，方向向量分别为 a(x 1，y 1，z 1)、b(x 2，y 2，z 2)，若 lm ，则( )Ax 1x 2，y 1y 2，z 1z 2Bx 1 kx2，y 1py 2，zqz 2Cx 1x2y 1y2 z1z20Dx 1x 2，y 1y 2，z 1z 2答案 D解析 由向量平行的充要条件可得2设平面 的法向量为(1,2，2) ，平面 的法向量为( 2，4，k)，若 ，则k( )A2 B4C4 D2答案 C解析 ， ，1 2 2 4 2kk4，故选 C.3已知点 A(4,1,3)、B(2，5,1) ，C 为线段 AB 上一点且 ，则
2、点 C 的坐标为( )|AC |AB | 13A( ， ， ) B( ，3,2)72 12 52 38C( ，1， ) D( ， ， )103 73 52 72 32答案 C解析 C 在线段 AB 上， ，设 C(x，y，z)，则由 得，AC AB |AC |AB | 13(x4， y1，z3) (24，51，13)，13即Error!，解得Error!.故选 C.4如果直线 l 的方向向量是 a(2,0,1)，且直线 l 上有一点 P 不在平面 内，平面 的法向量是 b(2,0,4)，那么( )Al Bl Cl Dl 与 斜交答案 B解析 ab440，ab，又l，l.二、填空题5已知 A、B
3、 、C 三点的坐标分别为 A(1,2,3)、B (2，1,1)、C(3，)，若 ，则 等于_AB AC 答案 145解析 (1，3，2)、 (2，2，3)，AB AC ，AB AC 0，AB AC 23( 2)2(3)0，解得 .1456设平面 的法向量为( ，1,2) ，平面 的法向量为(1，m，4)，若 ，则12m_.答案 2解析 ，平面 的法向量与平面 的法向量平行，即 ，m2. 121 1m 2 4三、解答题7.如图，已知 P 是正方形 ABCD 所在平面外一点，M、N 分别是 PA、BD 上的点，且PMMABN ND58.求证：直线 MN平面 PBC.证明 MN MP PB BN P
4、M PB BN 513PA PB 513BD ( ) ( )513BA BP PB 513BA BC ，513BP BP 513BC 513BC 813BP 与 、 共面， 平面 BCP，MN BC BP MN MN平面 BCP，MN平面 BCP.8已知三棱锥 PABC，D、E、F 分别为棱 PA、PB、PC 的中点，求证：平面DEF平面 ABC.证明 证法一：如图设 a， b， c，则由条件知， 2a， 2b， 2c，PD PE PF PA PB PC 设平面 DEF 的法向量为 n，则 n 0，n 0，DE DF n(ba)0，n( ca)0，n n( )n(2 b2a) 0，n n( )
5、n(2c2a)AB PB PA AC PC PA 0，n ，n ，AB AC n 是平面 ABC 的法向量，平面 DEF平面 ABC.证法二：设 a， b， c，则 2a， 2b， 2c，PD PE PF PA PB PC ba， c a， 2b2a， 2c2a，DE DF AB AC 对于平面 ABC 内任一直线 l，设其方向向量为 e，由平面向量基本定理知，存在唯一实数对( x，y) ，使 ex y x(2b2a)y(2 c2a) 2x(ba)2y( ca)AB AC 2x 2y ，e 与 、 共面，DE DF DE DF 即 e平面 DEF，l平面 DEF， l平面 DEF.由 l 的任
6、意性知，平面 ABC平面 DEF.9.如图，已知正方体 ABCDA 1B1C1D1中，E、F 、G、H、 M、N 分别是正方体六个表面的中心，证明：平面 EFG平面 HMN.证明 如图，建立空间直角坐标系 Dxyz，设正方体的棱长为 2，易得 E(1,1,0)、F(1,0,1)、G(2,1,1)、H (1,1,2)、M(1,2,1)、N(0,1,1) (0 ，1,1)、 (1,0,1)、EF EG (0,1， 1)、 (1,0，1)HM HN 设 m(x 1，y 1，z 1)、n(x 2，y 2，z 2)分别是平面 EFG、平面 HMN 的法向量，由Error!Error!，令 x11，得 m
7、(1 ，1，1)由Error!Error!.令 x21，得 n(1，1， 1)mn，即平面 EFG平面 HMN.一、选择题1下面各组向量为直线 l1与 l2方向向量，则 l1与 l2一定不平行的是( )Aa(1,2，2)、b( 2，4,4)Ba(1,0,0)、b( 3,0,0)Ca(2,3,0)、b(4,6,0)Da(2,3,5)、b( 4,6,8)答案 D解析 l 1与 l2不平行则其方向向量一定不共线A 中：b2a，B 中：b3a，C 中：b2a.故选 D.2(2015甘肃天水一中高二期末测试) 两个不重合平面的法向量分别为 v1(1,0，1)、v2( 2,0,2)，则这两个平面的位置关系
