1、2016-2017 学年上海市闵行区七宝中学高三（上）期中数学试卷一.填空题1已知集合 A=x|x|2， ，则 AB= 2已知 12cos5sin=Acos（ +） （A 0） ，则 tan= 3已知函数 f（x）=arcsin（2x+1） ，则 f1（ ）= 4若函数 f（x）= （a0 且 a1）的值域是4，+） ，则实数 a 的取值范围是 5已知函数 f（x）=3 x1，g（x）=x 22x1，若存在实数 a、b 使得 f（a）=g（b） ，则 b 是取值范围是 6已知函数 f（x）= 若 f（2a 2）f （a） ，则实数 a 的取值范围为 7已知 为锐角，且 cos（+ ）= ，则
2、cos= 8已知 a0，b0 且 a+b=1，则（a +2） 2+（b+2） 2 的最小值是 9已知偶函数 f（x）对任意 xR 都有 f（x+4）f（x）=2f（2） ，则 f=|x1|+m|x2|+6|x3|在 x=2 时取得最小值，则实数 m 的取值范围是 11已知 f（x）=2sin（ x） （0）在 ， 上单调递增，则 的取值范围是 12若定义在m，m（m0）上的函数 f（x）= +xcosx（a0，a1）的最大值和最小值分别是 M、N，则 M+N= 13在某一个圆中，长度为 2、3、4 的平行弦分别对应于圆心角 、 +，其中 +，则这个圆的半径是 14若正实数 x，y 满足 x+2
3、y+4=4xy，且不等式（x+2y）a 2+2a+2xy340 恒成立，则实数 a 的取值范围是 二.选择题15函数 的最小正周期为（ ）A B C D216已知 y=f（x）是周期为 2的函数，当 x0，2 ）时，f（x）=sin ，则 f（x）= 的解集为（ ）Ax|x=2k + ，kZ Bx|x=2k+ ，kZCx|x=2k ，kZ Dx|x=2k +（ 1） k ，k Z17 “ x ”是“不等式|x1|1 成立” 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件18设函数 f（x）=a x+bxcx，其中 ca 0，cb0若 a，b，c 是ABC 的三
4、条边长，则下列结论中正确的是（ ）对一切 x（，1）都有 f（x）0；存在 xR+，使 ax，b x，c x 不能构成一个三角形的三条边长；若ABC 为钝角三角形，则存在 x（1，2） ，使 f（x）=0A B C D三.解答题19在ABC 中，角 A、B 、C 的对边分别为 a、b、c ，且 sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB；（1）求 cosB 的值；（2）若 =2，且 b=2 ，求 a+c 的值20已知函数 f（x）= ，a，bR，a0，b0，f（1）= ，且方程 f（x）=x 有且仅有一个实数解；（1）求 a、b 的值；（2）当 x（ ， 时，不等式（ x+1） f
5、（x）m（m x）1 恒成立，求实数 m 的范围21已知函数 f（x）=sin（x+） （ 0，0）的周期为 ，图象的一个对称中心为（ ，0） ，将函数 f（x）图象上的所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再将所得图象向右平移 0.5个单位长度后得到函数 g（x）的图象；（1）求函数 f（x）与 g（x）的解析式；（2）当 a1，求实数 a 与正整数 n，使 F（x）=f（x）+ag（x）在（0，n）恰有 2019 个零点22已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a1=a（a R） ，a n+1= ，n N*；（1）若 0a n6，求证：0a n+16；（2）若 a=5，求
