1、收益率曲线和利率的期限结构 翟伟丽上次内容 债券的定价 债券的风险衡量 一个基点的价格值 麦考利久期 修正久期 凸性本次内容 收益率曲线 影响收益率曲线的因素 利率的期限结构 即期利率 远期利率 期限结构理论 STRIPS市场什么是收益率曲线 收益率曲线（yield curve）是用图来描述到 期收益率相对于到期时间或者风险度量， 如某个市场（如财政证券）中债务证券的 修正久期，相互关系的术语。 收益率曲线综合了市场中不同参与者的预 期 收益率曲线的形状简洁的抓住并总结了不 同期限贷款的贷款成本什么是收益率曲线 收益率曲线是分析利率走势和进行市场定 价的基本工具，也是进行投资的重要依 据。 不
2、存在违约风险的收益率曲线形成了债券 市场的“基准利率曲线”，其他债券和各 种金融资产均在这个曲线基础上，考虑风 险溢价后确定适宜的价格。收益率曲线的形状 收益率曲线通常被分成三种类型：向上倾 斜，水平，向下倾斜（或者反转的）收益率曲线平行移动 久期和凸性的局限性： 假设利率期限结构是平坦的 假设收益率曲线平行移动 假设未来现金流不随利率变化而变化 什么是平行移动？收益率曲线平行移动收益率曲线平行移动利率的波动性 为了更好的理解收益率曲线形状及其变化模式 ，我们需要检验短期利率和长期利率的波动 性。 波动性（volatility）度量了变量围绕其均值的 变化。利率的波动性即利率相对于其期望平均
3、水平的可变性。 由历史数据可以估计出波动性。 传统的估计波动率的方法是给定频率（日，周 ，月等）的一定数量的历史信息，计算序列的 标准差，然后将其年化，作为波动率的估计。 也可以利用期权等衍生产品价格估计出隐含波 动率。利率的波动性 在固定收益市场中，价格和收益率的波动 性都被使用。 修正久期可以将两者联系起来： 因此知道价格和收益率波动率其中的任何 一个，都可以由此式算出另一个。利率的波动性 估计波动率的传统方法 例6-1：设P t 表示某国债在t日的价格，y t 表示t 日的收益率，t=0,1,2N 1.计算样本中每个日期t的价格比率的自然对数 R t =ln(P t+1 /P t )，其
4、中t=0,1,N。 2.计算价格比率的自然对数的均值 3.计算每个t对应的离差平方 4.则日波动率估计为： 5.年波动率为：利率的波动性 当考察不同期限利率的波动性时： 1.短期波动一般高于长期波动 2.波动性显示出与利率水平，长短期价差有 关。息票效应和流动性效应 息票效应： 高息票的证券一般收益率也较高，对短期债券 和长期债券而言均成立。 流动性效应： 最新发行的证券（on-the-run）更具有流动性 ，价格较高，收益率较低。而已经发行的证券 (off-the-run)由于流动性较低，因此需要支付流 动性溢价，收益率较高，价格较低。 Warga(1992)说明了与其他相同的债券相比， 最
5、近发行的债券的定价反映了每年大约55个基 点的溢价。债券定价和YTM 截止到目前我们均是用YTM来定价债券： 对于每期的现金流来说，到期收益率均一 样，但是实际中，投资者并非如此。 每一个现金流将有它自己的折现率，折现 率取决于该现金流发生的时间和定价时点 的长度。债券定价和YTM 考虑一个息票率为6.5%，半年付息，4年到 期的债券，其YTM=9.3%，价格为$91.795. 因此：债券定价和YTM 但是实际中的利率情况为：债券定价和YTM 按照实际折现率： 两种算法得到同样的债券价格$91.795. 用第二种方法计算的时候就需要更好的理解利 率的期限结构 每一期息票的支付都可以看做是一个零
6、息债 券。利率的期限结构 利率的期限结构（term structure of interest rates）是指无违约风险的零息债券的到期收益 率与其期限之间的关系。 无违约风险的零息（纯贴现）债券的到期收益 率通常被称为即期利率(spot rate of interest)。 纯贴现债券的即期利率与其期限之间的关系被 称为即期曲线（spot curve）。 纯贴现债券：T-bills（国库券），strips（由美 国财政证券剥离获得的零息票债券）。利率的期限结构 为简单起见，我们假设零息债券的面值为 $1，还有j期到期的零息债券的价格为z j ： y j 为还有j期到期的零息债券的每期的即期
