1、第 1 页 共 17 页2019 届北京工业大学附属中学度第一学期摸底考试高三数学（理）学科试题一、单选题1已知命题 ， ，则A ，B ，C ，D ，【答案】B【解析】考查全称命题和特称命题的否定，方法是：把全称（存在）量词改为存在（全称）量词，把结论否定。所以 为： ，所以选 B；2下列命题中正确的是（ ）A 若 为真命题，则 为真命题B “ ”是“ ”的充分不必要条件C 命题“ ，使得 ”的否定是“ ，都有 ”D 命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”【答案】B【解析】试题分析：容易验证 ,则 ,反之若,则 或 ,因此答案B 正确的, 故应选 B.【考点】命题、命题的真假、复合命题及充
2、分必要条件的判定3 （ ）A B C D 【答案】D【解析】【分析】第 2 页 共 17 页直接运用诱导公式，转化为特殊角的三角函数值求解。【详解】=【点睛】本题考查诱导公式及特殊角的三角函数值，关键要牢记公式及特殊角的三角函数值，属于基础题。4已知集合 ,且 ,则 的取值范|12,|25AxaBxABa围是（ ）A B C D2a33a3a【答案】D【解析】试题分析：由 得：当 时， 满足题意；当A212时， （） 满足题意， （） A ,aa，综上， ，故选 D.21,235aa3【考点】集合间的关系5函数 的一个零点在区间 内，则实数 的取值范围是（ ）A B C D 【答案】C【解析】
3、【分析】由题意可得 f（1）f（2）=（0a） （3a）0，解不等式求得实数 a 的取值范围【详解】由题意可得 ，解得 ，故实数 的取值范围是 ，故选:C【点睛】第 3 页 共 17 页本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题6已知 则 的最小值是（ ）A B 4 C D 5【答案】C【解析】【分析】把条件 化为 ， = ，展开后运用基本不等式，即可求出最小值。【详解】由 得 ，于是 =由于 ，所以由基本不等式知= 。答案选 C。【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“一正”（条件要求式子中的字母为正数）， “二定” （不等式
4、两端中，有一端为定值） ，“三相等” （等号成立的条件可以达到） ，否则会出现错误。7为了得函数 的图象，只需把函数 的图象（ ）A 向左平移 个单位 B 向左平移 单位C 向右平移 个单位 D 向右平移 个单位【答案】A第 4 页 共 17 页【解析】【分析】将函数 的图象按图像变换规律逐步变到函数 的图象。【详解】不妨设函数 的图象沿横轴所在直线平移 个单位后得到函数 的图象。于是，函数 平移 个单位后得到函数， ，即 ，所以有 ， ，取 ， 。答案为 A。【点睛】由函数 的图像经过变换得到 的图像，在具体问题中，可先平移后伸缩变换，也可以先伸缩后平移变换，但要注意水平方向上的伸缩和平移变
5、换都是针对 x 值而言，故先伸缩后平移时要把 x 前面的系数变为 1。8已知 的二项展开式的各项系数和为 32，则二项展开式中 的系数为（ ）A 5 B 10 C 20 D 40【答案】B【解析】【分析】首先根据二项展开式的各项系数和 ，求得 ，再根据二项展开式的通项为 ，求得 ，再求二项展开式中 的系数.【详解】因为二项展开式的各项系数和 ，所以 ，又二项展开式的通项为 = ， ，所以二项展开式中 的系数为 。答案选择 B。【点睛】本题考查二项式展开系数、通项等公式，属于基础题。第 5 页 共 17 页9设 是定义在 上的奇函数，且 ,当 时，有 恒成立，则不等式 的解集为 （ ）A B C
6、 D 【答案】D【解析】【分析】分析：构造函数 ， ，当 时， = =， 在 上为减函数。 = = = ， 为偶函数。可以推测出 的图像，而 等价于 ，再结合图像推测 的解集。进而即可解决 。【详解】设 ， ，当 时， = = ，在 上为减函数。又 = = = ，所以 为偶函数且 = =0。因此 的图像大致如图。第 6 页 共 17 页由图像可知，当 时，有 ，此时 ，故 ；当 时，有，此时 ，故 ；所以 的解集为 。又 等价于 ，所以 的解集为 .故选 D。【点睛】导数在函数单调性中的应用及函数不等式的求解问题，其中构造函数，利用导数与单调之间的关系得出函数的单调性是解答的关键，可以根据条件
