1、位育中学 2017 届第一学期期中考试高三数学试卷一 填空题（本大题满分 56 分，每小题 4 分）1 设集合 6,5432,1U, ,21MCu;则集合 =_2 已知 )sin(，则 )cos(=_3 公比为 2 的等比数列 an的各项都是正数，且 163a，则 102loga=_4 求值： )74arcsi(=_5 在等差数列 n中，若 2576543，则 82_6 在 ABC中， ， b， A,则 B=_7 已知数列 an是递增数列的等比数列， 941a， 32，则数列 an的前 项和等于_8 若函数 2log36)(xxfa （ 0且 ）的值域是 ，4。则实数 的取值范围是_9 若函数
2、 )ln()(2xf 为偶函数，则 a_10 设 ns是数列 a的前 项和，且 1， 1nns ，则 n=_11 设函数 2|)1l()xxf ，则使得 )2()xf成立的 x的取值范围是_12 已知函数 0(cossin ， R，若函数 (f在区间 )(，内单调递增，且函数 )(xf的图像关于 x对称，则 的值为_13 若 ab是函数 ),()(2qpf 的两个不同的零点，且 a， b， 2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于_14 已知函数 )3)(2)(mxxf ， 2(xg ，若同时满足条件：（1 ） 对任意实数 都有 0f或 ；（2 ）总存在 ），（
3、 4o 时，使 0)(oxgf 成立，则 m的取值范围是_二 选择题（满分 20 分，每小题 5 分）15 设 ns是公差为 )0(d的无穷等差数列 an的前 项和，则下列命题错误的是（ ）A若 0d ,则数列 sn有最大项 B 若数列 s有最大项，则 0dC若数列 n是递增数列，则对任意 *N,均有 0n D若对任意 *N，均有 0ns，则数列 s是递增数列16 将函数 xf2i)( 的图像向右平移 ）（ 2个单位后得到函数 )(xg的图像，若对满足|)(|21xgf的 1 ，有 3min21x ，则 =_A5 B 3 C 4 D617 已知 )(xf是定义在 R上的偶函数且以 2 为周期，
4、则“ )(xf为 10， 上的增函数”是“ )(xf为 43， 上的减函数”的（ ）充分而不必要的条件 必要而不充分的条件C充要条件 既不充分也不必要的条件18 对于函数 )(xf，若存在区间 nmA, 使得y|y=f （x ） ，x A=A，则称函数 f（x）为“ 可等域函数”，区间 A 为函数 f（x ）的一个“ 可等域区间” 给出下列 4 个函数：f（x）=sin（ x） ；f（x）=2x 21；f（x）=|1 2x|； f（x）=log 2（2x 2） 其中存在唯一“可等域区间” 的“ 可等域函数”为（ ）A B C D三 解答题（满分 74 分）19 （满分 12 分）已知二次函数
5、32)(xmxf ，若不等式 0)(xf的解集为 ),1(n （1 ）解关于 的不等式： 14mn；（2 ）是否存在实数 ），（ 10a ，使得关于 x的函数 14)(xafy ），（ 2的最小值为 4？若存在，求 a的值；若不存在，请说明理由20 （本题满分 14 分）在 ABC中, 已知 135cosA , 3102cottanB, C（1 ）求 )(的值;（2 ）求 的面积.21 (本题满分 14 分)已知函数 2cos102sin310xxxf （1 ）求函数 )(的最小正周期 ;（2 ）将函数 xf的图像向右平移 6 个单位长度, 再向下平移 a )0(个单位长度后得到函数 )(xg
6、的图像,且函数 )(g的最大值为 2 . 求函数 x的解析式; 证明:存在无穷多个互不相同的正整数 0x ,使得 0)(g 22 (本题满分 16 分)已知数列 an的前 项和为 ns, 且 nnsa2 对一切整数 n都成立.（1 ）求 1 , 2的值（2 ）若 01a,设数列 nb的前 项和为 nT, 且满足 nnab10lg ,证明 nb是等差数列;（3 ）当 n为何值时, nT 最大? 并求出 n的最大值.23(本题满分 18 分)已知函数 (xf ,如果存在给定的实数对 ）（ ba, ,使得 bxaff)(恒成立,则称 )(xf为” -函数” .（1 ）判断函数 xf）（ 1, xf3
7、2）（ 是否是” -函数 ” .（2 ）若 tan3）（ 是一个 ” -函数” .,求出所有满足条件的有序实数对 ）（ ba,;（3 ）若定义域为 R的函数 )(xf 是” 函数” ,且存在满足条件有序实数对 ），（ 10和 )4,( ,当 10，x时,)(xf的值域为 21， ,求当 2016-， 时函数 )(xf的值域2016-2017 学年上海市徐汇区位育中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分 56 分，每小题 4 分）1设集合 U=1，2，3，4，5，6， UM=1，2，4；则集合 M= 3，5，6 【考点】补集及其运算【专题】集合思想；定义法；集合【分析】
