1、数学建模 模糊数学方法,主讲人：张先君,模糊数学方法,模糊集的基本概念 模糊综合评判 模糊聚类分析,模糊集的基本概念,模糊子集与隶属函数 隶属函数的确定 模糊矩阵及运算与性质,模糊子集与隶属函数,设U是论域，称映射 A(x)：U0,1 确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的隶属函数，它表示x对A的隶属程度. 使A(x) = 0.5的点x称为A的过渡点，此点最具模糊性. 当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子集，而A(x)就是它的特征函数. 可见经典子集就是模糊子集的特殊情形.,例 设论域,，,例 设论域U = x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4
2、 (170), x5 (180), x6 (190)(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为,也可用Zadeh表示法：,还可用向量表示法 A=(0,0.2,0.4,0.6,0.8,1),模糊集的运算,相等：A = B A(x) = B(x)； 包含：AB A(x)B(x)； 并：AB的隶属函数为 (AB)(x)=A(x)B(x)； 交：AB的隶属函数为 (AB)(x)=A(x)B(x)； 余：Ac的隶属函数为 Ac (x) = 1- A(x).,例 设论域U = x1, x2, x3, x4, x5(商品集)，在U上定义两个模糊集： A =“商
3、品质量好” B =“商品质量坏”，并设,A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1). B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0).,则Ac=“商品质量不好”, Bc=“商品质量不坏”.,Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0). Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1).,可见Ac B, Bc A.,又 AAc = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) U, AAc = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) .,隶属函数的确定,1.模糊统计方法,与概率统计类似，但有区别：若把概率统计比喻为“变动的点”是否落在“不动的圈”内
4、，则把模糊统计比喻为“变动的圈”是否盖住“不动的点”.,2. 指派方法,一种主观方法，一般给出隶属函数的解析表达式。,3. 借用已有的“客观”尺度,模糊矩阵,设R = (rij)mn，若0rij1，则称R为模糊矩阵. 当rij只取0或1时，称R为布尔(Boole)矩阵. 当模糊方阵R = (rij)nn的对角线上的元素rii都为1时，称R为模糊自反矩阵.,模糊矩阵及运算与性质,模糊矩阵间的关系及并、交、余运算,设A=(aij)mn,B=(bij)mn都是模糊矩阵，定义 相等：A = B aij = bij； 包含：AB aijbij； 并：AB = (aijbij)mn； 交：AB = (ai
5、jbij)mn； 余：Ac = (1- aij)mn.,设A = (aik)ms，B = (bkj)sn，称模糊矩阵 A B = (cij)mn， 为A 与B 的合成，其中cij = (aikbkj) | 1ks .,模糊矩阵的合成,模糊方阵的幂 定义：若A为 n 阶方阵，定义A2 = A A，A3 = A2 A，Ak = Ak-1 A.,模糊矩阵的转置,定义 设A = (aij)mn, 称AT = (aijT )nm为A的转置矩阵，其中aijT = aji.,转置运算的性质：,性质1：( AT )T = A； 性质2：( AB )T = ATBT， ( AB )T = ATBT； 性质3：(