6、 S2016；（3）若 a= （m N*） ，求 S4m+2 的值23已知函数 f（x）=ax 2+ +5（常数 a，b R）满足 f（ 1）+f（1）=14（1）求出 a 的值，并就常数 b 的不同取值讨论函数 f（x ）奇偶性；（2）若 f（x）在区间（， ）上单调递减，求 b 的最小值；（3）在（2）的条件下，当 b 取最小值时，证明：f（x）恰有一个零点 q 且存在递增的正整数数列a n，使得 =q +q +q +q +成立2016-2017 学年上海市闵行区七宝中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1已知集合 A=x|x|2， ，则 AB= x|2x1 【考点】交集及
7、其运算【分析】求出集合 A 中绝对值不等式的解集确定出集合 A；把集合 B 中的不等式转化为两个不等式组，求出不等式组的解集确定出集合 B，然后把求出的两集合的解集表示在数轴上，根据图形即可得到两集合的交集【解答】解：由集合 A 中的不等式 |x|2，解得2x2，集合 A=x|2x2；由集合 B 中的不等式 0，可化为： 或 ， ，解得：5x1，集合 B=x|5x1，把两集合的解集表示在数轴上，如图所示：根据图形得：AB=x|2x 1故答案为：x|2x12已知 12cos5sin=Acos（ +） （A 0） ，则 tan= 【考点】三角函数的化简求值【分析】利用辅助角和两角和与差的余弦函数对
8、已知函数式进行变形，求得 sin、cos 的值然后根据同角三角函数关系进行解答【解答】解：12cos5sin=13（ cos sin）=13（coscossin sin）=Acos （+） （A0） ，cos= ，sin = ，tan= = = 故答案是： 3已知函数 f（x）=arcsin（2x+1） ，则 f1（ ）= 【考点】反函数【分析】欲求 ，只需令 arcsin（2x+1）= 求出 x 的值，根据原函数与反函数之间的关系可得结论【解答】解：令 arcsin（2x+1）=即 sin =2x+1=解得 x=故答案为：4若函数 f（x）= （a0 且 a1）的值域是4，+） ，则实数 a
9、 的取值范围是 （1，2 【考点】对数函数的单调性与特殊点【分析】当 x2 时，满足 f（ x）4当 x2 时，由 f（ x）=3+log ax4，即 logax1，故有 loga21，由此求得 a 的范围，综合可得结论【解答】解：由于函数 f（x） = （a 0 且 a1）的值域是4，+） ，故当 x2 时，满足 f（x）=6 x4当 x2 时，由 f（x）=3+log ax4，log ax1，log a21，1a2综上可得，1a2，故答案为：（1，25已知函数 f（x）=3 x1，g（x）=x 22x1，若存在实数 a、b 使得 f（a）=g（b） ，则 b 是取值范围是 （，0）（2，+
10、） 【考点】二次函数的性质【分析】若存在实数 a、b 使得 f（a）=g（b） ，则 g（b）属于函数 f（x）的值域，进而得到答案【解答】解：函数 f（x）=3 x1（ 1，+） ，若存在实数 a、b 使得 f（a）=g（b） ，则 g（b）=b 22b11，解得：b（，0）（2，+ ） ，故答案为：（，0）（2，+）6已知函数 f（x）= 若 f（2a 2）f （a） ，则实数 a 的取值范围为 （ 2，1） 【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；二次函数的性质【分析】先根据二次函数的解析式分别研究分段函数在各自区间上的单调性，从而得到函数 f（x）的单调性，由此性质转化求解不等式，
11、解出参数范围即可【解答】解：函数 f（x） ，当 x0 时，f （x）=x 2+4x，由二次函数的性质知，它在 0，+）上是增函数，当 x0 时，f（x）=4x x2，由二次函数的性质知，它在（，0）上是增函数，该函数连续，则函数 f（x） 是定义在 R 上的增函数f（2 a2）f（a） ，2a 2a解得2 a1实数 a 的取值范围是（2，1）故答案为：（2，1）7已知 为锐角，且 cos（+ ）= ，则 cos= 【考点】两角和与差的余弦函数【分析】利用同角三角函数的基本关系求得 sin（ ）的值，再利用两角和差的余弦公式求得cos=cos（ ） 的值【解答】解： 为锐角，且 cos（+ ）