7、利 率。 如果是半年付息，零息债券的价格为：利率的期限结构 现实中零息债券的价格较少，较难获得， 但是付息债券的价格很容易获得，因此我 们可以从付息债券中算出零息债券的价格 和即期利率。（系靴程序bootstrapping procedure） 例：考虑如下的三个付息债券 债 券 价格 第一年 第二年 第三年 1 99.50 105 0 0 2 101.25 6 106 0 3 100.25 7 7 107利率的期限结构 首先，我们利用1年的付息债券来计算1年 的即期利率和1年零息债券的价格。 P i 为债券i的价格，C i 为债券i的息票支付，那 么第1只债券的价格表示为：利率的期限结构 从
8、而1年期的零息债券价格为： 实际上： 因此只要知道1年期付息债券的价格和息票， 就可以得到1年期零息债券的价格的1年期即期 利率的值。利率的期限结构 接下来，我们来计算z 2 和y 2 ： 注意：在第1年支付的第1个息票C 1 ，以1年 期的即期利率折现；在第2年支付的最终支 付100+C 2 ，以2年的即期利率折现。 在上式中只有y 2 未知，因此带入已知参数：利率的期限结构 实际上： 因此在算出来z 1 之后很容易就可以得到z 2 . 最后，我们利用3年期的付息债券来得到3 年期的即期利率和隐含的3年期零息债券的 价格。利率的期限结构 在上式中唯一的未知数就是3年期的即期利 率y 3 ，因
9、此带入P 3 ，C 3 ，y 1 和y 2 ，可得：利率的期限结构 综合所得： 到期期限（年） 隐 含零息债 券价 格 即期利率（% ） 1 0.9476 5.53 2 0.9015 5.32 3 0.8159 7.02利率的期限结构 我们也可以利用矩阵的方法来计算： 付息债券的信息表达为矩阵A： 付息债券的价格向量： 零息债券的价格向量： 那么零息债券价格和付息债券价格的关系 为： P=A*b 从而：平价债券收益率曲线 业内常用的另外一个收益率曲线为平价债 券收益率曲线（par bond yield curve）:以面 值出售的债券的到期收益率与其到期时间 之间的关系。 因为平价债券的到期收
10、益率等于其息票率 ，因此我们只要求出其息票率，就可以得 到平价债券的收益率曲线。 利用我们前例中求得的即期利率的结果。平价债券收益率曲线 首先，我们从1年期平价债券开始，设其息票 为x 1 ： 带入y 1 ，可得x 1 =5.53。 其次，我们计算2年期平价债券的息票率： 带入y 1 =5.53%，y 2 =5.32%，可得x 2 =5.327。 最后，计算3年期平价债券的息票率： 带入y 1 =5.53%，y 2 =5.32%，y3=7.02%，可得 x 3 =6.908。平价债券收益率曲线 因此3年内的平价债券收益率曲线为： 到期期限（年） 平价债 券收益率（% ） 1 5.530 2 5
11、.327 3 6.908远期利率 所谓远期利率（forward rate of interest） 是指隐含在给定的即期利率（spot rate of interest）中从未来的某一个时点到另一个 时点的利率水平。 以储蓄利率为例： 现行银行储蓄一年期存款利率为3.5%，二 年期存款利率为4.4%，10000元存2年哪种 的收益高？先存一年，到期后取出连本带 息再存一年？直接存2年定期？远期利率 第一种方式在第二年末的本息和为： 10000*(1+0.035) 2= 10712.25元， 第二种方式在第二年末的本息和为: 10000*(1+1.044) 2 =10899.36元 第二种方式较
