1、第 3 课时 反比例函数的图象与性质（3）教学目标【知识与技能】1.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题；2.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题【过程与方法】经历观察、分析、交流的过程，逐步提高运用知识的能力.【情感态度】能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题，培养学生看图（象） 、识图（象）能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题.【教学重点】理解并掌握一次函数，反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题.【教学难点】学会从图象上分析、解决问题，理解反比例函数的性质.教学过程一、情景导入，初步认知1.正比例函数有哪些性质？2.一次函数有哪些性质？3
2、.反比例函数有哪些性质？【教学说明】对所学的三种函数的性质教学复习，让学生对它们的性质有系统的了解.二、思考探究，获取新知1.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于 P（-3,4） ，试求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.解：设正比例函数，反比例函数的表达式分别为 y=k1x,y= ,其中，k 1,k2 是常数，且均不为 0.2x由于这两个函数的图象交于 P（-3,4） ，则 P（-3,4）是这两个函数图象上的点，即点 P 的坐标分别满足这两个表达式.因此，4=k 1(-3),4= 解得，k 1=23k2=-12 所以，正比例函数解析式为 y= x,反比例函数解析式为
3、 y=- .函43 4312x数图象如下图.【教学说明】通过图象，让学生掌握一次函数与反比例函数的综合应用.2.在反比例函数 y= 的图象上取两点（1，6） ，（6，1） ，过点分别作 x 轴、xy 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为 S1= ；过点分别作 x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为 S2= ；S 1 与 S2 有什么关系？为什么？【归纳结论】反比例函数 y= （k0）中比例系数 k 的几何意义：过双曲x线 y= （k 0）上任意一点引 x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积x为 k 的绝对值.【教学说明】引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质，同时鼓励
4、学生用自己的语言进行表述，从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力三、运用新知，深化理解1.已知如图，A 是反比例函数 y=kx 的图象上的一点， AB 丄 x 轴于点 B，且ABO 的面积是 3，则 k 的值是( )A.3 B.-3 C.6 D.-6分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S 是个定值，即 S |k| 12解：根据题意可知：S AOB |k|3，又反比例函数的图象位于第一象限，k0，则 k6【答案】 C2.反比例函数 y= 与 y= 在第一象限的图象如图所示，作一条平行于 x 轴x2的直线分别交双曲线于 A、B 两点，连接 O
5、A、OB，则AOB 的面积为( )A. B.2 C.3 D.112分析：分别过 A、B 作 x 轴的垂线，垂足分别为 D、E，过 B 作 BCy 轴，点 C 为垂足，再根据反比例函数系数 k 的几何意义分别求出四边形 OEAC、AOE、 BOC 的面积，进而可得出结论解：分别过 A、B 作 x 轴的垂线，垂足分别为 D、E，过 B 作 BCy 轴，点 C 为垂足，由反比例函数系数 k 的几何意义可知，S 四边形 OEAC=6，S AOE=3，SBOC =1，S AOB =S 四边形 OEAC-SAOE -SBOC =6-3-1=2【答案】 B3.已知直线 yxb 经过点 A(3,0)，并与双曲
6、线 y= 的交点为 B(2，m)kx和 C，求 k、 b 的值解：点 A(3,0)在直线 yx b 上，所以 03b， b3一次函数的解析式为：yx3又因为点 B(2，m)也在直线 yx3 上，所以m235，即 B(2,5)而点 B(2,5) 又在反比例函数 y= 上，所kx以 k2( 5) 104.已知反比例函数 y= 的图象与一次函数 yk 2x1 的图象交于 A(2,1)1kx(1)分别求出这两个函数的解析式；(2)试判断 A 点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系分析:(1)因为点 A 在反比例函数和一次函数的图象上，把 A 点的坐标代入这两个解析式即可求出 k1、k 2 的值(2
7、)把点 A 关于坐标原点的对称点 A坐标代入一次函数和反比例函数解析式中，可知 A是否在这两个函数图象上解：(1)因为点 A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上，所以 k121212k 21，k 21所以反比例函数的解析式为：y= ；一次函数解析式为：2xyx1(2)点 A(2,1)关于坐标原点的对称点是 A(2,1) 把 A点的横坐标代入反比例函数解析式得，y= =1，所以点 A 在反比例函数图象上把 A2点的横坐标代入一次函数解析式得，y213，所以点 A不在一次函数图象上5.已知一次函数 ykxb 的图象经过点 A(0,1)和点 B(a,3a),a 0，且点B 在反比例函数的 y=
8、的图象上3x(1)求 a 的值(2)求一次函数的解析式，并画出它的图象(3)利用画出的图象，求当这个一次函数 y 的值在1y3 范围内时，相应的 x 的取值范围(4)如果 P(m,y1)、Q(m1,y 2)是这个一次函数图象上的两点，试比较 y1 与y2 的大小分析：(1)由于点 A、点 B 在一次函数图象上，点 B 在反比例函数图象上，把这些点的坐标代入相应的函数解析式中，可求出 k、b 和 a 的值(2)由 (1)求出的 k、b、a 的值，求出函数的解析式，通过列表、描点、连线画出函数图象(3)和 (4)都是利用函数的图象进行解题一次函数和反比例函数的图象为：(3)从图象上可知，当一次函数
9、 y 的值在1y3 范围内时，相应的 x 的值为：1x1(4)从图象可知，y 随 x 的增大而减小，又 m1m ，所以 y1y 2.或解：当 x1m 时，y 12m1；当 x2m1 时，y 22(m1)12m1 所以 y1y 2(2m1)(2m 1)20，即 y1y2.6.如图，一次函数 ykxb 的图象与反比例函数 y= 的图象交于 A、Bx两点(1)利用图象中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的 x 的取值范围分析:(1)把 A、B 两点坐标代入两解析式，即可求得一次函数和反比例函数解析式(2)因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的，一次函数值大于反比例函数值，反映在图象上，自变量取相同的值时，一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点的纵坐标【教学说明】检测题采取多种形式呈现，增加了灵活性，以基础题为主，也有少量综合问题，可使不同层次水平的学生均有机会获得成功的体验四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业：教材“习题 1.2”中第 6 题.通过本节课的学习，发现了一些问题，因此必须强调：教学反思1综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式，往往用待定系数法2观察图象，把图象中提供、展现的信息转化为与两函数有关的知识来解题
