1、第二章 2.1 2.1.1 第 1 课时一、选择题1.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A. BC D答案 A解析 观察可发现规律：每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，每行、每列有两阴影一空白，即得结果2在数列a n中，a 10，a n1 2a n2，则猜想 an( )A2 n2 B2 n212C2 n1 1 D2 n1 4答案 B解析 a 102 12，a 22a 1222 22，a32a 224262 32，a42a 32122142 42，猜想 an2 n2.故应选 B.3平面内的小圆形按照下图中的规律排列，每个图中的圆的个数构成一个数列a n，则下列结论
2、正确的是( )a 515；数列a n是一个等差数列；数列a n是一个等比数列；数列a n的递推关系是 ana n1 n(nN *)A BC D答案 D解析 由于 a11，a 23，a 36，a 410，所以有 a2 a12，a 3a 23，a 4a 34.因此必有 a5a 45，即 a515，故正确同时正确，而a n显然不是等差数列也不是等比数列，故错误，故选 D.4用火柴棒摆“金鱼” ，如图所示，按照上面的规律，第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )A6n2 B8n2C6n2 D8n2答案 C解析 从可以看出，从第个图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多 6 根，故火柴棒数成等
3、差数列，第一个图中火柴棒为 8 根，故可归纳出第 n 个“金鱼”图需火柴棒的根数为 6n2.5图(1)、图(2)、图(3) 、图(4)分别包含 1、5、13 和 25 个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第 n 个图包含_个互不重叠的单位正方形( )An 22n1 B2n 22n1C2n 22 D2n 2n1答案 B解析 观察题中给出的四个图形，图(1)共有 12 个正方形，图(2)共有 122 2 个正方形；图(3)共有 22 32 个正方形；图(4)共有 324 2 个正方形；则第 n 个图中共有(n1) 2n 2，即2n22n1 个正方形6(2015隆化县存瑞中学高二期中)
4、把正整数按图所示的规律排序，则从 2013 到 2015的箭头方向依次为( )答案 A解析 1 和 5 的位置相同，图中排序每四个一组循环，而 2013 除以 4 的余数为 1，2013 的位置和 1 的位置相同，2014 的位置和 2 的位置相同，2015 的位置和 3 的位置相同，故选 A.点评 位置相同的数字都是以 4 为公差的等差数列，2014 45032，因此 2014的箭头方向应与 2 的相同二、填空题7观察下列等式：121，122 23，122 23 26，122 23 24 210，由以上等式推测到一个一般的结论：对于 nN *,122 23 24 2( 1)n1 n2_.答案
5、 (1) n1n2 n2解析 注意到第 n 个等式的左边有 n 项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于 123n ，注意到nn 12 n2 n2右边的结果的符号的规律是：当 n 为奇数时，符号为正；当 n 为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(1) n1 .n2 n28(2013陕西文，13)观察下列等式：(11)21；(21)(2 2)2 213；(31)(3 2)(33)2 3135；照此规律，第 n 个等式可为_答案 (n1)(n2)( nn) 2 n13(2n1)解析 观察规律，等号左侧第 n 个等式共有 n 项相乘，从 n1 到 nn，等式右
6、端是2n 与等差数列2n1前 n 项的乘积，故第 n 个等式为(n1)(n2) (nn)2 n13(2n1)9观察下图中各正方形图案，每条边上有 n(n2) 个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S，按此规律推出 S 与 n 的关系式为_答案 S4( n1)( n2)解析 每条边上有 2 个圆圈时共有 S4 个；每条边上有 3 个圆圈时，共有 S8 个；每条边上有 4 个圆圈时，共有 S12 个可见每条边上增加一个点，则 S 增加 4，S 与 n的关系为 S4(n1)( n2)三、解答题10证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论2cos ，4 22cos ，8 2 22cos ，16 2 2 2证
7、明 2cos 2 ，4 22 22cos 2 2 ，8 1 cos42 1222 2 22cos 216 1 cos822 1 122 22 2 2 2观察上述等式可以发现，第 n 个等式右端有 n 个根号，n 个 2，左端“角”的分母为22,23,24，故第 n 个等式的左端应为 2cos ，由此可归纳出一般性的结论为：2n 12cos 2n 1 2 2 2 n个 根 号一、选择题11(2015锦州一中高二期中) 根据给出的数塔猜测 12345697 等于( )192111293111123941111123495111111234596111111A1111110 B1111111C111