12、= ，+ 为锐角，故 sin（ ）= = ，则 cos=cos（ ） =cos（+ ）cos +sin（ + ）sin = + = ，故答案为： 8已知 a0，b0 且 a+b=1，则（a +2） 2+（b+2） 2 的最小值是 【考点】直线和圆的方程的应用【分析】利用几何意义，转化求解即可【解答】解：a0，b0 且 a+b=1，则（a +2） 2+（b+2） 2 的最小值就是（2，2）到直线 a+b=1 的距离的平方，依题意可得： = 故答案为： 9已知偶函数 f（x）对任意 xR 都有 f（x+4）f（x）=2f（2） ，则 ff（x）=2f（2） ，令 x=2，求出f（2）=0，从而函数
13、 f（x）是周期为 4 的函数，f，再由偶函数的定义得 f（2）=0【解答】解：f（x）是定义在 R 上的偶函数，f（2）=f（2） ，对任意 xR 都有 f（x+4） =f（x）+2f（2） ，令 x=2，则 f（ 2）=f（2）+2f（2） ，f（2）=0 ，f（x+4）=f（x） ，即函数 f（x）是最小正周期为 4 的函数，f=f（2）=0故答案为：010若函数 f（x）=|x 1|+m|x2|+6|x3|在 x=2 时取得最小值，则实数 m 的取值范围是 5，+） 【考点】函数的最值及其几何意义【分析】根据条件可得，化为分段函数，根据函数的单调性和函数值即可得到则 解得即可【解答】解
14、：当 x1 时，f（ x）=1 x+2mmx+186x=19+2m（m+7）x，当 1x2 时，f（x）=x 1+2mm，x+186x=17+2m （m +5）x，f（1）=12+m，2x3 时，f（x）=x 1+mx2m+186x=172m+（m 5）x， f（2）=7，当 x3 时，f（x）=x 1+mz2m+6x18=192m+（m+7）x，f（3）=m+2，若函数 f（x）=|x 1|+m|x2|+6|x3|在 x=2 时取得最小值，则解得 m5，故 m 的取值范围为5，+） ，故答案为：5，+） ，11已知 f（x）=2sin（ x） （0）在 ， 上单调递增，则 的取值范围是 （0
15、， 【考点】正弦函数的图象【分析】由条件利用正弦函数的单调性可得 ，由此求得正数 的范围【解答】解：f（x）=2sin（x） （0）在 ， 上单调递增，则 ，故答案为：（0， 12若定义在m，m（m0）上的函数 f（x）= +xcosx（a0，a1）的最大值和最小值分别是 M、N，则 M+N= 6 【考点】函数的最值及其几何意义【分析】f（x）可化为 3+ +xcosx，令 g（x）= +xcosx，则 f（x）=g（x）+3，根据函数的奇偶性可得 g（x）在1，1上关于原点对称，再根据函数的单调性可得【解答】解：函数 f（x）= +xcosx（1x1）=3+ +xcosx，令 g（x）= +
16、xcosx，则 f（x）=g （x）+3，因为 g（x）= xcos（ x）= xcosx=g（x） ，且 x1，1，所以 g（x）在1，1上关于原点对称，即为奇函数，因为 f（x）和 g（x）单调性相同，所以 f（x）取到最大值 M 时，相对应的 x 下的 g（x）也取最大值 M3，同理 f（x）有最小值 m 时，g（x）也取最小值 N3，g（x）最大值 M=M3，最小值 N=N3，因为 g（x）关于坐标原点对称可得所以（M3）+（N3）=0，所以 M+N=6故答案为：613在某一个圆中，长度为 2、3、4 的平行弦分别对应于圆心角 、 +，其中 +，则这个圆的半径是 【考点】直线与圆的位置
17、关系【分析】由题意，设圆的半径为 r，则 sin = ，cos = = ，平方相加即可求出圆的半径【解答】解：由题意，设圆的半径为 r，则 sin = ，cos = = ，平方相加 =1，r= 故答案为 14若正实数 x，y 满足 x+2y+4=4xy，且不等式（x+2y）a 2+2a+2xy340 恒成立，则实数 a 的取值范围是 （，3 ，+） 【考点】基本不等式【分析】原不等式恒成立可化为 xy 恒成立，由基本不等式结合不等式的解法可得 xy2，故只需 2 恒成立，解关于 a 的不等式可得【解答】解：正实数 x，y 满足 x+2y+4=4xy，可得 x+2y=4xy4，不等式（x+2y）