8、利用全集和补集的定义，确定集合 M 元素的构成【解答】解：集合 U=1，2，3，4，5，6， UM=1，2 ，4；则 M 是把全集 U 中的元素去掉后，剩余元素构成的集合，即集合 M=3， 5，6故答案为：3，5，6【点评】本题考查全集和补集的定义与应用问题，是基础题目2已知 sin（ ）= ，则 cos（ ）= 【考点】运用诱导公式化简求值【专题】三角函数的求值【分析】已知等式左边利用诱导公式化简求出 cos 的值，原式利用诱导公式化简后把 cos 的值代入计算即可求出值【解答】解：sin（ ）=cos= ，cos（ ）= cos= 故答案为：【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握
9、诱导公式是解本题的关键3公比为 2 的等比数列a n的各项都是正数，且 a3a11=16，则 log2a10= 5 【考点】等比数列的通项公式【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】由已知条件利用等比数列通项公式求出 ，从而得到 ，由此利用对数性质能求出结果【解答】解：公比为 2 的等比数列a n的各项都是正数，且 a3a11=16，a 7= = = =4， =4，解得 = ， = =25，log 2a10= =5故答案为：5【点评】本题考查对值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用4求值：arcsin（cos ）= 【考点】反三角函数的运用【专题
10、】计算题；方程思想；演绎法【分析】利用反三角函数的定义，即可得出结论【解答】解：令 arcsin（cos ）= ，则 sin=cos =sin（ ） ，= ，故答案为 【点评】本题考查反三角函数的定义，考查学生的计算能力，比较基础5在等差数列a n中，若 a3+a4+a6+a7=25，则 a2+a8= 【考点】等差数列的通项公式【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】利用等差数列的性质即可得出【解答】解：由等差数列的性质可得：a 3+a7=a4+a6=a2+a8，又 a3+a4+a6+a7=25，则 a2+a8= = 故答案为： 【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查
11、了推理能力与计算能力，属于中档题6在ABC 中，a=3，b= ，A= ，则 B= 【考点】正弦定理【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形【分析】由已知及正弦定理可求 sinB，利用大边对大角可求 B 为锐角，利用特殊角的三角函数值即可得解【解答】解：a=3，b= ，A= ，sinB= = = ，ba，可得 B 为锐角，B= 故答案为： 【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题7 （2015安徽）已知数列 an是递增的等比数列，a 1+a4=9，a 2a3=8，则数列a n的前 n 项和等于 2 n1 【考点】等比数列的性质
12、；等比数列的前 n 项和【专题】等差数列与等比数列【分析】利用等比数列的性质，求出数列的首项以及公比，即可求解数列a n的前 n 项和【解答】解：数列a n是递增的等比数列，a 1+a4=9，a 2a3=8，可得 a1a4=8，解得 a1=1，a 4=8，8=1q 3，q=2，数列a n的前 n 项和为： =2n1故答案为：2 n1【点评】本题考查等比数列的性质，数列a n的前 n 项和求法，基本知识的考查8 （2015福建）若函数 f（x）= （a 0 且 a1）的值域是4，+） ，则实数 a 的取值范围是 （1，2 【考点】对数函数的单调性与特殊点【专题】函数的性质及应用【分析】当 x2
13、时，满足 f（ x）4当 x2 时，由 f（ x）=3+log ax4，即 logax1，故有 loga21，由此求得 a 的范围，综合可得结论【解答】解：由于函数 f（x） = （a 0 且 a1）的值域是4，+） ，故当 x2 时，满足 f（x）=6 x4当 x2 时，由 f（x）=3+log ax4，log ax1，log a21，1a2综上可得，1a2，故答案为：（1，2【点评】本题主要考查分段函数的应用，对数函数的单调性和特殊点，属于基础题9 （2016 春晋城校级期末）若函数 f（x）=xln（x+ ）为偶函数，则 a= 1 【考点】函数奇偶性的性质【专题】函数的性质及应用【分析】
