1、2018 届河北省定州中学（承智班）高三下学期期中考试数学试题一、单选题1设 A， B为双曲线 20xyab同一条渐近线上的两个不同的点，若向量 0,2n， 3B且 1n，则双曲线的离心率为（ ）A. 2 或 4 B. 3 或 24 C. 53 D. 32正方体 1ABCD棱长为 3，点 E在边 BC上，且满足 2EC，动点 M在正方体表面上运动，并且总保持 ME，则动点 的轨迹的周长为（ ）A. 62 B. 43 C. 2 D. 33设函数 fx是定义在 ,0上的可导函数，其导函数为 fx，且有 22fxfx，则不等式 201818 4f的解集为（ ）A. , B. ,2C. 26 D. 0
2、64过圆 ： 的圆心 的直线与抛物线 ： 相交于 ， 两点，且 ，则点 到圆 上任意一点的距离的最大值为（ ）A. B. C. D. 5已知函数 2xfe，若实数 m满足 313logl2ffmf，则实数 m的取值范围为（ ）A. 0,3 B. 1, C. 0,9 D. 1,3,6若存在实常数 k和 b，使得函数 Fx和 G对其公共定义域上的任意实数 x都满足： Fxkb和 Gxkb恒成立，则称此直线 ykxb为 F和 Gx的“隔离直线” ，已知函数 2fR, 10,2lngxhe,有下列命题： xfx在 3,内单调递增； f和 g之间存在“隔离直线” ，且 b的最小值为-4； x和 之间存在
3、“隔离直线” ，且 k的取值范围是 (40 ， ； f和 之间存在唯一的“隔离直线” 2yex.其中真命题的个数有( )A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个7已知函数 yfx在 0， 上非负且可导，满足， 21xffx ,若 0ab,则下列结论正确的是( )A. afbf B. afbfC. D. 8已知函数 lnxefk，若 1x是函数 fx的唯一极值点，则实数 k的取值范围是（ ）A. ,e B. , C. ,e D. ,e9已知 1F， 2是椭圆2:1(0)xyEab的两个焦点，过原点的直线 l交 E于 ,AB两点， 20AB，且 234|A，则 的离心率为（ ）A.
4、1 B. 34 C. 7 D. 510已知函数 fx满足如下条件:任意 xR,有 0fxf成立; 当 0x时, 223fxm;任意 ,有 1x成立.则实数 m的取值范围是A. 6, B. 1,6 C. 3, D. ,311将 7 个座位连成一排，安排 4 个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有（ ）A. 240 B. 480 C. 720 D. 96012已知 1F， 2分别为双曲线21(0,)xyab的左焦点和右焦点，过 2F的直线 l与双曲线的右支交于 A， B两点， 12AF的内切圆半径为 1r， 12BF的内切圆半径为 2r，若 12r，则直线 l的斜率为（ ）A. 1 B. 2 C.
5、 2 D. 二、填空题13设函数 的定义域为 ，若对于任意 ，当 时，恒有 ，则称点为函数 图象的对称中心.研究函数 的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 的值为_14已知抛物线 ，斜率为 的直线交抛物线于 ， 两点.若以线段 为直径的圆与抛物线的准线切于点 ，则点 到直线 的距离为_15已知抛物线 ，过点 任作一条直线和抛物线 交于 、 两点，设点 ，连接 ， 并延长，分别和抛物线 交于点 和 ，则直线 过定点_16已知 C是平面 ABD上一点， AD， 1CB若 3，则 _；若 P，则 P的最大值为_三、解答题17已知函数 .（1）若函数 有两个零点，求实数 的取值范围；（2
6、）若函数 有两个极值点，试判断函数 的零点个数.18已知动点 与 ， 两点连线的斜率之积为 ，点 的轨迹为曲线 ，过点 的直线交曲线于 ， 两点.（1）求曲线 的方程；（2）若直线 ， 的斜率分别为 ， ，试判断 是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由.19在平面直角坐标系中，已知圆 的方程为 ，圆 的方程为 ，动圆 与圆 内切且与圆 外切.(1)求动圆圆心 的轨迹 的方程；(2)已知 与 为平面内的两个定点，过 点的直线与轨迹 交于 , 两点，求四边形 面积的最大值.20已知无穷数列 naZ的前 n 项和为 nS，记 1， 2， nS中奇数的个数为 nb()若 n= n，请写出数列
