1、 河北定州中学 20172018 学年度高三下学期数学期中考试试题一、单选题1设 A， B为双曲线 20xyab同一条渐近线上的两个不同的点，若向量 0,2n， 3B且 1n，则双曲线的离心率为（ ）A. 2 或 4 B. 3 或 24 C. 53 D. 32正方体 1ABCD棱长为 3，点 E在边 BC上，且满足 2EC，动点 M在正方体表面上运动，并且总保持 ME，则动点 的轨迹的周长为（ ）A. 62 B. 43 C. 2 D. 33设函数 fx是定义在 ,0上的可导函数，其导函数为 fx，且有 22fxfx，则不等式 201818 4f的解集为（ ）A. , B. ,2C. 26 D.
2、 064过圆 ： 的圆心 的直线与抛物线 ： 相交于 ， 两点，且 ，则点 到圆 上任意一点的距离的最大值为（ ）A. B. C. D. 5已知函数 2xfe，若实数 m满足 313logl2ffmf，则实数 m的取值范围为（ ）A. 0,3 B. 1, C. 0,9 D. 1,3,6若存在实常数 k和 b，使得函数 Fx和 G对其公共定义域上的任意实数 x都满足： Fx和 Gx恒成立，则称此直线 ykxb为 F和 G的“隔离直线” ，已知函数 2fxR, 10,2lngxhxe,有下列命题： Ff在 3,内单调递增； fx和 g之间存在“隔离直线” ，且 b的最小值为-4； 和 之间存在“隔
3、离直线” ，且 k的取值范围是 (40 ， ； fx和 之间存在唯一的“隔离直线” 2yex.其中真命题的个数有( )A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个7已知函数 yfx在 0， 上非负且可导，满足， 21xffx ,若 0ab,则下列结论正确的是( )A. afbf B. afbfC. D. 8已知函数 lnxefk，若 1x是函数 fx的唯一极值点，则实数 k的取值范围是（ ）A. ,e B. , C. ,e D. ,e9已知 1F， 2是椭圆2:1(0)xyEab的两个焦点，过原点的直线 l交 E于 ,AB两点， 20AB，且 234|A，则 的离心率为（ ）A. 1
4、 B. 34 C. 7 D. 510已知函数 fx满足如下条件:任意 xR,有 0fxf成立; 当 0x时, 223fxm;任意 ,有 1x成立.则实数 m的取值范围是A. 6, B. 1,6 C. 3, D. ,311已知函数 20xf与 2logxa的图象上存在关于 y轴对称的点，则 a的取值范围是（ ）A. ,2 B. ,2 C. ,2 D. 2,12设正三棱锥 PABC的高为 H，且此棱锥的内切球的半径 17RH，则2PA（ ）A. 293 B. C. 349 D. 5二、填空题13在 ABC中，角 ,所对的边分别是 ,abc，若 1os4C， 3c，且 oscabAB，则的面积等于_
5、14点 M为 所在平面内一动点，且 M满足： 23ABC， 3， 3A若点 的轨迹与直线 ,ABC围成封闭区域的面积为 ，则 _15已知点 1,0Fc， 2,0()c是椭圆21(0)xyab的左、右焦点，点 P是这个椭圆上位于 x轴上方的点，点 G是 12PF的外心，若存在实数 ，使得 120GF，则当12P的面积为 8 时， a的最小值为_16把函数 sin0fx所有的零点按从小到大的顺序排列，构成数列 na，数列 nb满足3nba，则数列 b的前 项和 nT_三、解答题17已知抛物线 2:4Eyx的焦点为 F，过点 的直线 l与抛物线交于 ,AB两点，交 y轴于点 ,CO为坐标原点.（1）
