1、第三章 数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.1 数系的扩充和复数的概念1.有下列四个命题:方程 2x-5=0 在自然数集 N 中无解;方程 2x2+9x-5=0 在整数集 Z 中有一解,在有理数集 Q 中有两解 ;x=i 是方程 x2+1=0 在复数集 C 中的一个解;x 4=1 在 R 中有两解,在复数集 C 中也有两解.其中正确命题的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4解析:方程的解为 x= N,故正确.方程的解为 x1= Q,x2=-5ZQ,故正确.由 i2=-1,知 x=i 是方程 x2+1=0 在复数集 C 中的一个解,故正确.x 4=1 在复数集 C
2、中的解的个数为 4,故不正确.答案:C2.以 2i- 的虚部为实部, i+2i2的实部为虚部的新复数是 ( )A.2-2i B.2+iC.- i D. i解析:2i- =- +2i 的虚部为 2, i+2i2=-2+ i 的实部为-2,所以新复数为 2-2i.答案:A3.已知集合 M=1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i,集合 P=-1,3,MP=3,则实数 m 的值为( )A.-1 B.-1 或 4C.6 D.6 或- 1解析:MP=3, (m2-3m-1)+(m2-5m-6)i=3. m=-1.故选 A.答案:A4.若复数 z1=sin2+icos,z2=cos+i sin,z
3、1=z2,则 等于( )A.k(kZ) B.2k+ (kZ)C.2k (kZ) D.2k+ (kZ)解析:由复数相等的定义,可知cos= ,sin= .= +2k,kZ,故选 D.答案:D5.已知复数 z1=m+(4+m)i(mR),z2=2cos+(+3cos)i(R),若 z1=z2,则 的取值范围是 .解析:z 1=z2,=4-cos.又 -1cos1,34-cos5.3,5.答案:3,56.设复数 z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m)(mR),若 z 是纯虚数,则 m= . 解析:z 为纯虚数, m=-1.答案:-17.若 log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+
4、2x+1)1,则实数 x 的值( 或取值范围)是 . 解析:由题意知 解得 x=-2.答案:-28.已知 z1=x+2+(y+1)i=2014+2015i=z2,求 x 和 y.解:根据复数相等的充要条件 a+bi=c+dia=c,且 b=d(a,b,c,dR),可得 解得9.是否存在实数 m 使复数 z=(m2-m-6)+ i 为纯虚数?若存在,求出 m 的值,否则,请说明理由.分析:先假设存在实数 m 使复数 z 为纯虚数,由纯虚数的定义将问题转化为实数范围内方程组的解的问题进行求解.解:假设存在实数 m 使 z 是纯虚数,则由,得 m=-2 或 m=3.当 m=-2 时,式左端无意义;当 m=3 时,式不成立,故不存在实数 m 使 z 是纯虚数.10.已知复数 z= -x+(x2-4x+3)i0,求实数 x 的值.分析:只有两个实数才能比较大小 ,所以 z 为实数且 z0.解:z 0,zR.x2-4x+3=0,解得 x=1 或 x=3.z0, -x0.对于不等式 -x0,x=1 适合,x=3 不适合,x=1.
