2019年河北省衡水中学高三上学期期中考试数学（理）试题（解析版）.doc-道客多多

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1、第 1 页共 20 页2019 届河北省衡水中学高三上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1抛物线的焦点坐标是A (0,1) B (1,0) C (0,2) D (0, )【答案】D【解析】先将抛物线的方程化为标准方程形式 x2= y，确定开口方向及 p 的值，即可得到焦点的坐标【详解】抛物线的标准方程为 x2= y，p= ，开口向上，故焦点坐标为（0，），故选：D【点睛】根据抛物线的方程求其焦点坐标，一定要先化为标准形式，求出的值，确定开口方向，否则，极易出现错误2已知圆，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点，则点的轨迹的方程是A B C D 【答案】B

2、【解析】由已知，得|PF 2|=|PA|，所以|PF 2|+|PF1|=|PA|+|PF1|=|F1A|=6，又|F 1F2|=4，46 根据椭圆的定义，点 P 的轨迹是 M，N 为焦点，以 3 为实轴长的椭圆，即可得出结论【详解】由已知，得|PF 2|=|PA|，所以|PF 2|+|PF1|=|PA|+|PF1|=|F1A|=6第 2 页共 20 页又|F 1F2|=4，46，根据椭圆的定义，点 P 的轨迹是 F1，F2 为焦点，以 3 为实轴长的椭圆，所以 2a=6，2c=4，所以 b= ，所以，点 P 的轨迹方程为：故选：B【点睛】本题考查椭圆的方程与定义，考查学生的计算能力，正确运

3、用椭圆的定义是关键，属于中档题,圆锥曲线中的求轨迹方程的方法；常见的方法有：数形结合法即几何法；相关点法，直接法；定义法，代入法，引入参数再消参的方法，交轨法是一种解决两直线交点的轨迹的方法，也是一种消参的方法。3将函数 y=3sin（2x+ ）的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点（，0 ）中心对称A 向左平移个单位 B 向右平移个单位C 向左平移个单位 D 向右平移个单位【答案】B【解析】设出将函数 y=sin（2x+ ）的图象平移个单位得到关系式，然后将 x= 代入使其等于0，再由正弦函数的性质可得到的所有值，再对选项进行验证即可第 3 页共 20 页【详解】假设将函数

4、y=sin（2x+ ）的图象平移个单位得到y=sin（2x+2+ ）关于点（，0）中心对称将 x= 代入得到sin（ +2+ ）=sin（ +2）=0 +2=k，= + ，当 k=0 时，= ，向右平移，故选：B【点睛】本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将 x 的系数提出来，针对 x 本身进行加减和伸缩.4函数的图象是A B C D 【答案】A【解析】先通过函数的零点排除 C，D，再根据 x 的变化趋势和 y 的关系排除 B，问题得以解决【详解】第 4 页共 20 页令 y=（2x1）ex

5、=0，解得 x= ，函数有唯一的零点，故排除 C，D，当 x 时，e x0，所以 y0 ，故排除 B，故选：A【点睛】本小题主要考查函数的性质对函数图象的影响，并通过对函数的性质来判断函数的图象等问题已知函数的解析式求函数的图像，常见的方法是，通过解析式得到函数的值域和定义域，进行排除，由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性，或者中心对称性，进行排除，还可以代入特殊点，或者取极限.5已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A B 3 C D 6【答案】B【解析】试题分析：根据三视图知几何体的下面是一个圆柱，上面是圆柱的一半，所以故应选 B【考点】空间几何体的三视图.6已知是双曲线

6、上不同的三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率为A B C 2 D 3【答案】C【解析】设出点点的坐标，求出斜率，将点的坐标代入方程，两式相减，再结合 kPAkPB=3，即可求得结论【详解】由题意，设 A（x1，y1），P（x2，y2），则 B（x1，y1）第 5 页共 20 页kPAkPB= 两式相减可得 ,kPAkPB=3， e=2故选：C【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中与椭圆中的关系不同求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（