7、推测图像，直观得出结论或考虑某个具体的函数值，利用单调性的定义转化为自变量的不等关系，此类问题重点考查转化思想，以及分析问题和解决问题的能力。10函数 是定义域为 的可导函数，且对任意实数 都有 成立若当时，不等式 成立，设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）A B C D 【答案】A【解析】【分析】对任意实数 都有 成立可知函数 的对称轴为 ，再由不等式成立，可知函数 在对称轴左、右两侧的单调性， 为函数的极大值点，综合以上性质可推断 ， ， 的大小关系。【详解】因为对任意实数 都有 成立所以函数 的对称轴为 ，又因为不等式 成立，所以当 时， ， 递增；当 时， ， 递减，所以 为函
8、数的极大值点，因此有 ，即 。【点睛】本题考查了函数对称性，单调性及极值等性质的综合运用，综合性较强，关键要能将数学表达式与相应性质进行转化，深刻理解研究函数的过程和方法。本题属于中档题。第 7 页 共 17 页11设 表示 两者中较小的一个，若函数 ，则满足的 的取值范围是（ ）A B C D 【答案】B【解析】【分析】首先把函数 转化为分段函数，再分别列不等式求解即可。【详解】函数 可化为当 时 ，解得 ，所以 ；当 时， ，解得 ，所以 。综上可得， 。答案选 B。【点睛】本题是分段函数与不等式的综合，本题的处理难点在于如何把函数转化为分段函数，理解此处给出的函数的含义，是转化的关键点。
9、此题属于中档题。12若三个非零且互不相等的实数 成等差数列且满足 ，则称 成一个“ 等差数列”.已知集合 ，则由 中的三个元素组成的所有数列中， “ 等差数列”的个数为（ ）A 25 B 50 C 51 D 100【答案】B第 8 页 共 17 页【解析】【分析】首先要确定构成“ 等差数列”的三个数的内在关系， 和 ，结合所给集合找出符合条件的数组有 50 组。【详解】由三个非零且互不相等的实数 成等差数列且满足 ，知消去 ，并整理得，所以 （舍去） ， ，于是有 。在集合 中，三个元素组成的所有数列必为整数列，所以 必为 2 的被数，且 ，故这样的数组共 50 组。答案选 B。【点睛】此题属
10、于新情境问题，这类问题关键是要从问题情境中寻找“重要信息” ，研究对象的本质特征，如本题中能构成“ 等差数列”的三个数的内在关系， 和 ，这种明确数量关系（数量化的特征）是解决问题的关键，将地应用于新情境 ，即可达到解决问题的目的。这实质上是属于数学建模问题，一般考查较深刻，综合性强，难度略大，除要有相应的数学知识和数学能力外，还应耐心读题，仔细思考，增强信心，以应对此类问题。二、填空题13定积分 的值为_.【答案】第 9 页 共 17 页【解析】试题分析：由定积分的几何意义， 表示圆 面积的一半，所以， = 。【考点】定积分计算，定积分的几何意义。点评：简单题，利用定积分的几何意义，将定积分
11、问题转化成面积计算。14函数 的定义域为_.【答案】【解析】【分析】函数定义域为使函数有意义的自变量的取值集合，因此，组成函数的各部分都必须有意义， ， ，联合求解。【详解】由题意知 ，解得 ，所以 。【点睛】函数的定义域主要从以下几个方面考虑：一是解析式本身的结构和运算可能会导致某些值会使式子或运算无意义，如含有分母时分母为 0，含有偶次方根时被开方数为负，含有对数运算时真数为负等；二是变量本身所代表的实际意义，比如人的个数必须为正整数等。解决具体问题时要紧扣各种运算的定义及适用条件，列出限制条件组成的方程组，求解。15已知随机变量 ，则 _.【答案】【解析】第 10 页 共 17 页【分析
12、】随机变量 表示 6 次独立重复试验，每次实验成功的概率为 ，而 表示 6次实验中成功 2 次的概率，根据此意义可以求解。【详解】由题意知 = = 。【点睛】本题主要考查独立重复实验中事件的概率及二项分布重大知识，属于基础题。16若 ， 满足 则 的最大值为 【答案】2【解析】试题分析：不等式对应的可行域为直线 围成的三角形区域，顶点为，当 过点 时取得最大值 2【考点】线性规划问题17函数 的单调减区间是_ln1yx【答案】 0,e【解析】由题知函数定义域为 ，又 ，则 ，解得 ，则0,ln1yx0y1xe故本题应填 10,xe1,e18设 ， ，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围