12、第一种方式可以多得10899.36- 10712.25=187.11元。 之所以多得是因为放弃了第二年期间对第一年本息 和10000*(1+0.035)=10350元的处置权。因此，较大 的收益产生于第二年。 如果第一年取3.5%的利率，那么第二年的利率为 (10899.36-10350)/10350*100%=5.3%，这个5.3%就是 第二年的远期利率。远期利率 例子：某投资期为2年的债券投资者有以下 两种选择： 选择1：购买1年期的零息债券，待其到期 后，再购买另外一只1年期的零息债券； 选择2：购买2年期的零息债券。 如果这两种投资方法在2年后能带来同样的 收益，那么投资者选择哪一种债
13、券都无关 紧要。远期利率 该投资者知道1年零息债券和2年期零息债 券的即期利率。然而，他不知道1年以后购 买1年期零息债券的收益率（远期利率）。 给定1年期零息债券和2年期零息债券的即 期利率后，如何找出使得这两种选择一视 同仁的1年期债券的远期利率？远期利率 假设1年期和2年期的即期利率分别为y 1 ，y 2 ，1年以后的1年期远期利率为f 0 (1,2) 如果都是在2年末得到100美元，按照选择1 ，在year0的投入为100/(1+y 1 )(1+f 0 (1,2)；如 果选择2，在year0的投入为100/(1+y 2 ) 2远期利率 如果两种选择无差异的话，则初始投资应该一 样： 即
14、，如果投资者确信1年以后1年期零息债券的 收益率为f 0 (1,2)，那么这两种选择对他来说没 有差别。 用即期利率算出来的远期利率也叫隐含的远期 利率（implied forward rate）远期利率 推而广之，如何在t日锁定始于T 1 ，到期日 为T 2 的远期利率（T 2 T 1 t）？假设t时期 限为T 1 的利率为y 1 ，期限为T 2 的利率为y 2 .远期利率 为什么投资者会关注远期利率？ 最直接的原因就是即期利率中的隐含的远期利 率会对投资决策产生影响。 例子：假设一位投资者打算做一项为期1年（2 个6个月期）的投资。当前的6个月利率为7% ，且1年（2个6个月期）利率为6%
15、。使用远期 利率计算公式，该投资者会发现如果购买一只 2期的证券，相当于签署了一份6个月以后按 5%的6个月利率借出资金的远期合同。如果投 资者确信第2期的利率将高于5%，那么开始时 只买1期的证券，然后在第1期结束时将本息所 得再做一期投资，对他来说比较有利。远期利率 用收益率曲线可以计算投资期内未来任何 时间内的隐含远期利率： f 0 (1,2),f 0 (1,3),f 0 (2,3)? 到期期限（年） 隐 含零息债 券价 格 即期利率（% ） 1 0.9476 5.53 2 0.9015 5.32 3 0.8159 7.02期限结构的假说 关于利率的期限结构有大量的假说解释， 我们简单介
16、绍其中的几种： 1，预期假说: 由希克斯（Hicks，1946）和卢茨（Lutz， 1940）提出，有很多版本，其中一个为无 偏预期假说（unbiased expectation hypothesis）：当前的远期利率是未来即期 利率的无偏预期。期限结构的假说 如果f t (k,k+1)是t日锁定的将来的日期k，k+1 之间的1阶段远期利率，R k * 为k日的未来1阶 段的即期利率，那么无偏预期假说认为： f t (k,k+1)=E t R k * 按照预期理论，远期利率代表了预期的未 来利率，因此，某个特定时间的整个期限 结构就反映了市场当前对未来短期利率的 预期。期限结构的假说 上升的期
17、限结构表明市场预期短期利率会 在未来相应的时间段内上升； 水平的期限结构反映了市场预期未来短期 利率大体上是稳定的； 下降的期限结构则反应市场预期未来短期 利率会稳步下降。期限结构的假说 我们考察预期未来短期利率上升如何影响各种 市场参与者的行为，从而形成上升的收益率曲 线的情况。 假设初始的利率期限结构为水平状，并假定财 经报道会使市场参与者预期利率会上升。 那些原本对长期投资感兴趣的投资者将不再愿意购 买长期债券，因为他们预期收益率曲线迟早会上升 ，会导致债券价格下降并带来持有长期债券的资本 损失，于是他们转向短期债务工具。期限结构的假说 当预期利率会上升的投机者预期长期债券的价格将 下降