7、1）直接求出的值,可得；（2）建立的齐次关系式,将用表示,令两边同除以或化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围7 7已知抛物线 x24y 上有一条长为 6 的动弦 AB，则 AB 的中点到 x 轴的最短距离为( )A B 342C 1 D 2【答案】D【解析】解析：设抛物线的焦点为的中点为，准线方程为，则0,1FABM1y点到准线的距离，即点到准线的距离的最小值M1322d为，所以点到轴的最短距离，应选答案 D。min3dx/min12id8如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为（）第 6 页共 20 页A 8 B 4C

8、 D 23【答案】C【解析】由三视图可知：该几何体的直观图如图所示，由三视图特征可知，平面 , 平面 , PABCDABC,面积最小的为侧面，4,2PAB 12CDS故选：C.9在等腰直角三角形 ABC 中，C=90，，点 P 为三角形 ABC 所在平面上一动点，且满足 =1，则的取值范围是A B C -2,2 D 【答案】D【解析】建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，用参数方程表示点 P 的坐标，从而求出的取值范围【详解】根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示第 7 页共 20 页则 A（0，2），B（2，0），C（0，0），由| |=1 知，点 P 在以 B 为圆心，半径为 1

9、的圆上，设 P（2+cos，sin），0，2）；则 =（cos，sin），又 + =（2，2）；（ + ）=2cos+2sin=2 sin（+ ），当 + = ，即 = 时，（ + ）取得最大值 2 ，当 + = ，即 = 时，（ + ）取得最小值2 ，（ + ）的取值范围是 2 ，2 故选：D【点睛】本题考查了平面向量的数量积与应用问题，是中档题向量的两个作用：载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣” ，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.10已知是椭圆的左、右焦点，点 M（2 ， 3），则的角平分线的斜率为A 1 B

10、 C 2 D 【答案】C【解析】求得直线 AF1 的方程，根据角平分线的性质，可得 P 到 AF1 的距离与 P 到 AF2 的距离第 8 页共 20 页相等，即可求得直线 l 的方程【详解】由椭圆，则 F1（2，0），F2（2，0），则直线 AF1 的方程为 y= （x+2），即 3x4y+6=0，直线 AF2 的方程为 x=2，由点 A 在椭圆 C 上的位置得直线 l的斜率为正数，设 P（x，y）为直线 l 上一点，则 |x2|，解得 2xy1=0 或 x+2y8=0（斜率为负，舍），直线 l 的方程为 2xy1=0，直线的斜率为：2.故答案为：C【点睛】本题考查椭圆的性质，点到直线

11、的距离公式，考查转化思想，属于中档题11如图，在四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为正三角形，底面 ABCD 为正方形，侧面PAD底面 ABCD，M 为底面 ABCD 内的一个动点，且满足 MPMC，则点 M 在正方形ABCD 内的轨迹为（）第 9 页共 20 页【答案】A【解析】试题分析：根据题意可知 PD=DC，则点 D 符合“M 为底面 ABCD 内的一个动点，且满足 MP=MC”设 AB 的中点为 N，根据题目条件可知 PANCBNPN=CN，点 N 也符合“M 为底面 ABCD 内的一个动点，且满足 MP=MC”故动点 M 的轨迹肯定过点 D 和点 N而到点 P 与到点 N

12、的距离相等的点为线段 PC 的垂直平分面线段 PC 的垂直平分面与平面 AC 的交线是一直线【考点】直线与平面垂直的性质；平面与平面之间的位置关系12已知球 O 与棱长为 4 的正方体的所有棱都相切，点 M 是球 O 上一点，点 N 是的外接圆上的一点，则线段的取值范围是A B C D 【答案】C【解析】线段 MN 长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正方体的各棱都相切的球的半径，线段 MN 长度的最大值是正方体的外接球的半径加正方体的各棱都相切的球的半径，由此可得结论【详解】第 10 页共 20 页设与正方体的各棱都相切的球的球心为 O，其半径为 r=2 ，正方体的外接球为 O1，

13、则三角形 ACB1 的外接圆是正方体的外接球为 O的一个小圆，其半径 R= 点 M 在与正方体的各棱都相切的球面上运动，点 N 在三角形 ACB1 的外接圆上运动，线段 MN 长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正方体的各棱都相切的球的半径，线段 MN 长度的最大值是正方体的外接球的半径加正方体的各棱都相切的球的半径，由此可得线段 MN 的取值范围是 .故选：C【点睛】本题考查空间距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定线段 MN 长度的最值是正方体的外接球的半径加减正方体的各棱都相切的球的半径是关键属于中档题二、填空题13已知 cos（）= ，则 sin（）=_.【答案】【解析