14、由题意可得，f（x）=f（x） ，代入根据对数的运算性质即可求解【解答】解：f（x）=xln（x+ ）为偶函数，f（ x）=f（x） ，（x） ln（ x+ ）=xln（x+ ） ，ln （x+ ）=ln（x+ ） ，ln（x + ）+ln（x+ ）=0，ln（ +x） （ x）=0，lna=0，a=1故答案为：1【点评】本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题10设 Sn 是数列a n的前 n 项和，a 1=1，a n+1=SnSn+1，则 Sn= 【考点】数列的求和【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】a n+1=SnSn+1，可得 Sn+1Sn=
15、SnSn+1， =1，再利用等差数列的通项公式即可得出【解答】解：a n+1=SnSn+1，S n+1Sn=SnSn+1， =1，数列 是等差数列，首项为1，公差为 1 =1（n1）= n，解得 Sn= 故答案为： 【点评】本题考查数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11设函数 f（x）=1n （1+|x|） ，则使得 f（x）f（2x1）成立的 x 的取值范围为 （ ） 【考点】对数函数的图象与性质【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用【分析】根据函数的表达式可知函数 f（x）为偶函数，判断函数在 x 大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距
16、离原点越远的点，函数值越大，可得|x|2x1|，解绝对值不等式即可【解答】解：f（x）=ln（1+|x|） 定义域为 R，f（ x）=f（x） ，函数 f（x）为偶函数，当 x0 时，f（x）=ln（1+x） 值函数单调递增，根据偶函数性质可知：得 f（ x）f （2x 1）成立，|x|2x1| ，x 2（2x1） 2，x 的范围为（ ）故答案为：（ ） 【点评】考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记12 （2015天津）已知函数 f（x）=sinx+cosx（ 0） ，xR ，若函数 f（x）在区间（ ， ）内单调递增，且函数 y=f（x）的图象关于直线
17、x= 对称，则 的值为 【考点】由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】开放型；三角函数的图像与性质【分析】由两角和的正弦函数公式化简解析式可得 f（x）= sin（x+ ） ，由 2k x+ 2k+，kZ 可解得函数 f（x）的单调递增区间，结合已知可得： ， ，kZ，从而解得 k=0，又由 x+ =k+ ，可解得函数f（x）的对称轴为：x= ，kZ，结合已知可得： 2= ，从而可求 的值【解答】解：f（x）=sinx+cosx= sin（ x+ ） ，函数 f（x）在区间（ ， ）内单调递增，02k x + 2k+ ，k Z 可解得函数 f（x）的单调递增区间为： ， ，kZ
18、，可得： ， ，kZ，解得：0 2 且 0 22k ，kZ，解得： ，kZ，可解得：k=0，又由 x+ =k+ ，可解得函数 f（x）的对称轴为：x= ，kZ，由函数 y=f（x）的图象关于直线 x= 对称，可得： 2= ，可解得：= 故答案为： 【点评】本题主要考查了由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，正确确定 k 的值是解题的关键，属于中档题13 （2015福建）若 a，b 是函数 f（x）=x 2px+q（p0，q0）的两个不同的零点，且 a，b，2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p+q 的值等于 9 【考点】等比数