13、是_.【答案】【解析】第 11 页 共 17 页【分析】首先求出命题 p 与 q，再根据 是 的充分不必要条件建立不等式，求解即可。【详解】由 可得， ；可得因为 是 的充分不必要条件，所以 ，即【点睛】将命题之间的充分不必要条件转化为集合之间的关系是解决此类问题的关键。19在报名的 名男教师和 名女教师中，选取 人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示） 【答案】【解析】 男 女， 种； 男 女， 种； 男 女， 种；一共有 种故答案为：120.点睛：解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、 “分辨”、 “分类”、“分步”的角度入手；
14、(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决20有下列命题： 若函数 ，则函数 的最小值为 -2. 三次函数 有极值点的充要条件是 ；若 是定义在 上的奇函数，且 也为奇函数，则 是以 4 为周期的周期函数.第 12 页 共 17 页若函数 在 上单调递减，则 ；其中真命题的序号是_.【答案】【解析】【分析】可以考查 的最值，根据
15、与 图像的变换关系进行判断。转化为导函数有根的充要条件处理；根据函数奇偶性和周期性的定义式进行推断；根据函数 的单调性与对称性进行比较。【详解】设函数 ，此函数的最小值为-2，而 是由 图像向左平移 2014 个单位长度，其函数的最值不变，所以正确；三次函数 有极值点的充要条件是导函数有两个不相等的实根，即 ；所以错误； 是定义在 上的奇函数，且 也为奇函数，则有 ，另一方面 = ，所以 = ，即= ，于是有 ，故周期为 4。所以正确；易知函数 为偶函数，又函数在 上单调递减，所以，在 是单调递增。于是有= =而 ，显然有 ，即 ，所以正确。综上答案为。【点睛】本题的综合性较强，考查的知识点多
16、，跨度大，属于较难题。三、解答题21已知集合 ，集合 ，集合第 13 页 共 17 页.（1 ）当 时，若 ，求实数 的取值范围；（2 ）当 时，求集合 中的函数 的单调减区间.【答案】 （1） 或 ；（2） .【解析】【分析】（1）把 代入，并对集合 A 进行化简。注意到 等价于 C A，解决时注意讨论 C= 和 C 两种情况。（2）把 代入，得函数 ，对于复合函数分出内外层函数，各自求单调区间，再根据复合函数单调法则确定其单调区间。【详解】（1）x 25x140，x7 或 x2， A=（ ，27，+）AC=A，C A， C= ，2m1m+1 ，m2，C ，则 或 ，m6 综上所述，m2 或
17、 m6 （2）易知函数 的定义域：（，72，+ ） ， 令 ，根据二次函数的性质得，当 时，t 单调递减，又 为增函数，所以 的单调减区间为：（ ，7。【点睛】在进行由集合的关系求参数的取值范围时，常要把集合的运算关系转化为两个集合间的关系，如 等价于 C A， 等价于 A C 等，解决过程中一定不能把子集可能为空集的情况丢掉，这是很多学生易出错的地方。22定义在 上的函数 同时满足以下条件 : 在 时取得极值； 是偶函数； 第 14 页 共 17 页 的图象在 处的切线与直线 垂直. （1 ） 求函数 的解析式； （2 ） 设 ，若存在 , 使 , 求实数 的取值范围.【答案】 （1） ；（
18、2） .【解析】【分析】（）由 在 时取得极值可得 f (1) =3a+2b+c=0，由 是偶函数可得 b=0；由 的图象在 处的切线与直线 垂直可得 c=-1，三者结合可得 f(x) = x3-x+3。（2 ）对于存在 , 使 成立，等价于存在 x1, e, 使 m (4ln x-x2+1) min成立，进而转化为求 M(x) =4ln x-x2+1 在 x1, e上的最小值问题。【详解】(1) f (x) =3ax2+2bx+c.f(x) 在在 时取得极值,f (1) =3a+2b+c=0, ()，由 f (x) 是偶函数得 b=0, 又 f(x) 的图象在 x=0 处的切线与直线 y=x