14、】根据诱导公式和二倍角公式即可求出【详解】cos（+）= ，cos= ，sin（2+ ）=cos2=2cos21= 1= ，第 11 页共 20 页故答案为：【点睛】本题考查了诱导公式和二倍角公式，属于基础题三角函数求值与化简必会的三种方法：(1)弦切互化法:主要利用公式 tan = ;形如 ,asin2x+bsin xcos x+ccos2x 等类型可进行弦化切；(2)“1”的灵活代换法:1= sin2+cos2=(sin+cos)2-2sincos=tan 等；(3)和积转换法: 利用(sincos )2=12sincos,(sin+cos)2+(sin-cos)2=2 的关系进行变

15、形、转化.14若等差数列满足，则当 _时， na789710,an的前项和最大na【答案】8【解析】由条件知道，因为数列是等差数列，故公差小于 0 或者大于 0， 78980aa故得到符号相反，故，故数列中前 8 项大于 0，1,89a和 9a从第九项开始小于 0，故得到前 8 项的和最大。故答案为：8.15如图 1，在矩形中，，，是的中点；如图 2，ABCD21BCED将沿折起，使折后平面平面，则异面直线和所成DEEAAB角的余弦值为_【答案】 6【解析】取的中点为，连接，，延长到使，连接AEODBOECF，，，则，所以为异面直线和所

16、成角或它BFDFBAEADB的补角.第 12 页共 20 页 1DAE ，且O2DO在中，根据余弦定理得 .AB22coscs45AOBB 102O同理可得， 6F又平面平面，平面平面，平面DAEBCDAEBCAEDOAE 平面O 平面B ，即222153D3BD同理可得， 7F又 2BAE在中， D22376cos 2DBF两直线的夹角的取值范围为 0,2异面直线和所成角的余弦值为AEDB6故答案为 .6点睛：对于异面直线所成的角，一般是通过平移的方法形成异面直线所成的角（或其补角），再根据其所在三角形的边角关系，计算其大小，要注意异面直线所成的角是锐角或直角，若计算出

17、是钝角时，其补角才是异面直线所成的角. 第 13 页共 20 页16已知函数（0x ），若函数的所有零点依次记为，则 =_.【答案】【解析】求出 f（x）的对称轴，根据 f（x）的对称性得出任意两相邻两零点的和，从而得出答案【详解】令 2x+ = +k 得 x= + ，kZ，即 f（x）的对称轴方程为 x= + ，kZf（x）的最小正周期为 T=，0x ，f（x）在（0，）上有 30 条对称轴，x1+x2=2 ，x2+x3=2 ，x3+x4=2 ，xn1+xn=2 ，将以上各式相加得：x 1+2x2+2x3+2xn1+xn=2（ + + + ）=2 30=445故答案为：445【

18、点睛】本题考查了正弦函数的图象与性质，函数对称性的应用，属于中档题利用函数y=Asin（ x + ）的图像和性质，在研究函数的单调性和最值时，一般采用的是整体思想，将 x + 看做一个整体，地位等同于 sinx 中的 x。三、解答题17设为各项不相等的等差数列的前 n 项和，已知 .(1)求数列的通项公式；(2)设为数列的前 n 项和，求 .第 14 页共 20 页【答案】（1）；（2） .【解析】（1）直接利用已知条件，根据等差数列的公式得到方程，求出数列的通项公式；（2）利用第一问的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和【详解】（1）等差数列a n的前 n 项和，已知

19、 a3a5=3a7，S3=9设a n的公差为 d，则由题意知解得（舍去）或，an=2+（n1）1=n1（2），【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验 n=1 时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.18在中， .ABC25,cos4AC（1 ）求的值；sin（2 ）设的中点为，求中线的长.D【答案】（1）；（2） .305【解析】解：(1)因为 cosC ，且 C 是三角形的内角，第 15 页共 20 页所以 sinC