8、1112 D1111113答案 B分析 根据已知的式子归纳出规律：第 n 个等式是从 1 到 n 的自然数构成的 n 位数与 9 相乘加上 n1 的结果是( n1) 个 1，即可求出结论解析 由题意得，19211,1293111,123941111,12349511111,1234596111111，可得 n 位数与 9 相乘加上 n1 的结果是(n1) 个 1，123456971111111，故选 B.12观察(x 2)2x ，( x4)4x 3，(cosx)sinx ，由归纳推理可得：若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x )f(x) ，记 g(x)为 f(x)的导函数，则 g(x)
9、( )Af(x) Bf (x)Cg(x) Dg( x)答案 D解析 本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，g(x )g(x )，选 D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理能力的考查13把 1、3、6、10、15、21、这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图 )，试求第七个三角形数是( )A27 B28C29 D30答案 B解析 观察归纳可知第 n 个三角形数共有点数：12 34n 个，nn 12第七个三角形数为 28.77 1214(2015隆化县存瑞中学高二期中) 观察下列式子：1 ，1 ，1 ，根据以上式子可以猜想：1
10、2232 122 13253 122 132 142741 ( )122 132 120142A. B40252014 40262014C. D40272014 40282014答案 C解析 本题考查了归纳的思想方法观察可以发现，第 n(n2)个不等式左端有 n1 项，分子为 1，分母依次为12、2 2、3 2、(n1) 2；右端分母为 n1，分子成等差数列，首项为 3，公差为 2，因此第 n 个不等式为 1 ，122 132 1n 122n 1n 1所以当 n2013 时不等式为：1 .122 132 12014240272014二、填空题15下面是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表
11、示原子，两黑点间的“连线”表示化学键，按图中结构第 n 个图有_个原子，有_个化学键答案 4n2,5n1解析 第 1、2、3 个图形中分别有原子个数为 6,64,6 42，故第 n 个图形有原子64( n1) 4n2 个第 1、2、3 个图形中，化学键个数依次为 6、65、652、第 n 个图形化学键个数为65(n1) 5n1.16在ABC 中，不等式 成立，1A 1B 1C 9在四边形 ABCD 中，不等式 成立，1A 1B 1C 1D 162在五边形 ABCDE 中，不等式 成立，猜想在 n 边形 A1A2An 中，1A 1B 1C 1D 1E 253有不等式_成立答案 (n3)1A1 1
12、A2 1An n2n 2解析 根据已知特殊的数值： 、 、 ，总结归纳出一般性的规律：9162253(n3) n2n 2在 n 边形 A1A2An 中： (n3)1A1 1A2 1An n2n 2三、解答题17(2013西宁质检)已知等式 sin210cos 240sin10cos40 ，sin 26cos 23634sin6cos36 .请写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含已知的等式，并证明34结论的正确性解析 等式为 sin2cos 2(30)sincos(30 ) .证明如下：34sin2cos 2(30) sin cos(30)sin 2 sin (cos30cossin30
13、sin ) sin 2 1 cos60 2a2 12 cos60 22sin2 sin2 sin 2 ( cos2 sin2)34 12 12 1212 32 sin2 sin2 sin 2 cos2 sin2 sin2 sin2 sin2 (12sin 2)34 12 12 14 34 34 12 12 12 14 .3418在一容器内装有浓度为 r%的溶液 a 升，注入浓度为 p%的溶液 a 升，搅匀后再14倒出溶液 a 升，这叫一次操作，设第 n 次操作后容器内溶液的浓度为 bn(每次注入的溶液14浓度都是 p%)，计算 b1、b 2、b 3，并归纳出 bn 的计算公式解析 b 1 ，a r100 a4 p100a a4 1100(45r 15p)b2 .ab1 a4 p100a a4 1100(45)2r 15p 452pb3 ，ab2 a4 p100a a4 1100(45)3r 15p 452p 4253p归纳得 bn .1100(45)nr 15p 452p 4n 15n p