18、时，会卖出他们持有的所有长期债券或者“卖 空”手头现在没有的长期债券。所有出售长期债券 或者卖空债券取得的收入将投资于短期债务工具。 想获得长期借款的借款者将会选择现在借款，因为 根据预期，以后借款会更昂贵。 所有这些原因将引起对长期债券净需求的减少 和长期债券供应的增加，这两种反应将增加对 短期债券的需求。市场均衡要求长期收益率相 对于短期收益率呈上升趋势；也就是说，投资 者、投机者和借款者的这些行为将使期限结构 上翘，直至它与预期的更高的未来利率一致。期限结构的假说 流动性溢价假说(liquidity theory of term structure) 预期假说的缺陷在于没有考虑与债券投资
19、密切联系 的风险。但是在投资期内，持有长期债券是有风险 的，并且这一风险将随债券期限的延长而增加，因 为期限与价格的波动性是直接相关的。 考虑到这些不确定性以及投资者的风险厌恶，流动 性溢价假说认为：只有在长期债券提供的长期利率 比平均预期利率高于足够的部分，从而能够补偿投 资期限较长带来的风险时，投资者才会投资长期债 券。并且该理论认为，远期利率应当反映利率预期 和流动性溢价两部分内容，期限越长，溢价越大。 f t (k,k+1)=E t R k * + t (k,k+1)期限结构的假说 根据流动性理论，隐含的远期利率并非一 种市场对未来利率的无偏估计，因为它包 含了流动性溢价。因此，向上倾
20、斜的收益 率曲线既可反映未来利率上升的预期，也 可反映未来利率水平不变（甚至下降）的 预期；但是因为收益率曲线包含了随期限 延长增长足够快的流动性溢价，结果形成 了向上倾斜的形状。期限结构的假说 市场分割假说认为不同期限的债券代表了 具有各自供需压力的不同市场。决定收益 率曲线形状的主要因素是资产/负债管理约 束，及贷款人（借款人）将贷款（借款） 限制在特定的期限品种上。期限结构的假说 局部期望假说(local expectations hypothesis) ： 局部期望假说认为所有的债券在极短的持 有阶段中都提供相同的期望回报率，因此 这个假说可以表示为：剥离市场 剥离（separate
21、trading of registered interest and principal securities-STRIPS）指的是债 券发行后，把该债券的每笔利息支付和最 终本金的偿还进行拆分，然后依据各笔现 金流形成对应期限和面值的零息债券。剥离市场 例如：一只2000年6月18日发行的每年付息 一次的10年期债券，票面利率为8%，发行 金额为100万元，到期日为2010年6月18日 ，则期间有10笔利息的支付和最终的一次 本金偿还。当该只债券转换为本息分离债 券后，每一笔利息支付和本金偿还都分别 成为一只单独的债券，即可分离为10只金 额为8万元和1只金额为100万元的零息债 券。剥离市
22、场 剥离市场产生的原因： 1、付息债券利息在投资收益不确定： 受信息不对称和交易成本的影响，投资者往往 不能按时取出利息立即用于再投资； 由于利率变动的不确定性，如果付息债券的利 息收入流在到期时的再投资收益率低于购买时 所预期的到期收益率，则投资者的再投资面临 着利率风险。剥离市场 2、零息债券的特点是现金流量的一次性， 不必像普通的付息债券那样周期性的支付 票面利息，从而使投资者在到期日有一笔 确定的现金流入，节约了再投资成本并避 免了再投资风险，可以获得稳定的收益， 满足了偏好稳定收益的投资者需求。剥离市场 3、零息债券还可以提供税收方面的好处。 美国税法曾经规定利息在收到时才纳税， 则由于零息债券在期末支付全部利息，利 息税收的缴纳就被延迟，使投资者享有本 应该缴纳给税收机关的那部分资金的使用 权。剥离市场 4、本息分离债券的出现增加了投资机会， 满足了投资者对于各种期限零息债券的需 求。 付息债券的久期随着利率和到期时间的改 变而改变，因此那些通过购买付息债券而 匹配久期的投资者就不得不经常重新平衡 其头寸。但是零息债券的久期就等于其到 期期限，这将显著减少重新平衡头寸的需 要。