19、列的性质；等差数列的性质【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到 a+b=p，ab=q，再由 a，b，2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于 a，b 的方程组，求得 a，b 后得答案【解答】解：由题意可得：a+b=p，ab=q，p0，q0，可得 a0，b0，又 a，b，2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得 或 解得： ；解得： p=a+b=5，q=14=4 ，则 p+q=9故答案为：9【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题14已知 f（x）=m（x 2m） （ x+m+3） ，g（x）=2
20、 x2若同时满足条件：任意 xR 满足 f（x）0 或 g（x）0；存在 x（， 4）满足 f（ x）g（x）0，则 m 的取值范围是 （4，2） 【考点】其他不等式的解法【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】因 g（x）=2 x20 时 x1，由题意 f（x）=m（x 2m） （x+m+3）0 在 x1 时成立，根据二次函数的性质求出 m 的取值范围；因 x（， 4）时 f（x）g（x）0，而 g（x）=2 x20，则 f（x）=m（x2m） （x+m+3）0 在 x（， 4）时成立，结合二次函数的性质求出 m 的取值范围【解答】解：g（x）=2 x2，当 x1 时，g（x）0
21、，又xR ，f （x）0 或 g（x）0，f（x）=m （x 2m） （x+m+3）0 在 x1 时恒成立，由二次函数的性质知开口只能向下，且二次函数与 x 轴交点都在（1，0）的左边，即 ，解得4 m0，又 x（， 4）时，f （x）g（x）0，此时 g（x）=2 x20 恒成立，f（x）=m （x 2m） （x+m+3）0 在 x（，4）有成立的可能，则只要4 比 x1， x2 中的较小的根大即可（i）当1m 0 时， m34 不成立，（ii）当 m=1 时，有 2 等根，不成立，（iii ）当4m 1 时，2m 4 即 m 2 成立；综上可得成立时4m 2故答案为：（4， 2） 【点评】
22、本题用全称命题与存在性命题考查了指数函数与二次函数性质的应用问题，是易错题二、选择题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）15 （5 分）设 Sn 是公差为 d（d0）的无穷等差数列a n的前 n 项和，则下列命题错误的是（ ）A若 d0，则数列S n有最大项B若数列S有最大项，则 d0C若数列S n是递增数列，则对任意 nN*均有 Sn0D若对任意 nN*均有 Sn0，则数列S n是递增数列【考点】等差数列的前 n 项和【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】由等差数列的求和公式可得 Sn=na1+ d= n2+（a 1 ）n，利用二次函数的单调性与数列的单调性即可得
23、出【解答】解：由等差数列的求和公式可得 Sn=na1+ d= n2+（a 1 ）n，选项 A，若 d0，由二次函数的性质可得数列 Sn有最大项，故正确；选项 B，若数列S n有最大项，则对应抛物线开口向下，则有 d0，故正确；选项 C，若数列S n是递增数列，则对应抛物线开口向上，但不一定有任意 nN*，均有 Sn0，故错误选项 D，若对任意 nN*，均有 Sn0，对应抛物线开口向上，d0，可得数列S n是递增数列，故正确故选：C【点评】本题考查了等差数列的求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16 （5 分） （2015 湖南）将函数 f（x）=sin2x 的图象向
24、右平移 （0 ）个单位后得到函数 g（x）的图象若对满足|f（x 1）g（x 2）|=2 的 x1、x 2，有|x 1x2|min= ，则 =（ ）A B C D【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换【专题】三角函数的图像与性质【分析】利用三角函数的最值，求出自变量 x1，x 2 的值，然后判断选项即可【解答】解：因为将函数 f（ x）=sin2x 的周期为 ，函数的图象向右平移 （0 ）个单位后得到函数 g（x）的图象若对满足|f（x 1）g（x 2）|=2 的可知，两个函数的最大值与最小值的差为 2，有|x1x2|min= ，不妨 x1= ，x 2= ，即 g（x）在 x2= ，取得