7、 b的前 5 项；()求证：“ 1为奇数， i (i = 2,3,4,.）为偶数”是“数列 nb是单调递增数列”的充分不必要条件；()若 iab，i=1, 2, 3,，求数列 na的通项公式.21已知点 31,2P在椭圆 C： 21(0)xyb上， 1,F是椭圆的一个焦点（）求椭圆 的方程；（）椭圆 C 上不与 点重合的两点 D， E关于原点 O 对称，直线 PD， E分别交 y轴于 M， N两点求证：以 MN为直径的圆被直线 32y截得的弦长是定值22已知函数 xfxbea， (0)b，在 1,f处的切线方程为110eye.（1）求 a， ；（2）若方程 fxm有两个实数根 1x， 2，且
8、12x，证明： 212mex.23已知抛物线 2:4Eyx的焦点为 F，过点 的直线 l与抛物线交于 ,AB两点，交 y轴于点 ,CO为坐标原点.（1）若 OABk,求直线 l的方程；（2）线段 的垂直平分线与直线 ,lx轴， y轴分别交于点 ,DMN，求 DCFMS 的最小值.24椭圆 C:21(0)xyab的左、右焦点分别为 1,0F、 21,，若椭圆过点 31,2.（1）求椭圆 的方程；（2）若 ,AB为椭圆的左、右顶点， 0,Pxy（ 0）为椭圆上一动点，设直线 ,APB分别交直线 l：6x于点 MN，判断线段 为直径的圆是否经过定点，若是，求出该定点坐标；若不恒过定点，说明理由.参考
9、答案BABAA CAADA 11B12D13141516 34 217 （ 1） （2）3（1）令 ，由题意知 的图象与 的图象有两个交点 .当 时， ， 在 上单调递增；当 时， ， 在 上单调递减. .又 时， ， 时， .又 时， .综上可知，当且仅当 时， 与 的图象有两个交点，即函数 有两个零点.（2）因为函数 有两个极值点，由 ，得 有两个不同的根 ， （设 ）.由（1）知， ， ，且 ，且函数 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，则 .令 ，则 ，所以函数 在 上单调递增，故 ， .又 ， ； ， ，所以函数 恰有三个零点.18 （1） （2）（1）设点 ，由题知， ，整理，得曲
10、线 ： ，即为所求.（2）由题意，知直线 的斜率不为 0，故可设 ： ， ， ，设直线 的斜率为 ，由题知， ， ，由 ，消去，得 ，所以 ，所以 .又因为点 在椭圆上，所以 ，所以 ，为定值.19(1) (2)6(1)设动圆 的半径为，由题意知从而有 ，故轨迹 为以 为焦点，长轴长为 4 的椭圆，并去 除点 ，从而轨迹 的方程为 .（2）设的方程为 ，联立 ，消去得 ，设点 ，有 则 ，点 到直线的距离为 ，点 到直线的距离为 ，从而四边形 的面积令 ，有 ，函数 在 上单调递增，有 ，故 ，即四边形 面积的最大值为 .20(1)见解析;(2)见解析;(3) 0na.（）解： 1=b， 2，
11、 3=b， 42， 5=3b （）证明：（充分性）因为 1a为奇数， ,i 为偶数，所以，对于任意 *N， iS都为奇数 所以 nb 所以数列 是单调递增数列 （不必要性）当数列 na中只有 2是奇数，其余项都是偶数时， 1S为偶数， 2,34i 均为奇数，所以 1b，数列 nb是单调递增数列 所以“ 为奇数， ,34i 为偶数”不是“数列 nb是单调递增数列”的必要条件； 综上所述， “ 1a为奇数， 2,i 为偶数”是“数列 是单调递增数列” 的充分不必要条件（）解：（1）当 k为奇数时，如果 kS为偶数，若 1a为奇数，则 1k为奇数，所以 11kkba为偶数，与 1kab矛盾；若 k为