18、a 2+2a+2xy340 恒成立，即（4xy4）a 2+2a+2xy340 恒成立，变形可得 2xy（2a 2+1）4a 22a+34 恒成立，即 xy 恒成立，x0，y0，x+2y2 ，4xy=x+2y+44+2 ，即 2 20，解不等式可得 ，或 （舍负）可得 xy2，要使 xy 恒成立，只需 2 恒成立，化简可得 2a2+a150，即（a+3） （2a5）0，解得 a3 或 a ，故答案为：二.选择题15函数 的最小正周期为（ ）A B C D2【考点】三角函数的周期性及其求法【分析】由已知利用两角和的正弦函数公式化简函数解析式可得 f（x）=2sin（2x+ ） ，利用三角函数的周期
19、公式即可求值得解【解答】解： =2sin（2x+ ） ，最小正周期 T= =故选：C16已知 y=f（x）是周期为 2的函数，当 x0，2 ）时，f（x）=sin ，则 f（x）= 的解集为（ ）Ax|x=2k + ，kZ Bx|x=2k+ ，kZCx|x=2k ，kZ Dx|x=2k +（ 1） k ，k Z【考点】三角函数的周期性及其求法【分析】先求出0，2）上的 x 的取值，再由周期性得到全体定义域中的解集【解答】解：f（x）=sin = ，x 0，2） ， 0，） = 或 x= 或 f（x）是周期为 2的周期函数，f（x）= 的解集为 x|x=2k ，kZ 故选 C17 “ x ”是“
20、不等式|x1|1 成立” 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】利用绝对值不等式的解法化简条件“不等式|x1|1 成立”，判断出两个集合的包含关系，根据小范围成立大范围内就成立，判断出前者是后者的充分不必要条件【解答】解：因为|x1|11x110x2，因为x| x|0x2，所以“ ”是“不等式|x 1|1 成立” 的充分不必要条件，故选 A18设函数 f（x）=a x+bxcx，其中 ca 0，cb0若 a，b，c 是ABC 的三条边长，则下列结论中正确的是（ ）对一切 x（，1）都有 f（x）0；存在
21、 xR+，使 ax，b x，c x 不能构成一个三角形的三条边长；若ABC 为钝角三角形，则存在 x（1，2） ，使 f（x）=0A B C D【考点】指数函数的图象与性质【分析】利用指数函数的性质以 abc 构成三角形的条件进行证明 可以举反例进行判断利用函数零点的存在性定理进行判断【解答】解：a ，b，c 是ABC 的三条边长，a+bc ，ca0，c b0，0 1，0 1，当 x（，1）时，f（x）=a x+bxcx=cx + 1c x（ ）=c x 0， 正确令 a=2，b=3 ，c=4，则 a， b，c 可以构成三角形，但 a2=4，b 2=9，c 2=16 却不能构成三角形，正确ca
22、0，cb0，若ABC 为钝角三角形，则 a2+b2c20，f（1）=a +bc0，f （2）=a 2+b2c20，根据根的存在性定理可知在区间（1，2）上存在零点，即x（1，2） ，使 f（x）=0 ，正确故选：D三.解答题19在ABC 中，角 A、B 、C 的对边分别为 a、b、c ，且 sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB；（1）求 cosB 的值；（2）若 =2，且 b=2 ，求 a+c 的值【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算【分析】 （1）由条件得 sin（ B+C）=3sinAcosB，再由 sin（B +C）=sinA0，可得 cosB= （2