25、最小值，sin （2 2）= 1，此时 = ，不合题意，x1= ，x 2= ，即 g（x）在 x2= ，取得最大值，sin （2 2）=1，此时 = ，满足题意故选：D【点评】本题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖有一定难度，选择题，可以回代验证的方法快速解答17 （5 分）已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数且以 2 为周期，则“f （x）为0，1上的增函数”是“ f（x）为3，4上的减函数”的（ ）A充分而不必要的条件 B必要而不充分的条件C充要条件 D既不充分也不必要的条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题
26、】计算题；函数思想；定义法；简易逻辑【分析】由题意，可由函数的性质得出 f（x）为1，0上是减函数，再由函数的周期性即可得出 f（x）为3，4上的减函数，由此证明充分性，再由 f（x）为3，4上的减函数结合周期性即可得出 f（x）为1， 0上是减函数，再由函数是偶函数即可得出 f（x）为0，1上的增函数，由此证明必要性，即可得出正确选项【解答】解：f（x）是定义在 R 上的偶函数，若 f（x）为0，1上的增函数，则 f（x）为 1，0上是减函数，又f（x）是定义在 R 上的以 2 为周期的函数，且3，4与1，0相差两个周期，两区间上的单调性一致，所以可以得出 f（x）为3，4上的减函数，故充分
27、性成立若 f（x）为3，4上的减函数，同样由函数周期性可得出 f（x）为 1，0上是减函数，再由函数是偶函数可得出 f（x）为0，1上的增函数，故必要性成立综上， “f（x）为0，1上的增函数 ”是“f（x）为3，4上的减函数”的充要条件故选 C【点评】本题考查充分性与必要性的判断，解题的关键是理解充分性与必要性证明的方向，即由那个条件到那个条件的证明是充分性，那个方向是必要性，初学者易搞不清证明的方向导致表述上出现逻辑错18 （5 分） （2015 上海模拟）对于函数 f（x） ，若存在区间 A=m，n，使得y|y=f（x） ，xA=A，则称函数 f（x）为“可等域函数” ，区间 A 为函数
28、 f（x）的一个“可等域区间”给出下列 4 个函数：f（x）=sin（ x） ；f（x）=2x 21；f（x）= |12x|； f（x）=log 2（2x 2） 其中存在唯一“可等域区间” 的“ 可等域函数”为（ ）A B C D【考点】正弦函数的定义域和值域【专题】新定义；函数的性质及应用【分析】根据“可等域区间” 的定义分别进行判断即可得到结论【解答】解：函数 f（x）=sin（ x）的周期是 4，正弦函数的性质我们易得，A=0，1为函数的一个“可等域区间” ，同时当 A=1，0时也是函数的一个“可等域区间”，不满足唯一性当 A=1，1 时，f （x）1，1，满足条件，且由二次函数的图象可
29、知，满足条件的集合只有A=1， 1一个A=0，1为函数 f（x）=|2 x1|的“可等域区间”，当 x0，1时，f（x）=2 x1，函数单调递增，f（0）=1 1=0，f （1）=2 1=1 满足条件，m，n 取值唯一故满足条件f（x）=log 2（2x 2）单调递增，且函数的定义域为（1，+） ，若存在“可等域区间” ，则满足 ，即 ，m，n 是方程 2x2x+2=0 的两个根，设 f（x）=2 x2x+2，f（x）=2 xln22，当 x1 时，f （x）0，此时函数 f（x）单调递增，f（x）=2 x2x+2=0 不可能存在两个解，故 f（x）=log 2（2x 2）不存在“可等域区间”
30、故选：B【点评】本题主要考查与函数有关的新定义问题，根据“可等域区间” 的定义，建立条件关系是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度三.解答题（满分 74 分）19 （12 分）已知二次函数 f（x）=mx 22x3，若不等式 f（x）0 的解集为（ 1，n） （1）解关于 x 的不等式：2x 24x+n（m +1）x1；（2）是否存在实数 a（0，1） ，使得关于 x 的函数 y=f（a x）4a x+1（x 1，2）的最小值为4？若存在，求 a 的值；若不存在，说明理由【考点】一元二次不等式的解法；二次函数在闭区间上的最值【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】 （1）根据一
31、元二次不等式与一元二次方程之间的关系，结合根与系数的关系，求出 m 与 n 的值，再求不等式的解集；（2）用换元法，得函数 y=t2（4a+2）t 3，求出最小值为4 时的 a 的值即可【解答】解：（1）f（x） =mx22x3，且 f（x）0 的解集为（ 1，n） ，方程 mx22x3=0 的两个实数根是1，n，且 m0； ，解得 ；原不等式可化为（x2） （x 1）0，解得解集为（，1）（2，+） ；（2）设 t=ax，且 a（0，1） ，x1，2时，a xa2，a ；函数 y=f（a x）4a x+1=t2（4a +2）t3，对称轴是 t=2a+1a，y min=a2（4a+2）a 3=