6、 A B )T = BT AT；( An )T =( AT )n ； 性质4：( Ac )T = ( AT )c ； 性质5：AB AT BT .,模糊矩阵的截矩阵,设A = (aij)mn,对任意的0, 1，称 A= (aij()mn,为模糊矩阵A的 - 截矩阵, 其中 当aij 时，aij() =1； 当aij 时，aij() =0. 显然，A的 - 截矩阵为布尔矩阵.,模糊综合评价模型,对方案、人才、成果的评价，人们的考虑的因素很多，而且有些描述很难给出确切的表达，这时可采用模糊评价方法。它可对人、事、物进行比较全面而又定量化的评价，是提高领导决策能力和管理水平的一种有效方法。,模糊综合
7、评价的基本步骤：,（1） 首先要求出模糊评价矩阵P，其中P表示方案X在第i个目标处于第j级评语的隶属度，当对多个目标进行综合评价时，还要对各个目标分别加权，设第i个目标权系数为W，则可得权系数向量： A（W1，W2，W）,（2）综合评判 利用矩阵的模糊乘法得到综合模糊评价向量B BAP（其中为模糊乘法），根据运算的不同定义，可得到不同的模型,模型1 M（，V）主因素决定型,模型2 M（，）主因素突出型,模型3 M（，+）加权平均型,例1：对某品牌电视机进行综合模糊评价,设评价指标集合： U图像，声音，价格； 评语集合： V很好，较好，一般，不好；,首先对图像进行评价： 假设有30%的人认为很好
8、，50%的人认为较好，20%的人认为一般，没有人认为不好，这样得到图像的评价结果为 （0.3, 0.5, 0.2 , 0) 同样对声音有：0.4, 0.3, 0.2 , 0.1) 对价格为： （0.1, 0.1, 0.3 , 0.5) 所以有模糊评价矩阵：,设三个指标的权系数向量： A 图像评价，声音评价，价格评价 （0.5, 0.3, 0.2) 应用模型1，bj=max(airij)有综合评价结果为： BAP （0.3, 0.5, 0.2, 0.2) 归一化处理： B（0.25, 0.42, 0.17, 0.17) 所以综合而言，电视机还是比较好的比重大。,例2：对科技成果项目的综合评价,有
9、甲、乙、丙三项科研成果，现要从中评选出优秀项目。,三个科研成果的有关情况表,设评价指标集合： U科技水平，实现可能性，经济效益 评语集合： V高，中，低 评价指标权系数向量： A（0.2，0.3，0.5）,专家评价结果表,由上表，可得甲、乙、丙三个项目各自的评价矩阵P、Q、R：,求得：,归一化后得：,所以项目乙可推荐为优秀项目,因素集： U=政治表现及工作态度，教学水平，科研水平，外语水平； 评判集： V=好，较好，一般，较差，差；,例3：“晋升”的数学模型，以高校教师晋升教授为例,（1）建立模糊综合评判矩阵,当学科评审组的每个成员对评判的对象进行评价，假定学科评审组由7人组成，用打分或投票的
10、方法表明各自的评价,例如对王，学科评审组中有4人认为政治表现及工作态度好，2人认为较好，1人认为一般，对其他因素作类似评价。,（2）综合评判,以教学为主的教师，权重A1=(0.2,0.5,0.1,0.2) 以科研为主的教师，权重A2=(0.2,0.1,0.5,0.2),B1=(0.5,0.2,0.14,0.14,0.14) B2=(0.2,0.2,0.5,0.14,0.14),归一化（即将每分量初一分量总和），得 B1=(0.46,0.18,0.12,0.12,0.12) B2=(0.17,0.17,0.42,0.12,0.12),若规定评价“好”“较好”要占50%以上才可晋升，则此教师晋升为
11、教学型教授，不可晋升为科研型教授,例4： 利用模糊综合评判对20加制药厂经济效益的好坏进行排序 因素集： U=u1,u2,u3,u4为反映企业经济效益的主要指标 其中u1：总产值/消耗；u2：净产值；u3：盈利/资金占有；u4：销售收入/成本， 评判集： V=v1,v2,v20为20家制药厂,（1）建立模糊综合评判矩阵,即rij表示第j个制药厂的第i个因素的值在20家制药厂的同意因素值的总和中所占的比例，得到模糊综合评判矩阵R=(rij)420,（2）综合评判,按从小到大的次序排序，这20家制药厂的经济效益的好坏顺序为：9，11，14，10，20，19，17，4，1，15，7，2，12，13，18，5，16，8，6，3,得到的排序为：9，17，11，10，20，14，19，13，16，4，15，1，12，5，18，7，2，6，8，3,？,练习： 1、建立一个评价教师的教学质量模型 2、假如你是一个股民，建立一个炒股模型,