19、+2 垂直,f (0) =c=-1, 将代入() 得 a= ,f(x) = x3-x+3. (2) 由已知得, 若存在 x1, e, 使 4ln x-m (4ln x-x2+1) min.设 M(x) =4ln x-x2+1, x1, e,则 M (x) = -2x= ,令 M (x) =0, x1, e, x= .当 0, M(x) 在1, 上为增函数,M(x) 在1, e上有最大值.第 15 页 共 17 页又 M(1) =1-1=0, M(e) =5-e2 5-e 2.【点睛】利用导数研究函数的问题中有一类讨论参数取值范围问题，常常把不等式有解问题转化为求函数的最值来解决，属于难题。23
20、某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为 .现有 10 件产品，其中 6 件是一等品，4 件是二等品.（1 ）随机选取 1 件产品，求能够通过检测的概率；（2 ）随机选取 3 件产品，其中一等品的件数记为 ，求 的分布列及数学期望【答案】 （1） ；（2）见解析.【解析】试题分析：（） “至少有一件通过检测”的反面是“没有一件通过检测” ，即三件都不通过，利用互斥事件的概率可得；（）求 的分布列，首先要确定变量 的取值，由于 10 件中有 6 件一等品，因此 的取值依次为 ，由古典概型概率公式可得各概率，从而得分布列，再由期望公式可计算出期望
21、试题解析：() 所以随机选取 3 件产品，至少有一件通过检测的概率为 . （）由题可知 可能取值为 . , , . 则随机变量 的分布列为0 1 2 3第 16 页 共 17 页24已知函数 lnxfea（）若 在 上单调递增，求实数 的取值范围；R（）讨论 的零点个数fx【答案】 （） ；（）当 时， 有且只有 个零点；当 时，2,0e20aefx12ae有 个零点fx3【解析】试题分析：（）求出函数的导数，得到 恒成立，ln0xfe结合基本不等式的性质，从而求出 的范围即可；（）通过讨论 的范围，结合函aa数的单调性求出函数的零点的个数即可试题解析：（）依题意： 对于 恒成立，ln0xfe
22、axR即 恒成立lnxea当 时，有 （当且仅当 时等号成立） R2xxee 0x ，故 的取值范围为 l202,e（） （）当 时，由（）知 在 上单调递增，故此时 至多2aefxRfx有一个零点又 ，当 时， 有且只有一个零点 0f2f 0x（）当 时，先考察 时函数 的零点个数2ae0xx由（） 记 lnxfaln,xea则 在 上单调递增xe, ， 2a02l0f又 ，lnln1l lln0aae a第 17 页 共 17 页即 存在 ，使 ln0fa0,lnxa0fx当 时，有 ；当 时，有 xf0 在 上有极小值 ，且 f,fxff以下先证对任意 0,lnx令 ，则 ，得 时， 时
23、，lt1tx1x0,1txx min10tt 成立，即 取 ，lxlnx3lnxa则 223lnl 332233111l lafe aa ， 242310a即 在 上存在零点，3ln0fafx,ln 在 上单调递增， 在 上存在唯一零点x,fx0,另一方面， ， 是 上的奇函数，fxfR根据对称性知： 在 上也存在一个零点0,x又 ，当 时，函数 有 个零点0f2aef3综上所述，当 时， 有且只有 个零点；当 时， 有 个零x12aefx3点【考点】 （1）利用导数研究函数的单调性；（2）函数零点的判定定理.【方法点晴】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查函数的零点问题，利用导数求函数的极值，以及利用导数求函数在闭区间上的最值，熟练掌握导数的性质是解本题的关键综合性强，难度较大；首先利用函数单调递增等同于 恒成立解决第0xf一问，当涉及到零点个数时，由（）知分为 和 两种情况,主要是利20ae2用导数判断该函数的单调性，得到函数的大致图象，结合奇偶性得到结果.