23、）由两个向量的数量积的定义得到 ac=6，再由余弦定理可得 a2+c2=12，解方程组可求得 a 和 c 的值【解答】解：（1）由 sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB，得 sin（B +C）=3sinAcosB，因为 A、B、C 是ABC 的三内角，所以 sin（B +C）=sinA0，因此 cosB= （2） =| | |cosB= ac=2，即 ac=6，由余弦定理得 b2=a2+c22accosB，所以 a2+c2=12，解方程组 ，得 a=c= 所以 a+c=2 20已知函数 f（x）= ，a，bR，a0，b0，f（1）= ，且方程 f（x）=x 有且仅有一个实数解
24、；（1）求 a、b 的值；（2）当 x（ ， 时，不等式（ x+1） f（x）m（m x）1 恒成立，求实数 m 的范围【考点】函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法【分析】 （1）根据题意，直接带入 f（1） ，同时考虑 f（x ）=x 有且仅有一个实数解，故可求出 ab 值；（2）当 x（ ， 时，不等式（ x+1） f（x）m（m x）1 恒成立，即可转化为：（x+1）f（x）m（mx） 1 恒成立 （1+m）xm 21；【解答】解：（1）f（x） = ，且 f（1）= ； ，即 a+b=2；又 只有一个实数解；x 有且仅有一个实数解为 0；b=1，a=1；f（x）= （2）x（ ，
25、 ；x+10；（x+1）f（x）m（mx）1 恒成立（1+m ）xm 21；当 m+10 时，即 m1 时，有 m1x 恒成立mx+1m （x+1） min1 m ；当 m+10，即 m1 时，同理可得 m（x+1） max= ；此时 m 不存在综上：m（1 ， 21已知函数 f（x）=sin（x+） （ 0，0）的周期为 ，图象的一个对称中心为（ ，0） ，将函数 f（x）图象上的所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再将所得图象向右平移 0.5个单位长度后得到函数 g（x）的图象；（1）求函数 f（x）与 g（x）的解析式；（2）当 a1，求实数 a 与正整数 n，使 F（x
26、）=f（x）+ag（x）在（0，n）恰有 2019 个零点【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】 （1）依题意，可求得 =2，= ，利用三角函数的图象变换可求得 g（x）=sinx；（2）由于 （ x）=asinx +cos2x=0（sinx0） ，a= m（x） ，可得 m（x）= =2sinx，m（x）=2cosx+ = ，令 m（x）=0 得 x= ， ，可得 m（x）在（0， ）上单调递增， （ ，）与（， ）上单调递减， （ ，2）上单调递增，分析可知a=1 时，m（x）=a 在（0，） （，2）有 3 解，而 20193=673，得 n=673*2=1346，从而
27、存在 a=1，n=1346 或 a=1，n=1346 时，（x）有 2019 个零点【解答】解：（1）函数 f（ x）=sin（x+） （ 0，0 ）的周期为 ，= =2，又曲线 y=f（x）的一个对称中心为（ ，0） ， （0， ） ，故 f（ ）=sin（2 +） =0，得 = ，所以 f（x） =cos2x将函数 f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变）后可得 y=cosx 的图象，再将 y=cosx 的图象向右平移 0.5个单位长度后得到函数 g（x）=cos （x0.5）的图象，g（x）=sinx（2）（x） =asinx+cos2x=0（sinx0） ，a=
