1、1.3.3 导数的实际应用双 基 达 标 限 时 20分 钟 1如果圆柱截面的周长 l 为定值，则体积的最大值为( )A. 3 B. 3(l6) (l3)C. 3 D. 3(l4) 14(l4)解析 设圆柱的底面半径为 r，高为 h，体积为 V，则 4r2hl ，h ，l 4r2Vr 2h r22r 3 .l2 (00，l6r 是其唯一的极值点l6当 r 时，V 取得最大值，最大值为 3.l6 (l6)答案 A2若一球的半径为 r，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为( )A2r 2 Br 2 C4r D. r212解析 设内接圆柱的高为 h，底面半径为 x，则由组合体的知识得 h2(2x )2
2、(2r) 2，又圆柱的侧面积 S2 xh，S 216 2(r2x2x 4)，(S 2)16 2(2r2x4x 3)，令(S 2)0 得 x r(x0 舍去)，22S max 2r2，故选 A.答案 A3某公司生产一种产品， 固定成本为 20 000 元，每生产一单位的产品，成本增加 100 元，若总收入 R 与年产量 x 的关系是 R(x)Error!则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( )A150 B200 C250 D300解析 由题意得，总利润P(x) Error!令 P(x)0 ，得 x300，故选 D.答案 D4有矩形铁板，其长为 6，宽为 4，现从四个角上剪掉边长为 x 的四
3、个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子，要使容积最大，则x_.解析 可列出 V(6 2x )(42x)x ，求导求出 x 的最大值答案 5 735如图所示，某厂需要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为_解析 要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，设场地宽为 x 米，则长为 米，512x因此新墙壁总长度 L2x (x0)，则 L2 .512x 512x2令 L0，得 x16.x0，x 16.当 x16 时， Lmin64，此时堆料场的长为 32(米)51216答案 32；166如图所示
4、，已知矩形的两个顶点位于 x 轴上，另两个顶点位于抛物线y4x 2 在 x 轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长解 设矩形边长 AD2x ，则 |AB|y4x 2，则矩形面积为 S2x (4x 2)(00 ；当 x 时，S0，(34V，V)当 x 时，表面积最小34V答案 C8把长为 12 cm 的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是( )A. cm2 B4 cm2323C3 cm2 D2 cm22 3解析 设一个正三角形的边长为 x cm，则另一个正三角形的边长为 (4x)cm，则这两个正三角形的面积之和为 S x2 (4x )2 (x2) 24
5、34 34 322 (cm2)，故选 D.3答案 D9在半径为 r 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上的高为 _时它的面积最大解析 如图，设OBC，则 00，f(x)在区间(64,640) 内为增函数，所以 f(x)在x64 处取得最小值此时 n 1 19.limx 64064故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小12(创新拓展) 如图所示，在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？解 设箱子的底边长为 x cm，则箱子高 h cm.60 x2箱子容积 VV( x)x 2h (0x60)60x2 x32求 V(x)的导数，得 V(x)60x x20，32解得 x10(不合题意，舍去 )，x 240.当 x 在(0,60)内变化时，导数 V(x)的正负如下表：X (0,40) 40 (40,60)V(x) 0 因此在 x40 处，函数 V(x)取得极大值，并且这个极大值就是函数 V(x)的最大值将 x40 代入 V(x)得最大容积 V40 2 16 000(cm 3)60 402答 箱子底边长取 40 cm 时，容积最大，最大容积为 16 000 cm3.