32、4，解得 a= 或 a=1（舍去） ；存在实数 a= 【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，考查了换元法的应用问题，是中档题20 （14 分）在ABC 中，已知 cosA= ，tan +cot = ，c=21（1）求 cos（AB）的值；（2）求ABC 的面积【考点】两角和与差的余弦函数；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值【分析】 （1）由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式求得 sinA、sinB 的值，可得 cosB 的值，从而求得 cos（AB）=cosAcosB+sinAsinB 的值（2）先求得 sinC
33、=sin（A+B） 的值，再利用正弦定理求得 a 的值，从而求得ABC 的面积为 的值【解答】解：（1）ABC 中，已知 cosA= ，sinA= = ，A tan +cot = = ，sinB= （ ， ） ，B（ ， ） ，cosB= = ，cos（A B）=cosAcosB +sinAsinB= + = （2）c=21，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB= ，由正弦定理可得 = ，即 = ，a=20，ABC 的面积为 = 2021 =126【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用，属于中档题21 （14 分）
34、（2015 福建）已知函数 f（x）=10 sin cos +10cos2 （）求函数 f（x）的最小正周期；（）将函数 f（x）的图象向右平移 个单位长度，再向下平移 a（a 0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，且函数 g（x）的 最大值为 2（i）求函数 g（x）的解析式；（ii）证明：存在无穷多个互不相同的正整数 x0，使得 g（x 0）0【考点】三角函数的最值；函数 y=Asin（x+）的图象变换【专题】开放型；三角函数的求值【分析】 （）先化简函数的解析式，进而求出最小正周期；（） （i）先求出每一步函数变换的函数解析式，再根据 g（x）的最大值为 2，容易求出 a 的值，然后进
35、而写出 g（x）的解析式；（ii）就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x0 ，使得 10sinx0 80，即 sinx0 ，由 知，存在 0 0 ，使得 sin0=由正弦函数的性质当 x（2k +0，2k+ 0） （kZ ）时，均有 sinx ，即可证明【解答】解：（）f（x） =10 sin cos +10cos2 =5 sinx+5cosx+5=10sin（x+ ）+5，所求函数 f（x）的最小正周期 T=2；（） （i）将函数 f（x）的图象向右平移 个单位长度后得到 y=10sinx+5 的图象，再向下平移 a（a 0）个单位长度后得到函数 g（x）=10sinx+5a 的图象，函
36、数 g（x）的最大值为 2，10+5a=2，解得 a=13，函数 g（x）=10sinx8（ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x0，使得 g（x 0）0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x0 ，使得 10sinx0 80，即 sinx0 ，由 知，存在 0 0 ，使得 sin0= ，由正弦函数的性质可知，当 x（ 0， 0）时，均有 sinx ，因为 y=sinx 的周期为 2，所以当 x（2k+ 0，2k+ 0） ，（kZ）时，均有 sinx 因为对任意的整数 k， （2k+ 0）（2k+ 0）=2 0 1，所以对任意的正整数 k，都存在正整数 xk（2k +0，2k +0）