28、m（x） ，可得 m（x）= =2sinx ，m（x）=2cosx+ =，令 m（x）=0 得 x= ， ，m（x）在（0， ）上单调递增， （ ，）与（， ）上单调递减， （ ，2）上单调递增，当 a1 时，m （x）=a 在（0，2）有 2 解；则 a=1 时，m（x）=a 在（0，） （，2）有 3 解，而 20193=673，所以 n=6732=1346，存在 a=1，n=1346 时， （x）有 2019 个零点22已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a1=a（a R） ，a n+1= ，n N*；（1）若 0a n6，求证：0a n+16；（2）若 a=5，求 S2016；（
29、3）若 a= （m N*） ，求 S4m+2 的值【考点】数列递推式；数列的求和【分析】 （1）分当 an（0，3时和当 an（3，6时，分别求出 an+1 的范围，得到要证的不等式（2）根据递推公式得到，数列a n5，2，4，1，2，4，1，2，4，1，从 2 项起，以 3 为周期的数列，即可求出答案（3）通过解不等式判断出项的取值范围，从而判断出项之间的关系，选择合适的求和方法求出和【解答】解：（1）当 an（0，3时，则 an+1=2an（0，6，当 an（3，6 时，则 an+1=an3（0，3，故 an+1（0，6 ，所以当 0a n6 时，总有 0a n+16 （2）a 1=a=5
30、 时，a 2=a13=2，a 3=2a2=4，a 4=a33=1，a 5=2a4=2，a 6=2a5=4，a 7=a63=1，数列a n5，2，4，1，2，4，1，2，4，1，从 2 项起，以 3 为周期的数列，其和为 2+4+1=7，S 2016=5+7671+2+4=4708（3）由 mN*，可得 2m11，故 a= 3，当 1km 时，2 k1a = =3故 ak=2k1a 且 am+1=2ma又 am+1= 3，所以 am+2=am+13=2ma3=2m 3=a故 S4m+2=S4（m +1） a4m+3a4m+4=4（a 1+a2+am+1）（2 m1+2m）a=4（1+2+2 m）
31、a 32m1a=4（2 m+11）a 32m1a=（2 m+3332m1）a= 23已知函数 f（x）=ax 2+ +5（常数 a，b R）满足 f（ 1）+f（1）=14（1）求出 a 的值，并就常数 b 的不同取值讨论函数 f（x ）奇偶性；（2）若 f（x）在区间（， ）上单调递减，求 b 的最小值；（3）在（2）的条件下，当 b 取最小值时，证明：f（x）恰有一个零点 q 且存在递增的正整数数列a n，使得 =q +q +q +q +成立【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的判断【分析】 （1）根据条件很容易求出 a，讨论奇偶性根据定义即可，注意对于非奇非偶的，要举出反例（2）
32、利用导数求出 f（x）的单调区间，再与所给单调区间比较即可求 b 的最小值（3）说 f（x）有一个零点，所以我们先来找 f（x）的零点，找到之后再看怎样让它满足所给等式即可【解答】解：（1）由 f（1） +f（ 1）=14 得（a +b+5）+（ ab+5）=14，所以解得 a=2；所以 f（x）= ，定义域为（，0）（0，+ ） ；当 b=0 时，对于定义域内的任意 x，有 f（ x）=f（x）=2x 2+5，所以 f（x）为偶函数当 b0 时，f（1）+f（1）=140，所以 f（1） f（1） ，所以 f（x）不是奇函数；f （ 1）f（1）=2b0 ，所以 f（x）不是偶函数；所以，b
33、=0 时 f（x）为偶函数，b0 时，f（x）为非奇非偶函数（2）f（x）= = =0，解得 x= ，所以 x（， ）时，f（x）0，所以 f（x）在（， ）上单调递减，又 f（x）在 上单调递减，所以 ，解得 b2，所以 b 的最小值是 2（3）在（2）的条件下，f（ x）= ；当 x0 时，f（x）0 恒成立，函数 f（x）在（ ，0）上无零点；当 x0 时，f（x）= 0，所以函数 f（x）在（0，+）上递增，又 f（ ）= 0，f（1）=50；f（x）在（ ，1）上有一个零点 q，即 q ，且 f（q）=2 =0，整理成 ，所以 ；又 +，所以 +，且 an=3n22017 年 1 月 4 日