12、偶数，则 为偶数，所以 为奇数，与 矛盾所以当 为奇数时， kS不能为偶数 （2）当 ka为偶数时， 如果 S为奇数，若 1k为奇数，则 1k为偶数，所以 1kkba为偶数，与 1kab矛盾；若 1ka为偶数，则 1kS为奇数，所以 11kkba为奇数，与 1kab矛盾所以当 为偶数时， 不能为奇数 综上可得 k与 同奇偶所以 nSa为偶数因为 1n为偶数，所以 na为偶数 因为 b为偶数，且 10b，所以 10a因为 21a，且 2，所以 2 以此类推，可得 n 21 （）2143xy （）见解析（）依题意，椭圆的另一个焦点为 1,0F，且 c 因为223204a， 所以 ， 2bc， 所以
13、椭圆 C的方程为 143xy （）证明：由题意可知 D， E两点与点 P不重合因为 ， E两点关于原点对称，所以设 ,mn， ,n， 1m 设以 MN为直径的圆与直线 32y交于 3,(0)2GtHt两点，所以 G 直线 PD： 312nyxm当 0x时， ，所以320,1nMm 直线 PE： 321nyxm当 0x时， ，所以320,1nNm 所以32,1nGMtm， ,Gt， 因为 N，所以 0， 所以 2491nt 因为243m，即 2， 22493nm， 所以 20t，所以 3t 所以 3,G， ,2H， 所以 3GH所以以 MN为直径的圆被直线 3y截得的弦长是定值 22 （1） a
14、， 1b；（2）见解析【解析】试题分析： 在 ,1f处的切线方程为 110exye，求导算出切线方程即可求出结果 构造 Fxhx，求导，得 F在区间 ,上单调递减，在区间1,上单调递增，设 m的根为 1，证得 1x，讨论证得 txm的根为 2x， 2x，从而得证结论解析：（1）由题意 10f，所以 0fbae，又 xfxbea，所以 11f ，若 ae，则 20，与 b矛盾，故 a， b.（2）由（）可知 xfxe， 0,10ff，设 在(-1，0)处的切线方程为 ，易得， 1hxxe，令 Fxfhx即 1xF， 12xe，当 2x时， 20xe当 时，设 1xGFe， 3xGxe，故函数 x
15、在 2,上单调递增，又 10F，所以当 1时， 0x，当 ,时， 0Fx， 所以函数 Fx在区间 ,上单调递减，在区间 ,上单调递增，故 ， 11fxh，设 hxm的根为 ，则 me，又函数 单调递减，故 111xfx，故 1x， 设 yfx在(0,0)处的切线方程为 yt，易得 t，令 xTte， 2xTxe，当 2x时， 20x ，当 时，故函数 Tx在 2,上单调递增，又 0T，所以当 0时， Tx，当 ,时， 0Tx， 所以函数 x在区间 ,上单调递减，在区间 ,上单调递增， 2ftx ，设 txm的根为 x，则 m，又函数 单调递增，故 22tfxt，故 2x， 又 1x，2121
16、121meexxm.23 （ 1） 0y；（2）2（1）设直线 l 的方程为 x my1， A(x1， y1)， B(x2， y2)，由24 xmy得 y24 my40，y1 y24 m， y1y24所以 kOA kOB 12124yy4 m4所以 m1，所以 l 的方程为 x y10（2）由（1）可知， m0， C(0， )， D(2m21，2 m)则直线 MN 的方程为 y2 m m(x2 m21)，则M(2m23，0)， N(0，2 m33 m)， F(1，0)， S NDC 1|NC|xD| 1|2m33 m 1|(2m21) 221)|（，S FDM 2|FM|yD| 2(2m22)
17、2| m|2| m| (m21)， 则 NDCFM 2214412，当且仅当 m2 ，即 m2 时取等号所以， NDCFMS的最小值为 224(1) 2143xy；(2)答案见解析.(1)由已知 c， 2ab椭圆过点 31,， 294ab联立得 2， 23b椭圆方程为2143xy（2）设 0,Pxy，已知 2,0,AB 0， ,AB都有斜率 00,2PBPyykkxx 024APB20143xy2200将代入得203143APBxk设 方程 2yx B方程 34k 6,8,MN由对称性可知，若存在定点，则该定点必在 x轴上，设该定点为 ,0Tt则 T 236,8,640TMNtktt 24t， 2t存在定点 6,0或 6,0以线段 MN为直径的圆恒过该定点.