37、 ，使得 sinxk ，即存在无穷多个互不相同的正整数 x0，使得 g（x 0）0【点评】本题考查了三角函数的辅助角公式、最小正周期、函数图象的平移变换、最值问题等，属于中档题22 （16 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a2an=S2+Sn 对一切整数 n 都成立（1）求 a1，a 2 的值（2）若 a10，设数列b n的前 n 项和为 Tn，且满足 bn=lg ，证明b n是等差数列；（3）当 n 为何值时，T n 最大？并求出 Tn 的最大值【考点】数列的求和；等差关系的确定【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】 （1）a 2an=S2+Sn 对一切整数 n
38、 都成立分别取 n=1，2，联立解出即可得出（2）由 a10，取 a1= +1，a 2=2+ 可得 an=（3+2 ）+S n，利用递推关系可得：an= an1利用等比数列的通项公式可得 代入 bn=lg ，化简即可证明（3）b n=1（n1） ，公差 lg20可得 b70， b80利用等差数列的求和公式即可得出【解答】解：（1）a 2an=S2+Sn 对一切整数 n 都成立a 2a1=a1+a2+a1，a 2（a 1+a2）=2（a 1+a2） ，联立解得 a1= +1，a 2=2+ 或 a1=1 ，a 2=2 （2）证明：a 10，取 a1= +1，a 2=2+ an=（3+2 ）+S n
39、，n2 时， =（3+2 ）+S n1， an =an，a n= an1数列a n是等比数列，公比为 b n=lg = =1（n 1） ，b n是等差数列，首项为 1，公差为 lg2（3）b n=1（n1） ，公差 lg20b 7=13lg2=1lg80，b 8=1 lg2= 0当 n=7，T n 最大，T n 的最大值为 =7 lg2【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题23 （18 分）已知函数 f（x） ，如果存在给定的实数对（a ，b） ，使得 f（a+x）f（ax）=b 恒成立，则称f（x）为“ 函数
40、”（1）判断函数 f1（x）=x， 是否是“ 函数”；（2）若 f3（x）=tanx 是一个“ 函数”，求出所有满足条件的有序实数对（a，b） ；（3）若定义域为 R 的函数 f（x）是“ 函数” ，且存在满足条件的有序实数对（0，1）和（1，4） ，当x0，1时，f（x）的值域为1，2，求当 x2016，2016 时函数 f（x）的值域【考点】抽象函数及其应用；函数恒成立问题【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】 （1）假设 f1（x） ，f 2（x）为 函数，根据新定义得出恒等式，判断恒等式是否成立即可得出结论；（2）假设 f3（x）为 函数，列出恒等式，根据和角的正切公式计算
41、，得出关于 x 的恒等式解出 a，b；（3）根据定义列出恒等式，根据所给条件归纳得出当 x2k，2k+2时，f（x）2 2k，2 2k+2，从而求的f（x）的值域【解答】解：（1）若 f1（x） =x 是“ 函数”，则存在实数对（a，b） ，使得（a+x） （ax）=b即 x2=a2b 对 xR 恒成立，而关于 x 的方程 x2=a2b 最多有两个解，不符合题意因此 f1（x）=x 不是“ 函数”若 是“函数”，则存在实数对（ a，b） ，使得 3a+x3ax=32a=b，即存在常数对（a，3 2a）满足条件，因此 是“函数”（2）f 3（x）=tanx 是一个“ 函数”，存在序实数对（a，b
42、）满足 tan（a+x）tan（ax）=b 恒成立，当 时，tan（a+x） tan（ax）= cot2x，不是常数 当 时，有 恒成立，即（btan 2a1）tan 2x+（tan 2ab）=0 恒成立则 ，当 ， 时，tan（a+x）tan（a x）=cot 2a=1 成立因此满足 f3（x）=tanx 是一个“ 函数”时，实数对 （3）函数 f（x）是“ 函数”，且存在满足条件的有序实数对（0，1）和（1，4） ，f（x）f （x）=1 ，f（1+x）f（1x）=4，f（1+x）f （1x）=4 f（x） f（2 x）=4 ，x1，2时，2x 0，1，f （2 x）1，2，x0，2时，f（x）1，4，x2，4时，f（x）4，16，x 4，6时，f（x）16，64，以此类推可知：x2k，2k+2 时，f（x）2 2k，2 2k+2，当 x2014，2016时，f（x）2 2014，2 2016，因此 x0，2016时，f（x）1，2 2016，x 2016，0时，综上可知当 x2016，2016时函数 f（x）对的值域为2 2016，2 2016【点评】本题考查了对新定义的理解，函数的性质应用，函数值域的求法，属于中档题