6、若 OABk,求直线 l的方程；（2）线段 的垂直平分线与直线 ,lx轴， y轴分别交于点 ,DMN，求 DCFMS 的最小值.18椭圆 C:21(0)xyab的左、右焦点分别为 1,0F、 21,，若椭圆过点 31,2.（1）求椭圆 C的方程；（2）若 ,AB为椭圆的左、右顶点， 0,Pxy（ 0）为椭圆上一动点，设直线 ,APB分别交直线 l：6x于点 MN，判断线段 为直径的圆是否经过定点，若是，求出该定点坐标；若不恒过定点，说明理由.19已知函数 23fxxm的定义域为 R；（1）求实数 m的取值范围；（2）设实数 t为 的最大值，若实数 a， b， c满足 22abct，求 2221
7、13abc的最小值.2020已知椭圆 C： 21(0)xyab的左、右焦点分别为 1F， 2，且离心率为 2， M为椭圆上任意一点，当 129FM时， 12F的面积为 1. （1）求椭圆 的方程；（2）已知点 A是椭圆 C上异于椭圆顶点的一点，延长直线 1AF， 2分别与椭圆交于点 B， D，设直线 BD的斜率为 1k，直线 O的斜率为 2k，求证： 12k为定值参考答案BABAA CAADA 11B12D13 315414 315416 123n17 （1） 0xy；（2）2（1）设直线 l 的方程为 x my1， A(x1， y1)， B(x2， y2)，由24 xmy得 y24 my40
8、，y1 y24 m， y1y24所以 kOA kOB 12124yy4 m4所以 m1，所以 l 的方程为 x y10（2）由（1）可知， m0， C(0， )， D(2m21，2 m)则直线 MN 的方程为 y2 m m(x2 m21)，则M(2m23，0)， N(0，2 m33 m)， F(1，0)， S NDC 1|NC|xD| 1|2m33 m 1|(2m21) 221)|（，S FDM 2|FM|yD| 2(2m22)2| m|2| m| (m21)， 则 NDCFM 2214412，当且仅当 m2 ，即 m2 时取等号所以， NDCFMS的最小值为 218(1) 2143xy；(2
9、)答案见解析.(1)由已知 c， 2ab椭圆过点 31,， 2914ab联立得 2， 23b椭圆方程为 14xy（2）设 0,Pxy，已知 2,0,AB 0， ,AB都有斜率 00,2PBPyykkxx 024APB20143xy2200将代入得203143APBxk设 方程 2yx B方程 34k 36,8,MkN由对称性可知，若存在定点，则该定点必在 x轴上，设该定点为 ,0Tt则 T 236,8,640MNtktt 24t， 2t存在定点 6,0或 6,0以线段 MN为直径的圆恒过该定点.19 （1） 3m；（2） 5（1）由题意可知 xm恒成立，令 23gxx，去绝对值可得： 6,23
10、(0) ,gxx，画图可知 x的最小值为-3，所以实数 m的取值范围为 3； （2）由（1）可知 229abc，所以 22115abc， 222222221 3335ccabc2222223 91151aabc ，当且仅当 3b，即 224,3,c等号成立，所以 2221ac的最小值为20 （1） xy；（2） 16（1）设 由题 1212 4cear， 解得 2,1ac，则 2b，椭圆 C的方程为 2xy. （2）设 00,A， 12,BxyC，当直线 1F的斜率不存在时，设 ,A，则 1,，直线 2A的方程为 214yx代入2y，可得 2570x，275x， 20，则 7,50D，直线 B
11、D的斜率为 122765k，直线 OA的斜率为 2k，1266k，当直线 2AF的斜率不存在时，同理可得 126k. 当直线 1、 的斜率存在时， ，设直线 1AF的方程为 01yx，则由021 yx消去 可得：2 22200004xyxy，又 201，则 2200，代入上述方程可得222000334xxx，101004,，则 2,6N003,23xyB，设直线 2AF的方程为 01yx，同理可得 0034,23xyD，直线 BD的斜率为00001 2200234146xykx，直线 OA的斜率为 20ykx，2020012 136366xxyykx .所以，直线 BD与 OA的斜率之积为定值 ，即 12k.