8、是( )A平行 B相交不垂直C垂直 D以上都不对答案 A解析 v 1(1,0，1)，v 2(2,0,2) ，v 22v 1，v 1v 2，两个平面平行二、填空题3已知线段 AB 的两端点坐标为 A(9，3,4)、B(9,2,1) ，则线段 AB 与哪个坐标平面平行_答案 yOz 平面解析 (0,5，3)，AB 因 yOz 面方程为 x0，故 yOz 面AB 4已知平面 内有一点 M(1，1,2)，平面 的一个法向量 n(6，3,6) ，则点P(2,3,3)与平面 的位置关系是_答案 P解析 (1,4,1)， n1634160 ，MP MP n，MP 又点 M ， P .三、解答题5如图，点 P
9、 是矩形 ABCD 所在平面 外一点，连接 PA、PB、PC、PD.(1)四个三角形 PAB、PBC、PCD、PDA 的重心 E、F 、G、H 是否共面？(2)若(1)中的四点共面，请指出此平面与平面 的关系；否则，请说明理由解析 (1)连接 PE、PF 、PG、PH 并延长分别交 AB、BC、CD、DA 于点M、N 、R 、Q，连接 EF、FG 、HG、HE.则 M、N、R、Q 分别为 AB、BC、CD、DA 边的中点，连接 MN、RN、QR、QM ，四边形 MNRQ 是平行四边形，且 ， ， ， ，PE 23PM PF 23PN PG 23PR PH 23PQ 又 ( )MR MQ MN
10、PQ PM PN PM 32PH 32PE 32PF 32PE 32PH PE ( ) .32PF PE 32EH 32EF 而 ( ) ，整理得 ，MR PR PM 32PG PE 32EG 32EH 32EF EG EH EF 显然，E、F 、G、H 四点共面(2)由(1)知 ，故 MREG ，从而 EG平面 MNRQ，即 EG平面 .MR 32EG 又 ，HE PE PH 23PM 23PQ 23QM 故 HEQM ，从而 HE平面 MNRQ，即 HE平面 .由于 EGHEE，故平面 EFGH平面 .6.如图，在正方体 AC1中，O 为底面 ABCD 的中心，P 是 DD1的中点设Q 是
11、 CC1上的点当点 Q 在什么位置时，平面 D1BQ平面 PAO?解析 建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，设正方体棱长为 2，则 O(1,1,0)、A(2,0,0)、P(0,0,1)、B(2,2,0)、D 1(0,0,2)再设 Q(0,2，c)， (1，1,0)， (1，1,1)， (2,0，c )，OA OP BQ (2， 2,2)BD1 设平面 PAO 的法向量为 n1(x，y，z)，则Error!，Error!，令 x1，则 y1，z2.平面 PAO 的一个法向量为 n1(1,1,2)若平面 D1BQ平面 PAO，那么 n1也是平面 D1BQ 的一个法向量n 1 0，即22c0，c
12、1，BQ 这时 n1 2240，BD1 故当 Q 为 CC1的中点时，平面 D1BQ平面 PAO.7如图，在底面是菱形的四棱锥 PABCD 中，ABC60，PA ACa，PBPD a，点 E 在 PD 上，且 PEED21. 在棱 PC 上是否存在一点2F，使 BF平面 AEC？证明你的结论证明 以 A 为坐标原点，直线 AD、AP 分别为 y 轴、z 轴，过 A 点垂直平面 PAD 的直线为 x 轴，建立空间直角坐标系(如图) ，则由题设条件知，相关各点的坐标分别为 A(0,0,0)、B( a， a,0)、C( a， a,0)、D (0，a,0)、P(0,0 ，a)、E(0 ， a， a)，
13、32 12 32 12 23 13 (0 ， a， a)、 ( a， a,0)、 (0,0 ，a)、 ( a， a，a) 、AE 23 13 AC 32 12 AP PC 32 12 ( a， a，a) BP 32 12设点 F 是棱 PC 上的点， ( a， a，a)，其中 01.PF PC 32 12则 ( a， a，a) ( a， a，a)( a(1) ， a(1)，a(1 )，BF BP PF 32 12 32 12 32 12令 1 2 ，BF AC AE 得Error!，即Error!，解得 ， 1 ， 2 ，12 12 32即当 时， ，12 BF 12AC 32AE 即 F 是 PC 的中点时， 、 、 共面，又 BF平面 AEC，BF AC AE 当 F 是棱 PC 的中点时，BF平面 AEC.