20、21cosC5所以 sinBACsin(BC)sin(BC)sinBcosCcosBsinC 25 5310(2)在 ABC 中，由正弦定理，得，sinBCAsi所以 BC sinBAC 6 ，sinACB25310于是 CD BC312在ADC 中，AC2 ，cosC ，525所以由余弦定理，得AD 2cosACDC 25093即中线 AD 的长为 19如图，抛物线的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 A.点 C 在抛物线 E2:4Eyxl上，以 C 为圆心，为半径作圆，设圆 C 与准线交于不同的两点 M，N.O（I）若点 C 的纵坐标为 2，求；MN（II）若，求圆 C 的半

22、而不求）及圆锥曲线的性质.平时只要注意计算此题问题就不会太大.【考点定位】本题考查抛物线的方程、圆的方程与性质、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想属于中等难度. 20已知椭圆 C：的离心率为，分别为椭圆的左、右顶点，点满足 .(1)求椭圆的方程；(2)设直线经过点且与交于不同的两点，试问：在 x 轴上是否存在点 ,使得直线与直线的斜率的和为定值？若存在，求出点的坐标及定值，若不存在，请说明理由.第 17 页共 20 页【答案】（1）；（2）Q（2，0），1 .【解析】（1）根据题

23、干向量坐标化得到 =（-a-2,1）(a-2,1)=1，解得 a 值即可；（2）联立直线和椭圆得到二次方程，，通分再由韦达定理得到【详解】（1）依题意，，P（2，-1），所以 =（-a-2,1）(a-2,1)=5-a 2,由 =1，a0,得 a=2,因为 e= ，所以 c= ，b 2=a2-c2=1，结果为，进而得到最终结果.故椭圆 C 的方程为 .（2）假设存在满足条件的点 Q（t，0），当直线 l 与 x 轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意，因此直线 l 的斜率 k 存在，设 l：y+1=k（x-2），由消 y，得（1+4k 2）x 2-（16k 2+8k）x+16k

24、2+16k=0， =-64k0,所以 kea-1,所以 g（x）在（0，e a-1）上单调递减，在（e a-1，）上单调递增. 当 ea-11，即 a1 时，g（x）在（1,e上单调递增，所以 g（x）g(1)=0.此时函数 g（x）在（1,e上没有零点，当 1ea-1e,即 1a2 时，g（x）在1,e a-1)上单调递减，在（e a-1,e上单调递增，又因为 g（1）=0，g（e）=e-ae+a，g（x）在(1,e上的最小值为 g（e a-1）=a-e a-1，第 19 页共 20 页所以（i）当 1a 时，g（x）在1,e上的最大值 g（e）0，即此时函数 g（x）在(1,e上有零

25、点. （ii）当 a2 时，g（e）0，即此时函数 g（x）在（1,e上没有零点，当 ee a-1即 a2 时，g（x）在1,e上单调递减，所以 g（x）在1,e上满足g（x）g(1)=0 ，此时函数 g（x）在(1,e上没有零点. 综上，所求的 a 的取值范围是或 .【点睛】在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，得出结论22已知椭圆的离心率为是它的一个顶点，21:(0)xyCab2,0P过点作圆的切线为切点，

26、且 .P22:r,PTT（1 ）求椭圆及圆的方程；12（2 ）过点作互相垂直的两条直线，其中与椭圆的另一交点为，与圆交12,l1lD2l于两点，求面积的最大值.,ABDA【答案】（1），椭圆方程为 ;（2）的面积最大值2Cxy214xyAB为 .23【解析】试题分析：（1）依据基本量求出椭圆方程和圆的方程；（2）设出直线方1l程为，利用韦达定理求出的坐标以及弦长（用去表示），从而得2ykxPABk到面积关于的函数关系，求出其最大值即可.解析：（1）由，得，故所求椭圆方程为2,cae2,cb24xy第 20 页共 20 页由已知有 , 圆的方程为： .2rPOT2C2:xy（2 ）设直线方程为，由得 1lykx214yk， ,又 22840kx28PDkx.2 22441,11P DPkPkxk直线的方程为，即 2ly，220,211kxkABk22214ABCSPDk，当且仅当 22244333kk时取等号.因此的面积最大值为 .2210,kABC23点睛：椭圆中如果动直线过椭圆上一个定点，那么我们可以用其斜率表示另一个交点的坐标，进而讨论与直线相关的问题.对于解析几何的最值问题，往往需要利用函数或基本不等式求其最值.

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